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1. 写出每组分数的两个分母的最小公倍数。
$\frac{1}{12}$和$\frac{5}{6}$(
$\frac{1}{12}$和$\frac{6}{13}$(
$\frac{1}{12}$和$\frac{5}{6}$(
12
) $\frac{2}{7}$和$\frac{1}{6}$(42
) $\frac{2}{3}$和$\frac{5}{18}$(18
)$\frac{1}{12}$和$\frac{6}{13}$(
156
) $\frac{5}{24}$和$\frac{7}{36}$(72
) $\frac{7}{12}$和$\frac{6}{21}$(84
)答案
12
42
18
156
72
84
42
18
156
72
84
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要根据两个数的不同关系，选择合适的方法求最小公倍数：
1. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
2. 若两个数互质（公因数只有1），它们的乘积就是最小公倍数；
3. 若两个数是一般关系，可通过分解质因数法，取各质因数的最高次幂相乘得到最小公倍数。
接下来我们逐个分析每组分数的分母：
第一组分母12和6：12是6的倍数，直接取较大数12作为最小公倍数；
第二组分母7和6：两数公因数只有1，属于互质关系，用乘积7×6计算；
第三组分母3和18：18是3的倍数，取较大数18；
第四组分母12和13：两数互质，用乘积12×13计算；
第五组分母24和36：先分解质因数，再取各质因数最高次幂相乘；
第六组分母12和21：分解质因数后，取各质因数最高次幂相乘即可。
【解析】
1. 对于$\frac{1}{12}$和$\frac{5}{6}$，分母12是6的倍数，所以最小公倍数是12；
2. 对于$\frac{2}{7}$和$\frac{1}{6}$，分母7和6互质，最小公倍数为$7×6=42$；
3. 对于$\frac{2}{3}$和$\frac{5}{18}$，分母18是3的倍数，所以最小公倍数是18；
4. 对于$\frac{1}{12}$和$\frac{6}{13}$，分母12和13互质，最小公倍数为$12×13=156$；
5. 对于$\frac{5}{24}$和$\frac{7}{36}$，分解质因数：$24=2^3×3$，$36=2^2×3^2$，取各质因数最高次幂相乘，即$2^3×3^2=8×9=72$，所以最小公倍数是72；
6. 对于$\frac{7}{12}$和$\frac{6}{21}$，分解质因数：$12=2^2×3$，$21=3×7$，取各质因数最高次幂相乘，即$2^2×3×7=4×21=84$，所以最小公倍数是84。
【答案】
12；42；18；156；72；84
【知识点】
最小公倍数的求法；互质关系；倍数关系
【点评】
本题聚焦于最小公倍数的求解，涵盖了倍数关系、互质关系、一般关系三种常见情况，旨在考查学生对最小公倍数概念的理解及不同场景下计算方法的灵活运用，是分数通分等后续知识点的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要根据两个数的不同关系，选择合适的方法求最小公倍数：
1. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
2. 若两个数互质（公因数只有1），它们的乘积就是最小公倍数；
3. 若两个数是一般关系，可通过分解质因数法，取各质因数的最高次幂相乘得到最小公倍数。
接下来我们逐个分析每组分数的分母：
第一组分母12和6：12是6的倍数，直接取较大数12作为最小公倍数；
第二组分母7和6：两数公因数只有1，属于互质关系，用乘积7×6计算；
第三组分母3和18：18是3的倍数，取较大数18；
第四组分母12和13：两数互质，用乘积12×13计算；
第五组分母24和36：先分解质因数，再取各质因数最高次幂相乘；
第六组分母12和21：分解质因数后，取各质因数最高次幂相乘即可。
【解析】
1. 对于$\frac{1}{12}$和$\frac{5}{6}$，分母12是6的倍数，所以最小公倍数是12；
2. 对于$\frac{2}{7}$和$\frac{1}{6}$，分母7和6互质，最小公倍数为$7×6=42$；
3. 对于$\frac{2}{3}$和$\frac{5}{18}$，分母18是3的倍数，所以最小公倍数是18；
4. 对于$\frac{1}{12}$和$\frac{6}{13}$，分母12和13互质，最小公倍数为$12×13=156$；
5. 对于$\frac{5}{24}$和$\frac{7}{36}$，分解质因数：$24=2^3×3$，$36=2^2×3^2$，取各质因数最高次幂相乘，即$2^3×3^2=8×9=72$，所以最小公倍数是72；
6. 对于$\frac{7}{12}$和$\frac{6}{21}$，分解质因数：$12=2^2×3$，$21=3×7$，取各质因数最高次幂相乘，即$2^2×3×7=4×21=84$，所以最小公倍数是84。
【答案】
12；42；18；156；72；84
【知识点】
最小公倍数的求法；互质关系；倍数关系
【点评】
本题聚焦于最小公倍数的求解，涵盖了倍数关系、互质关系、一般关系三种常见情况，旨在考查学生对最小公倍数概念的理解及不同场景下计算方法的灵活运用，是分数通分等后续知识点的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 五(1)班的人数在$30∼40$人之间，把他们分成$5$人一组多$1$人，分成$7$人一组也多$1$人。五(1)班有多少人？
