登录
9. 当$x=\dfrac{1}{2},y=3,z=\dfrac{1}{4}$时,求下列各代数式的值:
(1)$x^{2}-2xy+y^{2}$;
(2)$\dfrac{2}{(x-z)^{2}}+\dfrac{24xz}{y}.$
(1)$x^{2}-2xy+y^{2}$;
(2)$\dfrac{2}{(x-z)^{2}}+\dfrac{24xz}{y}.$
答案
9.解:(1)当$x=\dfrac{1}{2},y=3$时，
$x^{2}-2xy+y^{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}-2×\dfrac{1}{2}×3+3^{2}=\dfrac{1}{4}-3+9=6\dfrac{1}{4}$.
(2)当$x=\dfrac{1}{2},y=3,z=\dfrac{1}{4}$时，
$\dfrac{2}{(x-z)^{2}}+\dfrac{24xz}{y}=\dfrac{2}{(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4})^{2}}+\dfrac{24×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4}}{3}=33$.
$x^{2}-2xy+y^{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}-2×\dfrac{1}{2}×3+3^{2}=\dfrac{1}{4}-3+9=6\dfrac{1}{4}$.
(2)当$x=\dfrac{1}{2},y=3,z=\dfrac{1}{4}$时，
$\dfrac{2}{(x-z)^{2}}+\dfrac{24xz}{y}=\dfrac{2}{(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4})^{2}}+\dfrac{24×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4}}{3}=33$.
解析
【分析】本题是已知字母的取值，求代数式的值，解题思路为：将给定的x、y、z的值代入对应的代数式，按照有理数的运算规则计算结果。第(1)问的代数式可利用完全平方公式简化计算，第(2)问直接代入后，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，同时注意分数运算的准确性。
【解析】(1)当$x=\dfrac{1}{2},y=3$时，
$x^{2}-2xy+y^{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}-2×\dfrac{1}{2}×3+3^{2}=\dfrac{1}{4}-3+9=6\dfrac{1}{4}$；
(2)当$x=\dfrac{1}{2},y=3,z=\dfrac{1}{4}$时，
$\dfrac{2}{(x-z)^{2}}+\dfrac{24xz}{y}=\dfrac{2}{(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4})^{2}}+\dfrac{24×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4}}{3}=\dfrac{2}{(\dfrac{1}{4})^{2}}+\dfrac{3}{3}=32+1=33$。
【答案】(1)$6\dfrac{1}{4}$；(2)$33$
【知识点】代数式求值；完全平方公式
【点评】本题为基础的代数式求值题，考查有理数运算及公式的应用，解题时需准确代入数值、遵循运算顺序，避免计算失误，是代数学习的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】(1)当$x=\dfrac{1}{2},y=3$时，
$x^{2}-2xy+y^{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}-2×\dfrac{1}{2}×3+3^{2}=\dfrac{1}{4}-3+9=6\dfrac{1}{4}$；
(2)当$x=\dfrac{1}{2},y=3,z=\dfrac{1}{4}$时，
$\dfrac{2}{(x-z)^{2}}+\dfrac{24xz}{y}=\dfrac{2}{(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4})^{2}}+\dfrac{24×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4}}{3}=\dfrac{2}{(\dfrac{1}{4})^{2}}+\dfrac{3}{3}=32+1=33$。
【答案】(1)$6\dfrac{1}{4}$；(2)$33$
【知识点】代数式求值；完全平方公式
【点评】本题为基础的代数式求值题，考查有理数运算及公式的应用，解题时需准确代入数值、遵循运算顺序，避免计算失误，是代数学习的基础题型。
【难度系数】0.8
10. 如图,长方形的长为$a$,宽为$b$.现以长方形的四个顶点为圆心,宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆.
(1)用含$a,b$的代数式表示图中阴影部分的面积;
(2)当$a=10,b=4$时,求图中阴影部分的面积.($π$取3)
(1)用含$a,b$的代数式表示图中阴影部分的面积;
(2)当$a=10,b=4$时,求图中阴影部分的面积.($π$取3)
答案
10.解:(1)阴影部分的面积为$ab-4×\dfrac{1}{4}×π·(\dfrac{b}{2})^{2}=ab-\dfrac{π}{4}b^{2}$.
