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14. 定义新运算:对于任意实数$m$、$n$都有$m☆n=m^2 n + n$.例如:$(-3)☆5=(-3)^2 ×5 +5=50$.根据以上定义解决问题:
(1)若$x☆4=40$,求$x$的值;
(2)若$(x -5)☆1=17$,求$x$的值.
(1)若$x☆4=40$,求$x$的值;
(2)若$(x -5)☆1=17$,求$x$的值.
答案
14. (1) $\because x☆4=40, \therefore 4x^2+4=40. \therefore 4x^2=36. \therefore x^2=9. \therefore x=\pm3$ (2) $\because (x-5)☆1=17, \therefore (x-5)^2+1=17. \therefore (x-5)^2=16. \therefore x-5=\pm4. \therefore x=9$或$x=1$
解析
【分析】
本题为新定义运算类题目，解题核心是先准确理解给定的新运算规则：$m☆n$等于第一个数的平方乘第二个数，再加第二个数。解题时先将每一问中对应的值代入新运算公式，把新运算转化为我们熟悉的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 根据新运算定义，将$m=x$，$n=4$代入$m☆n=m^2 n + n$得：
$\because x☆4=40$
$\therefore 4x^2+4=40$
移项化简得：$4x^2=36$，即$x^2=9$
开平方得：$x=\pm3$
(2) 根据新运算定义，将$m=x-5$，$n=1$代入$m☆n=m^2 n + n$得：
$\because (x-5)☆1=17$
$\therefore (x-5)^2×1 +1=17$
化简得：$(x-5)^2=16$
开平方得：$x-5=\pm4$
当$x-5=4$时，$x=9$；当$x-5=-4$时，$x=1$
$\therefore x=9$或$x=1$
【答案】
(1) $x=\pm3$；(2) $x=9$或$x=1$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查对新定义运算的转化能力，以及直接开平方法解一元二次方程的掌握程度，解题关键是准确将新运算规则转化为常规代数表达式，注意开平方运算需取正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题为新定义运算类题目，解题核心是先准确理解给定的新运算规则：$m☆n$等于第一个数的平方乘第二个数，再加第二个数。解题时先将每一问中对应的值代入新运算公式，把新运算转化为我们熟悉的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 根据新运算定义，将$m=x$，$n=4$代入$m☆n=m^2 n + n$得：
$\because x☆4=40$
$\therefore 4x^2+4=40$
移项化简得：$4x^2=36$，即$x^2=9$
开平方得：$x=\pm3$
(2) 根据新运算定义，将$m=x-5$，$n=1$代入$m☆n=m^2 n + n$得：
$\because (x-5)☆1=17$
$\therefore (x-5)^2×1 +1=17$
化简得：$(x-5)^2=16$
开平方得：$x-5=\pm4$
当$x-5=4$时，$x=9$；当$x-5=-4$时，$x=1$
$\therefore x=9$或$x=1$
【答案】
(1) $x=\pm3$；(2) $x=9$或$x=1$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查对新定义运算的转化能力，以及直接开平方法解一元二次方程的掌握程度，解题关键是准确将新运算规则转化为常规代数表达式，注意开平方运算需取正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
1. 一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的解为 【 】
A.$x_1=0, x_2=2$
B.$x_1=0, x_2=-2$
C.$x_1=2, x_2=-2$
D.$x_1=1, x_2=-1$
A.$x_1=0, x_2=2$
B.$x_1=0, x_2=-2$
C.$x_1=2, x_2=-2$
D.$x_1=1, x_2=-1$
答案
A
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：第一步观察方程特征，左边无常数项，存在公因式$x$，适合用提公因式法因式分解；第二步根据“两个实数的乘积为0，则至少其中一个实数为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程得到方程的根，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$提公因式因式分解，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题关键是观察方程特征选择合适的因式分解方法，熟练掌握提公因式的技巧即可快速得出答案，得分率较高。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：第一步观察方程特征，左边无常数项，存在公因式$x$，适合用提公因式法因式分解；第二步根据“两个实数的乘积为0，则至少其中一个实数为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程得到方程的根，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$提公因式因式分解，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题关键是观察方程特征选择合适的因式分解方法，熟练掌握提公因式的技巧即可快速得出答案，得分率较高。
【难度系数】
0.9
2. 方程$(x+1)^2 = x+1$的正确解法是 【 】
A.化为$x+1=1$
