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1.(2024·扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和. 则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为（
A.676
B.674
C.1348
D.1350
D
）A.676
B.674
C.1348
D.1350
答案
1.D
解析
【分析】要解决这个问题，需先观察斐波那契数列的奇偶性变化规律，发现其奇偶性按“奇、奇、偶”循环，周期为3，每个周期包含2个奇数；再计算前2024个数中包含多少个完整周期和余下的数，进而求出奇数的总个数。
【解析】1. 分析奇偶性规律：斐波那契数列的奇偶性依次为：1（奇）、1（奇）、2（偶）、3（奇）、5（奇）、8（偶）……，呈现“奇、奇、偶”的循环，周期为3，每个周期有2个奇数；2. 计算周期数与余数：2024÷3=674……2，即前2024个数包含674个完整周期，还余2个数；3. 计算奇数个数：674个周期的奇数个数为674×2=1348，余下的2个数对应周期的前2个，均为奇数，需加2，总奇数个数为1348+2=1350。
【答案】D
【知识点】数列规律、奇偶性
【点评】本题通过寻找数列的奇偶性周期规律，结合除法运算解决计数问题，核心是发现周期特征，属于基础规律应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】1. 分析奇偶性规律：斐波那契数列的奇偶性依次为：1（奇）、1（奇）、2（偶）、3（奇）、5（奇）、8（偶）……，呈现“奇、奇、偶”的循环，周期为3，每个周期有2个奇数；2. 计算周期数与余数：2024÷3=674……2，即前2024个数包含674个完整周期，还余2个数；3. 计算奇数个数：674个周期的奇数个数为674×2=1348，余下的2个数对应周期的前2个，均为奇数，需加2，总奇数个数为1348+2=1350。
【答案】D
【知识点】数列规律、奇偶性
【点评】本题通过寻找数列的奇偶性周期规律，结合除法运算解决计数问题，核心是发现周期特征，属于基础规律应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
2. 有依次排列的3个数：2,9,7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2,7,9,-2,7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2,5,7,2,9,-11,-2,9,7，继续操作下去，从数串2,9,7开始操作，第2024次产生的新数串的所有数之和是
10138
.答案
2.10138
解析
【分析】先计算初始数串的和，再分别算出第1次、第2次操作后数串的和，观察和的变化规律，发现每次操作后数串的和比操作前增加5，由此推导第n次操作后数串和的公式，最后代入n=2024计算结果。
【解析】初始数串2,9,7的和为：2+9+7=18；
第1次操作后数串2,7,9,-2,7的和为：2+7+9+(-2)+7=23，比初始和增加了23-18=5；
第2次操作后数串的和为28，比第1次操作后的和增加了5；
由此可得规律：第n次操作后数串的和=初始和 +5n；
当n=2024时，和为18 +5×2024=18+10120=10138。
【答案】10138
【知识点】找规律、有理数加法
【点评】本题通过计算前几次操作后数串的和，归纳出和的变化规律，关键在于发现每次操作和的增量固定为5，需具备观察归纳能力，难度中等。
【难度系数】0.3
【解析】初始数串2,9,7的和为：2+9+7=18；
第1次操作后数串2,7,9,-2,7的和为：2+7+9+(-2)+7=23，比初始和增加了23-18=5；
第2次操作后数串的和为28，比第1次操作后的和增加了5；
由此可得规律：第n次操作后数串的和=初始和 +5n；
当n=2024时，和为18 +5×2024=18+10120=10138。
【答案】10138
【知识点】找规律、有理数加法
【点评】本题通过计算前几次操作后数串的和，归纳出和的变化规律，关键在于发现每次操作和的增量固定为5，需具备观察归纳能力，难度中等。
【难度系数】0.3
3. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律,我们称这个三角形为“杨辉三角”. 根据规律第八行从左到右第三个数为
21
.答案
3.21
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确杨辉三角的核心规律：每行首尾数字均为1，其余每个数字等于其上方相邻两个数字之和。我们可以通过递推前几行的数字，逐步推导到第八行，或利用组合数性质（第n行第m个数对应组合数$C_{n-1}^{m-1}$）计算结果。
【解析】