(2)当$a=10,b=4$时,阴影部分的面积为$10×4-\dfrac{3}{4}×4^{2}=40-12=28$.
(2)当$a=10,b=4$时,阴影部分的面积为$10×4-\dfrac{3}{4}×4^{2}=40-12=28$.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分面积等于长方形面积减去四个角上四分之一圆的总面积。四个四分之一圆的半径均为宽的一半，合起来恰好是一个完整的圆，因此只需先计算长方形面积和圆的面积，再做差即可。第二问将数值代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 长方形的面积为长×宽，即 $ ab $。
四个角上的四分之一圆，每个圆的半径为 $ \frac{b}{2} $，四个四分之一圆的总面积等于1个整圆的面积，即 $ π × (\frac{b}{2})^2 = \frac{π b^2}{4} $。
因此，阴影部分的面积为：$ ab - \frac{π b^2}{4} $。
(2) 当 $ a=10 $，$ b=4 $，$ π=3 $ 时，代入(1)中的代数式：
$ 10 × 4 - \frac{3 × 4^2}{4} = 40 - \frac{3 × 16}{4} = 40 - 12 = 28 $。
【答案】
(1) $ ab - \frac{π}{4}b^2 $；(2) $ 28 $
【知识点】
长方形面积，圆的面积，代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，核心方法是“整体减部分”，将分散的四分之一圆转化为整圆简化计算，考察学生对基本图形面积公式的掌握和代数式的代入求值能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分面积等于长方形面积减去四个角上四分之一圆的总面积。四个四分之一圆的半径均为宽的一半，合起来恰好是一个完整的圆，因此只需先计算长方形面积和圆的面积，再做差即可。第二问将数值代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 长方形的面积为长×宽，即 $ ab $。
四个角上的四分之一圆，每个圆的半径为 $ \frac{b}{2} $，四个四分之一圆的总面积等于1个整圆的面积，即 $ π × (\frac{b}{2})^2 = \frac{π b^2}{4} $。
因此，阴影部分的面积为：$ ab - \frac{π b^2}{4} $。
(2) 当 $ a=10 $，$ b=4 $，$ π=3 $ 时，代入(1)中的代数式：
$ 10 × 4 - \frac{3 × 4^2}{4} = 40 - \frac{3 × 16}{4} = 40 - 12 = 28 $。
【答案】
(1) $ ab - \frac{π}{4}b^2 $；(2) $ 28 $
【知识点】
长方形面积，圆的面积，代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，核心方法是“整体减部分”，将分散的四分之一圆转化为整圆简化计算，考察学生对基本图形面积公式的掌握和代数式的代入求值能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
11. 按如图所示的程序进行计算.
(1) 当输入 $x=30$ 时,求输出的数;当输入 $x=-16$ 时,求输出的数;
(2) 若输出的数为$-52$,求输入的整数$x$的值.
(1) 当输入 $x=30$ 时,求输出的数;当输入 $x=-16$ 时,求输出的数;
(2) 若输出的数为$-52$,求输入的整数$x$的值.
答案
11.解:(1)当输入$x=30$时，
$|30|×(-2)=-60＜-45$，
所以当输入$x=30$时,输出的数为$-60$.
当输入$x=-16$时,$|-16|×(-2)=-32＞-45$；
再循环一次,$|-32|×(-2)=-64＜-45$，
所以当输入$x=-16$时,输出的数为$-64$.
(2)当输出的数为$-52$时,分两种情况：
第一种情况:$|x|×(-2)=-52$,解得$x=\pm26$.
第二种情况:当第一次的计算结果为$-26$时,再循环一次输出的结果为$-52$，
则$|x|×(-2)=-26$,解得$x=\pm13$.
综上所述,输出的数为$-52$时,输入的整数$x$的值为$\pm26$或$\pm13$.
$|30|×(-2)=-60＜-45$，
所以当输入$x=30$时,输出的数为$-60$.