B.化为$(x+1)(x+1-1)=0$
C.化为$x^2+3x+2=0$
D.化为$x+1=0$
A.化为$x+1=1$
B.化为$(x+1)(x+1-1)=0$
C.化为$x^2+3x+2=0$
D.化为$x+1=0$
答案
B
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时首先要明确：求解一元二次方程时，不能直接在等式两边同时除以含有未知数的整式，否则会遗漏未知数使该整式为0的根。正确的解题思路是先将等式右侧的$(x+1)$移到左侧，使等式右边为0，再提取公因式$(x+1)$对左侧的多项式进行因式分解，再逐一对比选项判断正误。
【解析】
解：对于方程$(x+1)^2 = x+1$，
第一步：移项，将右侧的$x+1$移到左侧，得：
$(x+1)^2 - (x+1) = 0$
第二步：提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(x+1 - 1) = 0$
逐一分析选项：
A选项：直接在等式两边除以$x+1$得到$x+1=1$，未考虑$x+1=0$的情况，会漏根，解法错误；
B选项：与推导得到的式子一致，解法正确；
C选项：将原方程展开移项后应为$x^2 + x = 0$，而非$x^2+3x+2=0$，解法错误；
D选项：只考虑了因式$x+1=0$的情况，遗漏了$x+1-1=0$即$x=0$的根，解法错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程求解
【点评】
本题是解方程的基础题型，重点考查因式分解法解方程的规范步骤，易错点是忽略含未知数的整式可能为0，直接两边同除该整式导致漏根，掌握解方程的基本原则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时首先要明确：求解一元二次方程时，不能直接在等式两边同时除以含有未知数的整式，否则会遗漏未知数使该整式为0的根。正确的解题思路是先将等式右侧的$(x+1)$移到左侧，使等式右边为0，再提取公因式$(x+1)$对左侧的多项式进行因式分解，再逐一对比选项判断正误。
【解析】
解：对于方程$(x+1)^2 = x+1$，
第一步：移项，将右侧的$x+1$移到左侧，得：
$(x+1)^2 - (x+1) = 0$
第二步：提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(x+1 - 1) = 0$
逐一分析选项：
A选项：直接在等式两边除以$x+1$得到$x+1=1$，未考虑$x+1=0$的情况，会漏根，解法错误；
B选项：与推导得到的式子一致，解法正确；
C选项：将原方程展开移项后应为$x^2 + x = 0$，而非$x^2+3x+2=0$，解法错误；
D选项：只考虑了因式$x+1=0$的情况，遗漏了$x+1-1=0$即$x=0$的根，解法错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程求解
【点评】
本题是解方程的基础题型，重点考查因式分解法解方程的规范步骤，易错点是忽略含未知数的整式可能为0，直接两边同除该整式导致漏根，掌握解方程的基本原则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
3. 已知一元二次方程$(x+3)(x+k)=0$有一个根是2，则k的值为 【 】
A.2
B.$-2$
C.3
D.$-3$
A.2
B.$-2$
C.3
D.$-3$
答案
B
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路1：根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根x=2代入原方程，即可得到关于k的一元一次方程，求解就能得到k的值；思路2：根据因式分解法解一元二次方程的原理，两个因式的乘积为0则至少一个因式为0，可先得到方程的两个根分别为x=-3和x=-k，已知一个根为2，不是-3，因此对应可得-k=2，进而求出k。
【解析】
方法一：代入法
∵x=2是方程$(x+3)(x+k)=0$的根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$(2+3)(2+k)=0$
计算得$5(2+k)=0$
∵5≠0，
∴$2+k=0$
解得$k=-2$。
方法二：因式分解法原理
对于方程$(x+3)(x+k)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$x+3=0$或$x+k=0$
解得方程的两个根为$x_1=-3$，$x_2=-k$
已知方程有一个根是2，显然2≠-3，因此$-k=2$
解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，以及因式分解法解方程的基本逻辑，两种解题方法都比较直观，熟练掌握根的定义代入求值是最快的解题方法。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：思路1：根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根x=2代入原方程，即可得到关于k的一元一次方程，求解就能得到k的值；思路2：根据因式分解法解一元二次方程的原理，两个因式的乘积为0则至少一个因式为0，可先得到方程的两个根分别为x=-3和x=-k，已知一个根为2，不是-3，因此对应可得-k=2，进而求出k。
【解析】
方法一：代入法
∵x=2是方程$(x+3)(x+k)=0$的根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$(2+3)(2+k)=0$
计算得$5(2+k)=0$
∵5≠0，
∴$2+k=0$
解得$k=-2$。
方法二：因式分解法原理
对于方程$(x+3)(x+k)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$x+3=0$或$x+k=0$
解得方程的两个根为$x_1=-3$，$x_2=-k$
已知方程有一个根是2，显然2≠-3，因此$-k=2$