答案
[5,7]=35
35+1=36（人）
答：五 (1)班有36人。
35+1=36（人）
答：五 (1)班有36人。
解析
【分析】
首先，梳理题目关键条件：班级人数在30~40之间，分成5人一组多1人，分成7人一组也多1人。这意味着班级人数减去1之后，同时是5和7的倍数，也就是5和7的公倍数。接下来先求5和7的最小公倍数，由于5和7是互质数，它们的最小公倍数是两者乘积，再结合人数范围，找到符合条件的公倍数后加1，就能得到班级人数。
【解析】
1. 求5和7的最小公倍数：
因为5和7是互质数，互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以$ [5,7] = 5×7 = 35 $
2. 计算班级人数：
分组均多1人，因此班级人数为最小公倍数加1，即$ 35 + 1 = 36 $（人）
3. 验证范围：36在30~40之间，符合题目要求。
答：五(1)班有36人。
【答案】
36人
【知识点】
最小公倍数的应用、互质数求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数的实际应用，关键是理解“分组多1人”的本质是人数减1为5和7的公倍数。解题需掌握互质数最小公倍数的求法，并结合数值范围确定结果，培养学生对公倍数概念的理解与实际运用能力。
【难度系数】
0.7
首先，梳理题目关键条件：班级人数在30~40之间，分成5人一组多1人，分成7人一组也多1人。这意味着班级人数减去1之后，同时是5和7的倍数，也就是5和7的公倍数。接下来先求5和7的最小公倍数，由于5和7是互质数，它们的最小公倍数是两者乘积，再结合人数范围，找到符合条件的公倍数后加1，就能得到班级人数。
【解析】
1. 求5和7的最小公倍数：
因为5和7是互质数，互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以$ [5,7] = 5×7 = 35 $
2. 计算班级人数：
分组均多1人，因此班级人数为最小公倍数加1，即$ 35 + 1 = 36 $（人）
3. 验证范围：36在30~40之间，符合题目要求。
答：五(1)班有36人。
【答案】
36人
【知识点】
最小公倍数的应用、互质数求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数的实际应用，关键是理解“分组多1人”的本质是人数减1为5和7的公倍数。解题需掌握互质数最小公倍数的求法，并结合数值范围确定结果，培养学生对公倍数概念的理解与实际运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 用若干块长$8\ \mathrm{dm}$、宽$6\ \mathrm{dm}$的长方形彩砖铺正方形图案。铺成的正方形图案的边长最小是多少分米？至少要多少块彩砖？
答案
[8,6]=24，边长最小是24 dm。
(24÷8)×(24÷6)=12（块）
答：铺成的正方形图案的边长最小是24 dm，至少要12块彩砖。
(24÷8)×(24÷6)=12（块）
答：铺成的正方形图案的边长最小是24 dm，至少要12块彩砖。
解析
【分析】
要解决用长8dm、宽6dm的长方形彩砖铺出最小正方形图案的问题，首先要明确：正方形的边长必须同时是长方形长和宽的倍数，这样才能保证彩砖刚好铺满正方形且无剩余。因此，铺成的正方形的最小边长就是8和6的最小公倍数。求出最小边长后，分别计算正方形边长里包含几个长方形的长和宽，两者的乘积就是所需彩砖的总块数。
【解析】
1. 求8和6的最小公倍数：
因为8=2×2×2，6=2×3，所以8和6的最小公倍数为2×2×2×3=24，即铺成的正方形图案的边长最小是24dm。
2. 计算所需彩砖数量：
长方向需要的彩砖块数：$24÷8=3$（块）
宽方向需要的彩砖块数：$24÷6=4$（块）
总块数：$3×4=12$（块）
答：铺成的正方形图案的边长最小是24 dm，至少要12块彩砖。
【答案】
铺成的正方形图案的边长最小是24 dm，至少要12块彩砖。
【知识点】
1. 最小公倍数的应用
2. 平面图形铺砌问题
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是理解正方形边长需为长方形长和宽的公倍数，最小边长即为最小公倍数。解题时需掌握求最小公倍数的方法，并能结合实际场景进行数量计算，锻炼学生将数学知识转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.7
要解决用长8dm、宽6dm的长方形彩砖铺出最小正方形图案的问题，首先要明确：正方形的边长必须同时是长方形长和宽的倍数，这样才能保证彩砖刚好铺满正方形且无剩余。因此，铺成的正方形的最小边长就是8和6的最小公倍数。求出最小边长后，分别计算正方形边长里包含几个长方形的长和宽，两者的乘积就是所需彩砖的总块数。
【解析】
1. 求8和6的最小公倍数：
因为8=2×2×2，6=2×3，所以8和6的最小公倍数为2×2×2×3=24，即铺成的正方形图案的边长最小是24dm。
2. 计算所需彩砖数量：
长方向需要的彩砖块数：$24÷8=3$（块）
宽方向需要的彩砖块数：$24÷6=4$（块）
总块数：$3×4=12$（块）
答：铺成的正方形图案的边长最小是24 dm，至少要12块彩砖。
【答案】
铺成的正方形图案的边长最小是24 dm，至少要12块彩砖。
【知识点】
1. 最小公倍数的应用
2. 平面图形铺砌问题
