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1. 如图,在菱形纸片ABCD中,E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在点B'处,连接DB'。已知∠C=120°,∠BAE=50°,则∠AB'D的度数为(
A.50°
B.60°
C.80°
D.90°
（第1题）
C
)。A.50°
B.60°
C.80°
D.90°
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件，分别运用菱形和折叠的性质推导相等的边与角：首先根据菱形对角相等、四条边相等的性质，得到∠BAD的度数及AB=AD的关系；再利用折叠前后对应角相等、对应边相等，得出∠B'AE的度数和AB=AB'的关系，进而求出∠B'AD的度数；最后由AB=AD、AB=AB'推出AD=AB'，得到等腰△AB'D，利用三角形内角和即可算出∠AB'D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°
∴AB=AD，∠BAD=∠C=120°
∵将△ABE沿直线AE翻折得到△AB'E
∴∠B'AE=∠BAE=50°，AB=AB'
∴∠BAB'=∠BAE + ∠B'AE = 50° + 50° = 100°
∴∠B'AD = ∠BAD - ∠BAB' = 120° - 100° = 20°
又
∵AB=AD，AB=AB'
∴AD=AB'，即△AB'D为等腰三角形
∴∠AB'D = (180° - ∠B'AD) ÷ 2 = (180° - 20°) ÷ 2 = 80°
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形、折叠和等腰三角形的知识点结合考察，解题的核心是通过性质推导得到相等的边和角，构造等腰三角形求解，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件，分别运用菱形和折叠的性质推导相等的边与角：首先根据菱形对角相等、四条边相等的性质，得到∠BAD的度数及AB=AD的关系；再利用折叠前后对应角相等、对应边相等，得出∠B'AE的度数和AB=AB'的关系，进而求出∠B'AD的度数；最后由AB=AD、AB=AB'推出AD=AB'，得到等腰△AB'D，利用三角形内角和即可算出∠AB'D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°
∴AB=AD，∠BAD=∠C=120°
∵将△ABE沿直线AE翻折得到△AB'E
∴∠B'AE=∠BAE=50°，AB=AB'
∴∠BAB'=∠BAE + ∠B'AE = 50° + 50° = 100°
∴∠B'AD = ∠BAD - ∠BAB' = 120° - 100° = 20°
又
∵AB=AD，AB=AB'
∴AD=AB'，即△AB'D为等腰三角形
∴∠AB'D = (180° - ∠B'AD) ÷ 2 = (180° - 20°) ÷ 2 = 80°
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形、折叠和等腰三角形的知识点结合考察，解题的核心是通过性质推导得到相等的边和角，构造等腰三角形求解，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
2. (2025·河南中考)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为(
A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2} - 6$
D
)。A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2} - 6$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时我们结合已知条件，先回忆相关性质理清思路：首先折叠前后对应边、对应角相等，由此可得AB=AF、∠F=∠B=45°，可判断出△ABF是等腰直角三角形；再结合菱形四条边相等的性质，得到BC=AB=6。接下来先计算BF的长度，再用BF的长度减去BC的长度就能求出CF的长。
【解析】
解：
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在BC延长线上的点F处
∴AB=AF=6，∠AFE=∠B=45°
在△ABF中，∠B=∠AFB=45°，则∠BAF=180°-45°-45°=90°，即△ABF为等腰直角三角形
根据勾股定理可得：$BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6
∴$CF=BF-BC=6\sqrt{2}-6$
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将折叠变换、菱形性质和直角三角形计算结合考查，解题的核心是利用折叠的性质确定△ABF的形状，再结合菱形边长相等的特性作差求解。
【难度系数】
0.7
解题时我们结合已知条件，先回忆相关性质理清思路：首先折叠前后对应边、对应角相等，由此可得AB=AF、∠F=∠B=45°，可判断出△ABF是等腰直角三角形；再结合菱形四条边相等的性质，得到BC=AB=6。接下来先计算BF的长度，再用BF的长度减去BC的长度就能求出CF的长。
【解析】
解：
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在BC延长线上的点F处
∴AB=AF=6，∠AFE=∠B=45°
在△ABF中，∠B=∠AFB=45°，则∠BAF=180°-45°-45°=90°，即△ABF为等腰直角三角形
根据勾股定理可得：$BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6
∴$CF=BF-BC=6\sqrt{2}-6$
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将折叠变换、菱形性质和直角三角形计算结合考查，解题的核心是利用折叠的性质确定△ABF的形状，再结合菱形边长相等的特性作差求解。
【难度系数】
0.7
3. (2025·辽宁中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上,AE=2,点F在线段OC上,OF=1,连接BE,点G为BE的中点,连接FG,则FG的长为
$\sqrt{13}$
。答案
3. $\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直且平分，由此可得AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=6。要求FG的长度，可采用数形结合的思路：以对角线交点O为原点建立平面直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，先确定B、E、F三点的坐标，再根据中点坐标公式求出BE中点G的坐标，最后用两点间距离公式即可算出FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，AC=8，BD=12
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6
以O为坐标原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则：
点B坐标为(-6, 0)，点A坐标为(0, 4)，点C坐标为(0, -4)
∵点E在OA上，AE=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，即E(0, 2)
∵点F在OC上，OF=1，
∴F(0, -1)
∵G是BE的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
∴G点坐标为$(\frac{-6+0}{2},\frac{0+2}{2})$，即G(-3, 1)
根据两点间距离公式，FG的长度为：
$\sqrt{(-3-0)^2 + [1-(-1)]^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质，中点坐标公式，两点间距离公式
【点评】