解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，以及因式分解法解方程的基本逻辑，两种解题方法都比较直观，熟练掌握根的定义代入求值是最快的解题方法。
【难度系数】
0.8
4. 方程$9(x+1)^2 -4(x-1)^2=0$的正确解法是 【 】
A.直接开方,得$3(x+1)=2(x-1)$
B.分解因式,得$[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0$
C.化为一般式,得$13x^2 +5=0$
D.直接得$x+1=0$或$x-1=0$
A.直接开方,得$3(x+1)=2(x-1)$
B.分解因式,得$[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0$
C.化为一般式,得$13x^2 +5=0$
D.直接得$x+1=0$或$x-1=0$
答案
B
解析
【分析】
拿到本题首先观察方程结构，左边为两个平方项的差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，可优先考虑因式分解法求解，再逐一分析每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：直接开方时，正数的平方根有正负两个，正确结果应为$3(x+1)=\pm2(x-1)$，该选项漏了负的情况，错误。
2. 选项B：原方程可变形为$[3(x+1)]^2 - [2(x-1)]^2=0$，根据平方差公式因式分解，可得$[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0$，该选项正确。
3. 选项C：将原方程化为一般式，展开得：
$9(x^2+2x+1)-4(x^2-2x+1)=0$
$9x^2+18x+9-4x^2+8x-4=0$
整理得$5x^2+26x+5=0$，并非$13x^2+5=0$，该选项错误。
4. 选项D：没有运算依据直接得出$x+1=0$或$x-1=0$，错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 平方差公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程不同解法的辨析，需要熟练掌握各类解法的适用条件和注意事项，避免出现漏解、符号运算错误等问题。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察方程结构，左边为两个平方项的差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，可优先考虑因式分解法求解，再逐一分析每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：直接开方时，正数的平方根有正负两个，正确结果应为$3(x+1)=\pm2(x-1)$，该选项漏了负的情况，错误。
2. 选项B：原方程可变形为$[3(x+1)]^2 - [2(x-1)]^2=0$，根据平方差公式因式分解，可得$[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0$，该选项正确。
3. 选项C：将原方程化为一般式，展开得：
$9(x^2+2x+1)-4(x^2-2x+1)=0$
$9x^2+18x+9-4x^2+8x-4=0$
整理得$5x^2+26x+5=0$，并非$13x^2+5=0$，该选项错误。
4. 选项D：没有运算依据直接得出$x+1=0$或$x-1=0$，错误。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 平方差公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程不同解法的辨析，需要熟练掌握各类解法的适用条件和注意事项，避免出现漏解、符号运算错误等问题。
【难度系数】
0.8
5. 方程$x^2 = x$的解是
$x_1=0, x_2=1$
。答案
5. $x_1=0, x_2=1$
解析
【分析】
求解该一元二次方程时，注意不能直接在等号两边同时除以x，否则会遗漏x=0的根（x可能为0，除以0无意义）。正确的解题思路是：先将等号右侧的x移到左侧，使方程右侧为0，再对左侧的多项式因式分解，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得：
$x^2 - x = 0$
对左侧提取公因式$x$，得：
$x(x - 1) = 0$
因此可得$x=0$或$x-1=0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1=0$，$x_2=1$
【答案】
$x_1=0, x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题的易错点是直接给方程两边同除以x导致丢根，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
求解该一元二次方程时，注意不能直接在等号两边同时除以x，否则会遗漏x=0的根（x可能为0，除以0无意义）。正确的解题思路是：先将等号右侧的x移到左侧，使方程右侧为0，再对左侧的多项式因式分解，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得：
$x^2 - x = 0$
对左侧提取公因式$x$，得：
$x(x - 1) = 0$
因此可得$x=0$或$x-1=0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1=0$，$x_2=1$
【答案】
$x_1=0, x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题的易错点是直接给方程两边同除以x导致丢根，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
6.（苏州期末）一元二次方程$2x(x - 3) = 3(x - 3)$的根是
$x_1=3, x_2=\frac{3}{2}$
。答案