当输入$x=-16$时,$|-16|×(-2)=-32＞-45$；
再循环一次,$|-32|×(-2)=-64＜-45$，
所以当输入$x=-16$时,输出的数为$-64$.
(2)当输出的数为$-52$时,分两种情况：
第一种情况:$|x|×(-2)=-52$,解得$x=\pm26$.
第二种情况:当第一次的计算结果为$-26$时,再循环一次输出的结果为$-52$，
则$|x|×(-2)=-26$,解得$x=\pm13$.
综上所述,输出的数为$-52$时,输入的整数$x$的值为$\pm26$或$\pm13$.
解析
【分析】本题需根据给定的程序流程图规则计算：输入x后，先算|x|，再乘(-2)，判断结果是否≤-45，满足则输出，不满足则将结果作为新x重复运算。第(1)问直接代入计算并判断；第(2)问已知输出值，需考虑“第一次运算即输出”和“第一次运算不满足、循环一次后输出”两种情况，分别求解，且x为整数。
【解析】(1) 当输入x=30时：
计算|30|×(-2)=30×(-2)=-60，
因-60≤-45，故输出的数为-60；
当输入x=-16时：
第一次运算：|-16|×(-2)=16×(-2)=-32，
由于-32＞-45，需循环计算，将-32作为新输入，
计算| -32 |×(-2)=32×(-2)=-64，
因-64≤-45，故输出的数为-64；
(2) 已知输出为-52，分两种情况：
① 第一次运算结果为-52：|x|×(-2)=-52，解得|x|=26，故x=±26；
② 第一次运算结果不满足（＞-45），循环一次得-52：设第一次运算结果为a，则|a|×(-2)=-52，得|a|=26，因a为负数（|x|≥0，故a=|x|×(-2)≤0），所以a=-26，即|x|×(-2)=-26，解得|x|=13，故x=±13；
综上，输入的整数x为±26或±13。
【答案】(1) 输入x=30时输出-60，输入x=-16时输出-64；(2) 输入的整数x的值为±26或±13。
【知识点】绝对值运算、有理数乘法、程序流程图应用
【点评】本题结合程序流程图考查绝对值与有理数运算，核心是理解循环逻辑，第(2)问需分情况讨论，易漏解，是基础运算与逻辑分析结合的题目，能有效考查学生的审题与分类能力。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 当输入x=30时：
计算|30|×(-2)=30×(-2)=-60，
因-60≤-45，故输出的数为-60；
当输入x=-16时：
第一次运算：|-16|×(-2)=16×(-2)=-32，
由于-32＞-45，需循环计算，将-32作为新输入，
计算| -32 |×(-2)=32×(-2)=-64，
因-64≤-45，故输出的数为-64；
(2) 已知输出为-52，分两种情况：
① 第一次运算结果为-52：|x|×(-2)=-52，解得|x|=26，故x=±26；
② 第一次运算结果不满足（＞-45），循环一次得-52：设第一次运算结果为a，则|a|×(-2)=-52，得|a|=26，因a为负数（|x|≥0，故a=|x|×(-2)≤0），所以a=-26，即|x|×(-2)=-26，解得|x|=13，故x=±13；
综上，输入的整数x为±26或±13。
【答案】(1) 输入x=30时输出-60，输入x=-16时输出-64；(2) 输入的整数x的值为±26或±13。
【知识点】绝对值运算、有理数乘法、程序流程图应用
【点评】本题结合程序流程图考查绝对值与有理数运算，核心是理解循环逻辑，第(2)问需分情况讨论，易漏解，是基础运算与逻辑分析结合的题目，能有效考查学生的审题与分类能力。
【难度系数】0.5
12. 我们用符号 $f(x)$ 表示关于 $x$ 的式子($f$ 可以是其他字母,但不同的字母表示不同的式子),例如, $f(x)=x^2+3x-5$, 当 $x=-1$ 时, $x^2+3x-5$ 的值记为 $f(-1)$, 即 $f(-1)=(-1)^2+3×(-1)-5=-7$. 已知 $g(x)=-2x^2-3x+1,h(x)=16ax$.