1. 梳理杨辉三角的构造规则：每行首尾为1，中间数=上方两数之和。
2. 递推前几行的数字，观察第三个数的变化：
第1行：仅1，无第三个数；
第2行：1，1，无第三个数；
第3行：1，2，1 → 第三个数为1；
第4行：1，3，3，1 → 第三个数为3；
第5行：1，4，6，4，1 → 第三个数为6；
第6行：1，5，10，10，5，1 → 第三个数为10；
第7行：由第6行推导得：1，6，15，20，15，6，1 → 第三个数为15；
第8行：由第7行推导得：1，7，21，35，… → 第八行从左到右第三个数为21。
【答案】
21
【知识点】
杨辉三角、找规律
【点评】
本题考查杨辉三角的规律应用，核心是掌握其构造方法，通过递推即可快速得到结果，属于基础规律应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确杨辉三角的核心规律：每行首尾数字均为1，其余每个数字等于其上方相邻两个数字之和。我们可以通过递推前几行的数字，逐步推导到第八行，或利用组合数性质（第n行第m个数对应组合数$C_{n-1}^{m-1}$）计算结果。
【解析】
1. 梳理杨辉三角的构造规则：每行首尾为1，中间数=上方两数之和。
2. 递推前几行的数字，观察第三个数的变化：
第1行：仅1，无第三个数；
第2行：1，1，无第三个数；
第3行：1，2，1 → 第三个数为1；
第4行：1，3，3，1 → 第三个数为3；
第5行：1，4，6，4，1 → 第三个数为6；
第6行：1，5，10，10，5，1 → 第三个数为10；
第7行：由第6行推导得：1，6，15，20，15，6，1 → 第三个数为15；
第8行：由第7行推导得：1，7，21，35，… → 第八行从左到右第三个数为21。
【答案】
21
【知识点】
杨辉三角、找规律
【点评】
本题考查杨辉三角的规律应用，核心是掌握其构造方法，通过递推即可快速得到结果，属于基础规律应用题。
【难度系数】
0.6
4. 观察下列等式：$2×4+1=9$，$4×6+1=25$，$6×8+1=49······$
探索以上等式的规律，写出第5个等式：
探索以上等式的规律，写出第5个等式：
$10×12+1=121$
，第$n$个等式：$2n×(2n+2)+1=(2n+1)^2$
.答案
4.$10×12+1=121$ $2n×(2n+2)+1=(2n+1)^2$
解析
【分析】
要探索等式的规律，需分别观察等式左右两边的数字变化：
1. 先看左边乘法的两个因数：第1个等式是2和4，第2个是4和6，第3个是6和8，可知每个等式的第一个因数是连续偶数，第k个等式的第一个因数为2k，第二个因数比第一个大2，即2k+2；
2. 再看右边结果：第1个是9=3²，第2个是25=5²，第3个是49=7²，结果是奇数的平方，该奇数为2k+1；
3. 推导第5个等式时，k=5，代入得第一个因数10，第二个因数12，右边为11²=121；第n个等式用n代替k，即可得到对应表达式。
【解析】
解：
观察已知等式的规律：
第1个等式：$2×4 +1 = (2×1+1)^2$，即$2×(2+2)+1=(2×1+1)^2$；
第2个等式：$4×6 +1 = (2×2+1)^2$，即$4×(4+2)+1=(2×2+1)^2$；
第3个等式：$6×8 +1 = (2×3+1)^2$，即$6×(6+2)+1=(2×3+1)^2$；
由此可得：
第5个等式中，n=5，第一个因数为$2×5=10$，第二个因数为$10+2=12$，右边为$(2×5+1)^2=11^2=121$，故第5个等式为$10×12 +1=121$；
第n个等式中，第一个因数为$2n$，第二个因数为$2n+2$，右边为$(2n+1)^2$，故第n个等式为$2n×(2n+2)+1=(2n+1)^2$。
【答案】
$10×12+1=121$；$2n×(2n+2)+1=(2n+1)^2$
【知识点】
找规律，代数式表示
【点评】
本题为规律探究题，通过观察已知等式的数字特征，归纳总结出一般性规律，考查学生的观察能力与代数表达能力，是初中数学常见的基础题型。
【难度系数】
0.4
要探索等式的规律，需分别观察等式左右两边的数字变化：
1. 先看左边乘法的两个因数：第1个等式是2和4，第2个是4和6，第3个是6和8，可知每个等式的第一个因数是连续偶数，第k个等式的第一个因数为2k，第二个因数比第一个大2，即2k+2；
2. 再看右边结果：第1个是9=3²，第2个是25=5²，第3个是49=7²，结果是奇数的平方，该奇数为2k+1；
3. 推导第5个等式时，k=5，代入得第一个因数10，第二个因数12，右边为11²=121；第n个等式用n代替k，即可得到对应表达式。
【解析】
解：
观察已知等式的规律：
第1个等式：$2×4 +1 = (2×1+1)^2$，即$2×(2+2)+1=(2×1+1)^2$；
第2个等式：$4×6 +1 = (2×2+1)^2$，即$4×(4+2)+1=(2×2+1)^2$；