6. $x_1=3, x_2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会丢失$x=3$这个根。正确思路是先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边提取公因式$(x-3)$进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得
$2x(x - 3) - 3(x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得
$(x - 3)(2x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 3 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x - 3 = 0$时，解得$x_1 = 3$；
当$2x - 3 = 0$时，移项得$2x = 3$，解得$x_2 = \frac{3}{2}$。
【答案】
$x_1=3, x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题的易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式导致漏根，熟练掌握因式分解的方法，牢记解一元二次方程时先将方程整理为右边为0的形式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会丢失$x=3$这个根。正确思路是先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边提取公因式$(x-3)$进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得
$2x(x - 3) - 3(x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得
$(x - 3)(2x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 3 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x - 3 = 0$时，解得$x_1 = 3$；
当$2x - 3 = 0$时，移项得$2x = 3$，解得$x_2 = \frac{3}{2}$。
【答案】
$x_1=3, x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题的易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式导致漏根，熟练掌握因式分解的方法，牢记解一元二次方程时先将方程整理为右边为0的形式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.（肥城期中）已知三角形的两边长分别是5和8，第三边的长是一元二次方程$(x-3)(x-10)=0$的一个实数根，则该三角形的周长是
$23$
。答案
7. 23
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先解一元二次方程求出第三边的可能取值；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求出的根进行验证，舍去不符合构成三角形条件的根；第三步，将符合条件的第三边长度代入，计算三角形的周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$(x-3)(x-10)=0$：
根据因式分解法解方程的规则，可得$x-3=0$或$x-10=0$，解得$x_1=3$，$x_2=10$，即第三边的可能长度为3或10。
2. 结合三角形三边关系验证：
已知三角形两边长为5和8，若第三边长为3，此时$5+3=8$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故舍去$x=3$；
若第三边长为10，验证得$5+8＞10$，$8+10＞5$，$5+10＞8$，同时满足两边之差小于第三边，符合三角形构成条件。
3. 计算周长：
三角形周长为三边长度之和，即$5+8+10=23$。
【答案】
23
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解和三角形三边关系结合考察，易错点是学生容易忽略对一元二次方程的根进行合理性验证，直接代入两个根计算周长，做题时要注意数学结论要符合实际几何图形的构成要求。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先解一元二次方程求出第三边的可能取值；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求出的根进行验证，舍去不符合构成三角形条件的根；第三步，将符合条件的第三边长度代入，计算三角形的周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$(x-3)(x-10)=0$：
根据因式分解法解方程的规则，可得$x-3=0$或$x-10=0$，解得$x_1=3$，$x_2=10$，即第三边的可能长度为3或10。
2. 结合三角形三边关系验证：
已知三角形两边长为5和8，若第三边长为3，此时$5+3=8$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故舍去$x=3$；
若第三边长为10，验证得$5+8＞10$，$8+10＞5$，$5+10＞8$，同时满足两边之差小于第三边，符合三角形构成条件。
3. 计算周长：
三角形周长为三边长度之和，即$5+8+10=23$。
【答案】
23
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解和三角形三边关系结合考察，易错点是学生容易忽略对一元二次方程的根进行合理性验证，直接代入两个根计算周长，做题时要注意数学结论要符合实际几何图形的构成要求。
【难度系数】
0.7