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是理解正方形边长需为长方形长和宽的公倍数，最小边长即为最小公倍数。解题时需掌握求最小公倍数的方法，并能结合实际场景进行数量计算，锻炼学生将数学知识转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两个微信公众号，分别是每$3$天、$4$天更新一次。某月$1$日两个微信公众号同时更新后，到这个月$30$日，两个微信公众号同时更新是什么时候？
答案
[3,4]=12
1+12=13（日）
13+12=25（日）
答：两个微信公众号同时更新是在该月13日和25日。
1+12=13（日）
13+12=25（日）
答：两个微信公众号同时更新是在该月13日和25日。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确两个公众号同时更新的时间规律：它们同时更新的间隔天数是各自更新周期的最小公倍数。因为甲每3天更新一次，乙每4天更新一次，先求出3和4的最小公倍数，这个数就是两次同时更新之间的间隔天数。然后从1日开始，依次加上这个间隔天数，得到的日期只要不超过30日，就是同时更新的日期。
【解析】
1. 求3和4的最小公倍数：
因为3和4是互质数，互质数的最小公倍数是它们的乘积，所以$[3,4]=3×4=12$，即两个公众号每隔12天会同时更新一次。
2. 计算第一次同时更新后的日期：
1日同时更新后，下一次同时更新的日期是$1+12=13$（日）。
3. 计算第二次同时更新后的日期：
再下一次同时更新的日期是$13+12=25$（日）。
4. 验证下一次日期：
$25+12=37$（日），37日超过了这个月的30日，所以不再考虑。
答：两个微信公众号同时更新是在该月13日和25日。
【答案】
该月13日和25日
【知识点】
最小公倍数的应用、日期推算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是理解两个公众号同时更新的间隔天数是它们更新周期的最小公倍数，通过计算最小公倍数再逐步推算日期即可解决问题，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确两个公众号同时更新的时间规律：它们同时更新的间隔天数是各自更新周期的最小公倍数。因为甲每3天更新一次，乙每4天更新一次，先求出3和4的最小公倍数，这个数就是两次同时更新之间的间隔天数。然后从1日开始，依次加上这个间隔天数，得到的日期只要不超过30日，就是同时更新的日期。
【解析】
1. 求3和4的最小公倍数：
因为3和4是互质数，互质数的最小公倍数是它们的乘积，所以$[3,4]=3×4=12$，即两个公众号每隔12天会同时更新一次。
2. 计算第一次同时更新后的日期：
1日同时更新后，下一次同时更新的日期是$1+12=13$（日）。
3. 计算第二次同时更新后的日期：
再下一次同时更新的日期是$13+12=25$（日）。
4. 验证下一次日期：
$25+12=37$（日），37日超过了这个月的30日，所以不再考虑。
答：两个微信公众号同时更新是在该月13日和25日。
【答案】
该月13日和25日
【知识点】
最小公倍数的应用、日期推算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是理解两个公众号同时更新的间隔天数是它们更新周期的最小公倍数，通过计算最小公倍数再逐步推算日期即可解决问题，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
5. 【提优挑战】有一些芒果干，$4$袋$4$袋地数多$1$袋，$5$袋$5$袋地数多$1$袋，$6$袋$6$袋地数也多$1$袋。这些芒果干至少有多少袋？
答案
[4,5,6]=60
60+1=61（袋）
答：这些芒果干至少有61袋。
60+1=61（袋）
答：这些芒果干至少有61袋。
解析
【分析】
我们可以这样思考：如果从这些芒果干中拿走1袋，那么剩下的芒果干数量就能被4、5、6整除，也就是说剩下的数量是4、5、6的公倍数。题目问“至少有多少袋”，所以我们需要先找到4、5、6的最小公倍数，再把拿走的1袋加回来，就能得到芒果干最少的数量。
【解析】
1. 计算4、5、6的最小公倍数：
$[4,5,6]=60$
2. 求出芒果干的最少袋数：
$60 + 1 = 61$（袋）
答：这些芒果干至少有61袋。
【答案】
61袋
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题是最小公倍数的典型实际应用问题，解题关键在于将“数物余1”的条件转化为“求公倍数”的数学问题，考查学生对公倍数概念的理解和实际应用能力，只要理清数量关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
我们可以这样思考：如果从这些芒果干中拿走1袋，那么剩下的芒果干数量就能被4、5、6整除，也就是说剩下的数量是4、5、6的公倍数。题目问“至少有多少袋”，所以我们需要先找到4、5、6的最小公倍数，再把拿走的1袋加回来，就能得到芒果干最少的数量。
【解析】
1. 计算4、5、6的最小公倍数：
$[4,5,6]=60$
2. 求出芒果干的最少袋数：
$60 + 1 = 61$（袋）
答：这些芒果干至少有61袋。
【答案】
61袋
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题是最小公倍数的典型实际应用问题，解题关键在于将“数物余1”的条件转化为“求公倍数”的数学问题，考查学生对公倍数概念的理解和实际应用能力，只要理清数量关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