第3个等式：$6×8 +1 = (2×3+1)^2$，即$6×(6+2)+1=(2×3+1)^2$；
由此可得：
第5个等式中，n=5，第一个因数为$2×5=10$，第二个因数为$10+2=12$，右边为$(2×5+1)^2=11^2=121$，故第5个等式为$10×12 +1=121$；
第n个等式中，第一个因数为$2n$，第二个因数为$2n+2$，右边为$(2n+1)^2$，故第n个等式为$2n×(2n+2)+1=(2n+1)^2$。
【答案】
$10×12+1=121$；$2n×(2n+2)+1=(2n+1)^2$
【知识点】
找规律，代数式表示
【点评】
本题为规律探究题，通过观察已知等式的数字特征，归纳总结出一般性规律，考查学生的观察能力与代数表达能力，是初中数学常见的基础题型。
【难度系数】
0.4
5. 如图,数字都是按一定规律排列的,其中$x$的值是
313
.答案
5.313
解析
【分析】
要解决该问题，需先梳理每个圆中数字的排列规律：首先观察右上数字与左上数字的关系，再确定左下数字与左上数字的关系，最后推导右下数字与其他三个数字的运算关系，逐步计算出对应数值。
步骤1：找右上数字规律：前几个圆的右上数字为3、5、7、9，对应左上数字1、2、3、4，可得右上数字=2×左上数字+1；
步骤2：找左下数字规律：前几个圆的左下数字为2、3、4、5，对应左上数字1、2、3、4，可得左下数字=左上数字+1；
步骤3：找右下数字规律：前几个圆的右下数字，第一个5=3×2-1，第二个13=5×3-2，第三个25=7×4-3，第四个41=9×5-4，可得右下数字=右上数字×左下数字-左上数字；
步骤4：利用已知右上数字为25，先求左上数字a，再求左下数字b，最后代入公式计算x。
【解析】
1. 计算左上数字a：根据右上数字=2a+1，已知右上数字为25，因此2a+1=25，解得a=(25-1)÷2=12；
2. 计算左下数字b：根据b=a+1，代入a=12，得b=12+1=13；
3. 计算右下数字x：根据规律x=右上数字×左下数字 - a，代入数值：x=25×13 -12=325-12=313。
【答案】
313
【知识点】
数字规律探索
【点评】
本题为数字规律探索题，需通过观察已知图形中数字的变化，归纳出各位置数字间的运算关系，重点考查学生的观察分析与归纳能力，属于中等难度的规律题。
【难度系数】
0.3
要解决该问题，需先梳理每个圆中数字的排列规律：首先观察右上数字与左上数字的关系，再确定左下数字与左上数字的关系，最后推导右下数字与其他三个数字的运算关系，逐步计算出对应数值。
步骤1：找右上数字规律：前几个圆的右上数字为3、5、7、9，对应左上数字1、2、3、4，可得右上数字=2×左上数字+1；
步骤2：找左下数字规律：前几个圆的左下数字为2、3、4、5，对应左上数字1、2、3、4，可得左下数字=左上数字+1；
步骤3：找右下数字规律：前几个圆的右下数字，第一个5=3×2-1，第二个13=5×3-2，第三个25=7×4-3，第四个41=9×5-4，可得右下数字=右上数字×左下数字-左上数字；
步骤4：利用已知右上数字为25，先求左上数字a，再求左下数字b，最后代入公式计算x。
【解析】
1. 计算左上数字a：根据右上数字=2a+1，已知右上数字为25，因此2a+1=25，解得a=(25-1)÷2=12；
2. 计算左下数字b：根据b=a+1，代入a=12，得b=12+1=13；
3. 计算右下数字x：根据规律x=右上数字×左下数字 - a，代入数值：x=25×13 -12=325-12=313。
【答案】
313
【知识点】
数字规律探索
【点评】
本题为数字规律探索题，需通过观察已知图形中数字的变化，归纳出各位置数字间的运算关系，重点考查学生的观察分析与归纳能力，属于中等难度的规律题。
【难度系数】
0.3
6. 已知整数 $a_1,a_2,a_3,a_4,···$ 满足下列条件: $a_1=0,a_2=-|a_1+1|,a_3=-|a_2+2|,a_4=-|a_3+3|,···,$依此类推,则 $a_{2025}$ 的值为
-1012
.答案
6.-1012
解析
【分析】
要解决这道题，需先根据递推公式计算前几个数，观察数字变化规律，再利用规律推导第n项的表达式，进而求出$a_{2025}$的值。具体思路：①按规则计算前几项的数值；②总结奇偶项的变化规律；③根据规律计算目标项的值。
【解析】
解：根据已知条件依次计算：
$a_1=0$；
$a_2=-|a_1+1|=-|0+1|=-1$；
$a_3=-|a_2+2|=-|-1+2|=-1$；
$a_4=-|a_3+3|=-|-1+3|=-2$；
$a_5=-|a_4+4|=-|-2+4|=-2$；
$a_6=-|a_5+5|=-|-2+5|=-3$；
$a_7=-|a_6+6|=-|-3+6|=-3$；
……
观察规律：当n为奇数时，$a_n=-\frac{n-1}{2}$。
验证：n=1时，$-\frac{1-1}{2}=0$，符合；n=3时，$-\frac{3-1}{2}=-1$，符合。