(1)求 $g(-2)$ 的值;
(2)若 $h(-2)=-64$, 求 $g(a)$ 的值.
(1)求 $g(-2)$ 的值;
(2)若 $h(-2)=-64$, 求 $g(a)$ 的值.
答案
12.解:(1)把$x=-2$代入$g(x)=-2x^{2}-3x+1$,得
$g(-2)=-2×(-2)^{2}-3×(-2)+1=-8+6+1=-1$.
(2)由$h(-2)=-64$,得$16a×(-2)=-64$,解得$a=2$.当$a=2$时,$g(a)=g(2)=-2×2^{2}-3×2+1=-8-6+1=-13$.
$g(-2)=-2×(-2)^{2}-3×(-2)+1=-8+6+1=-1$.
(2)由$h(-2)=-64$,得$16a×(-2)=-64$,解得$a=2$.当$a=2$时,$g(a)=g(2)=-2×2^{2}-3×2+1=-8-6+1=-13$.
解析
【分析】
本题考查函数值的计算，核心是理解符号$f(x)$的含义——将自变量代入对应式子即可计算函数值。第(1)问直接把$x=-2$代入$g(x)$的表达式计算；第(2)问先利用$h(-2)=-64$求出$a$的值，再将$a$代入$g(x)$计算$g(a)$。
【解析】
(1) 将$x=-2$代入$g(x)=-2x^2-3x+1$，得：
$g(-2)=-2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1$
$=-2×4 + 6 + 1$
$=-8 + 6 + 1$
$=-1$
(2) 由$h(-2)=-64$，将$x=-2$代入$h(x)=16ax$，得：
$16a×(-2)=-64$
$-32a=-64$
解得$a=2$
将$a=2$代入$g(x)$，计算$g(a)=g(2)$：
$g(2)=-2×2^2 - 3×2 + 1$
$=-2×4 - 6 + 1$
$=-8 - 6 + 1$
$=-13$
【答案】
12.解:(1)把$x=-2$代入$g(x)=-2x^{2}-3x+1$,得$g(-2)=-2×(-2)^{2}-3×(-2)+1=-8+6+1=-1$.(2)由$h(-2)=-64$,得$16a×(-2)=-64$,解得$a=2$.当$a=2$时,$g(a)=g(2)=-2×2^{2}-3×2+1=-8-6+1=-13$.
【知识点】
代数式求值，函数值的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对函数值概念的理解及代入求值的基本运算，步骤清晰，只要掌握代入计算的方法即可顺利解答，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.7
本题考查函数值的计算，核心是理解符号$f(x)$的含义——将自变量代入对应式子即可计算函数值。第(1)问直接把$x=-2$代入$g(x)$的表达式计算；第(2)问先利用$h(-2)=-64$求出$a$的值，再将$a$代入$g(x)$计算$g(a)$。
【解析】
(1) 将$x=-2$代入$g(x)=-2x^2-3x+1$，得：
$g(-2)=-2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1$
$=-2×4 + 6 + 1$
$=-8 + 6 + 1$
$=-1$
(2) 由$h(-2)=-64$，将$x=-2$代入$h(x)=16ax$，得：
$16a×(-2)=-64$
$-32a=-64$
解得$a=2$
将$a=2$代入$g(x)$，计算$g(a)=g(2)$：
$g(2)=-2×2^2 - 3×2 + 1$
$=-2×4 - 6 + 1$
$=-8 - 6 + 1$
$=-13$
【答案】
12.解:(1)把$x=-2$代入$g(x)=-2x^{2}-3x+1$,得$g(-2)=-2×(-2)^{2}-3×(-2)+1=-8+6+1=-1$.(2)由$h(-2)=-64$,得$16a×(-2)=-64$,解得$a=2$.当$a=2$时,$g(a)=g(2)=-2×2^{2}-3×2+1=-8-6+1=-13$.
【知识点】
代数式求值，函数值的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对函数值概念的理解及代入求值的基本运算，步骤清晰，只要掌握代入计算的方法即可顺利解答，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.7