本题将菱形性质与坐标运算结合，考查数形结合思想的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，把抽象的几何线段计算转化为直观的坐标运算，解题方法灵活，能有效检验学生对几何性质和代数运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
首先根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直且平分，由此可得AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=6。要求FG的长度，可采用数形结合的思路：以对角线交点O为原点建立平面直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，先确定B、E、F三点的坐标，再根据中点坐标公式求出BE中点G的坐标，最后用两点间距离公式即可算出FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，AC=8，BD=12
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6
以O为坐标原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则：
点B坐标为(-6, 0)，点A坐标为(0, 4)，点C坐标为(0, -4)
∵点E在OA上，AE=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，即E(0, 2)
∵点F在OC上，OF=1，
∴F(0, -1)
∵G是BE的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
∴G点坐标为$(\frac{-6+0}{2},\frac{0+2}{2})$，即G(-3, 1)
根据两点间距离公式，FG的长度为：
$\sqrt{(-3-0)^2 + [1-(-1)]^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质，中点坐标公式，两点间距离公式
【点评】
本题将菱形性质与坐标运算结合，考查数形结合思想的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，把抽象的几何线段计算转化为直观的坐标运算，解题方法灵活，能有效检验学生对几何性质和代数运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
4. (2024·河南中考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CD$是斜边$AB$上的中线,$BE// DC$交$AC$的延长线于点$E$。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作$∠ ECM$,使$∠ ECM = ∠ A$,且射线$CM$交$BE$于点$F$(保留作图痕迹,不写作法);
(2)证明(1)中得到的四边形$CDBF$是菱形。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作$∠ ECM$,使$∠ ECM = ∠ A$,且射线$CM$交$BE$于点$F$(保留作图痕迹,不写作法);
(2)证明(1)中得到的四边形$CDBF$是菱形。
答案
(1)
(2) 由(1),得∠ECF = ∠A,
∴ CF//AB。
∵ BE//DC,
∴ 四边形 CDBF 是平行四边形。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴ CD = BD。
∴ CDBF 是菱形
解析
【分析】
(1) 作图思路：要作∠ECM=∠A，使用尺规作图中“作一个角等于已知角”的基本操作即可，以C为顶点，CE为角的一边，按照作等角的步骤画出射线CM，交BE于点F，保留作图痕迹。
(2) 证明思路：要证明四边形CDBF是菱形，可先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先由所作的∠ECM=∠A，根据同位角相等可推出CF//AB，结合已知BE//DC，可得两组对边分别平行，先判定为平行四边形；再根据直角三角形斜边中线的性质，CD是Rt△ABC斜边AB的中线，可得CD=BD，即平行四边形的一组邻边相等，即可判定为菱形。
【解析】
(1) 作图步骤：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于两点；②以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交CE于一点；③以CE上的交点为圆心，以步骤①中AC、AB上两交点的距离为半径画弧，和步骤②的弧交于一点；④过点C和该交点作射线CM，交BE于点F，∠ECM即为所求。
(2) 证明：
由(1)得∠ECF=∠A，根据同位角相等，两直线平行，可得$CF// AB$，
又已知$BE// DC$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形CDBF是平行四边形，
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB=BD$，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形CDBF是菱形。
【答案】
(1)
(2) 由(1),得∠ECF = ∠A,
∴ CF//AB。
∵ BE//DC,
∴ 四边形 CDBF 是平行四边形。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴ CD = BD。
∴ $\ykparallelogram$CDBF 是菱形
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 菱形的判定
【点评】
本题综合考查了尺规基本作图和特殊四边形的判定，既要求熟练掌握基本作图技能，又需要灵活运用平行线判定、平行四边形判定、菱形判定及直角三角形的相关性质，几何逻辑清晰，属于基础类几何综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：要作∠ECM=∠A，使用尺规作图中“作一个角等于已知角”的基本操作即可，以C为顶点，CE为角的一边，按照作等角的步骤画出射线CM，交BE于点F，保留作图痕迹。
(2) 证明思路：要证明四边形CDBF是菱形，可先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先由所作的∠ECM=∠A，根据同位角相等可推出CF//AB，结合已知BE//DC，可得两组对边分别平行，先判定为平行四边形；再根据直角三角形斜边中线的性质，CD是Rt△ABC斜边AB的中线，可得CD=BD，即平行四边形的一组邻边相等，即可判定为菱形。
【解析】
(1) 作图步骤：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于两点；②以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交CE于一点；③以CE上的交点为圆心，以步骤①中AC、AB上两交点的距离为半径画弧，和步骤②的弧交于一点；④过点C和该交点作射线CM，交BE于点F，∠ECM即为所求。
(2) 证明：
由(1)得∠ECF=∠A，根据同位角相等，两直线平行，可得$CF// AB$，
又已知$BE// DC$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形CDBF是平行四边形，
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB=BD$，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形CDBF是菱形。
【答案】
(1)
(2) 由(1),得∠ECF = ∠A,
∴ CF//AB。
∵ BE//DC,
∴ 四边形 CDBF 是平行四边形。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴ CD = BD。
∴ $\ykparallelogram$CDBF 是菱形
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 菱形的判定
【点评】
本题综合考查了尺规基本作图和特殊四边形的判定，既要求熟练掌握基本作图技能，又需要灵活运用平行线判定、平行四边形判定、菱形判定及直角三角形的相关性质，几何逻辑清晰，属于基础类几何综合题。
【难度系数】
0.7