因为2025是奇数，代入规律得：
$a_{2025}=-\frac{2025-1}{2}=-\frac{2024}{2}=-1012$。
【答案】
-1012
【知识点】
数字规律探索、绝对值运算
【点评】
本题是典型的数字规律题，核心是通过计算前几项归纳奇偶项的变化规律，需结合绝对值的性质化简计算，重点考查观察归纳能力，难度适中。
【难度系数】
0.3
要解决这道题，需先根据递推公式计算前几个数，观察数字变化规律，再利用规律推导第n项的表达式，进而求出$a_{2025}$的值。具体思路：①按规则计算前几项的数值；②总结奇偶项的变化规律；③根据规律计算目标项的值。
【解析】
解：根据已知条件依次计算：
$a_1=0$；
$a_2=-|a_1+1|=-|0+1|=-1$；
$a_3=-|a_2+2|=-|-1+2|=-1$；
$a_4=-|a_3+3|=-|-1+3|=-2$；
$a_5=-|a_4+4|=-|-2+4|=-2$；
$a_6=-|a_5+5|=-|-2+5|=-3$；
$a_7=-|a_6+6|=-|-3+6|=-3$；
……
观察规律：当n为奇数时，$a_n=-\frac{n-1}{2}$。
验证：n=1时，$-\frac{1-1}{2}=0$，符合；n=3时，$-\frac{3-1}{2}=-1$，符合。
因为2025是奇数，代入规律得：
$a_{2025}=-\frac{2025-1}{2}=-\frac{2024}{2}=-1012$。
【答案】
-1012
【知识点】
数字规律探索、绝对值运算
【点评】
本题是典型的数字规律题，核心是通过计算前几项归纳奇偶项的变化规律，需结合绝对值的性质化简计算，重点考查观察归纳能力，难度适中。
【难度系数】
0.3
7. 如图,每个格子中都是整数,若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,则从左边第一个格子开始向右数,第 2024 个格子中的数为
2
.答案
7.2
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用“任意三个相邻格子中整数之和相等”的条件推导数列的周期性。先设格子中的数依次为$a_1,a_2,a_3,\dots$，根据相邻三数和相等的性质，可推出数列存在重复规律（周期），再通过计算2024除以周期的余数，确定对应位置的数。
【解析】
设从左到右格子中的数依次为$a_1=-4$，$a_2=2$，$a_3$，$a_4$，$a_5=2$，$\dots$，根据题意“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”，逐步推导：
1. 由$a_1+a_2+a_3 = a_2+a_3+a_4$，化简得$a_4=a_1=-4$；
2. 由$a_2+a_3+a_4 = a_3+a_4+a_5$，化简得$a_5=a_2=2$，与题目中$a_5=2$一致；
3. 同理可得$a_7=a_4=-4$，$a_8=a_5=2$，结合$a_9=3$，推出$a_3=a_6=a_9=3$。
因此，数列以“$-4,2,3$”为周期循环，周期长度为3。
计算第2024个格子的对应位置：$2024÷3=674······2$，余数为2，对应周期中的第2个数，即2。
【答案】
2
【知识点】
数列的周期性、规律探索
【点评】
本题通过相邻三数和相等推导数列的周期规律，利用周期解决指定位置的数，是规律探索类的典型题型，关键在于准确找到周期。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是利用“任意三个相邻格子中整数之和相等”的条件推导数列的周期性。先设格子中的数依次为$a_1,a_2,a_3,\dots$，根据相邻三数和相等的性质，可推出数列存在重复规律（周期），再通过计算2024除以周期的余数，确定对应位置的数。
【解析】
设从左到右格子中的数依次为$a_1=-4$，$a_2=2$，$a_3$，$a_4$，$a_5=2$，$\dots$，根据题意“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”，逐步推导：
1. 由$a_1+a_2+a_3 = a_2+a_3+a_4$，化简得$a_4=a_1=-4$；
2. 由$a_2+a_3+a_4 = a_3+a_4+a_5$，化简得$a_5=a_2=2$，与题目中$a_5=2$一致；
3. 同理可得$a_7=a_4=-4$，$a_8=a_5=2$，结合$a_9=3$，推出$a_3=a_6=a_9=3$。
因此，数列以“$-4,2,3$”为周期循环，周期长度为3。
计算第2024个格子的对应位置：$2024÷3=674······2$，余数为2，对应周期中的第2个数，即2。
【答案】
2
【知识点】
数列的周期性、规律探索
【点评】
本题通过相邻三数和相等推导数列的周期规律，利用周期解决指定位置的数，是规律探索类的典型题型，关键在于准确找到周期。
【难度系数】
0.5
