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6.如图3-1-93,在方格棋盘上放三枚棋子,位置分别是$(4,4)$,$(8,4)$,$(5,6)$,这三枚棋子组成一个什么图形?能否再放一枚棋子,使这四枚棋子组成一个平行四边形?如果能,请说出应放在什么位置,并写出位置坐标.
图3-1-93
图3-1-93
答案
6. 三角形；再放一枚棋子能组成平行四边形,棋子位置可以是(1,6),(9,6)或(7,2).
解析
【分析】
解题思路可分为两步：1. 判断三枚棋子组成的图形：先观察三个点的坐标，验证三点是否共线，不共线的三个点即可组成三角形；2. 求第四个棋子的位置：根据平行四边形对角线互相平分的性质，对角线的中点坐标相同，分三种情况讨论，分别以已知三个点两两连线为平行四边形的对角线，利用中点坐标公式计算第四个点的坐标，避免漏解。
【解析】
设三枚棋子的位置分别为点$A(4,4)$，$B(8,4)$，$C(5,6)$，第四个点为$D(x,y)$。
1. 判断三个点组成的图形：
点$A$、$B$的纵坐标均为4，说明两点在直线$y=4$上；点$C$的纵坐标为6，不在直线$y=4$上，因此$A$、$B$、$C$三点不共线，可组成三角形。
2. 求第四个点$D$的坐标：
平行四边形的对角线互相平分，因此两条对角线的中点坐标相同，分三种情况讨论：
① 若以$AB$为平行四边形的对角线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{4+8}{2},\frac{4+4}{2})=(6,4)$，则$CD$的中点也为$(6,4)$，可得：
$\frac{5+x}{2}=6$，$\frac{6+y}{2}=4$，解得$x=7$，$y=2$，即$D(7,2)$。
② 若以$AC$为平行四边形的对角线：
$AC$的中点坐标为$(\frac{4+5}{2},\frac{4+6}{2})=(4.5,5)$，则$BD$的中点也为$(4.5,5)$，可得：
$\frac{8+x}{2}=4.5$，$\frac{4+y}{2}=5$，解得$x=1$，$y=6$，即$D(1,6)$。
③ 若以$BC$为平行四边形的对角线：
$BC$的中点坐标为$(\frac{8+5}{2},\frac{4+6}{2})=(6.5,5)$，则$AD$的中点也为$(6.5,5)$，可得：
$\frac{4+x}{2}=6.5$，$\frac{4+y}{2}=5$，解得$x=9$，$y=6$，即$D(9,6)$。
综上，可放置棋子的位置为$(1,6)$、$(9,6)$或$(7,2)$。
【答案】
三角形；能，棋子位置可以是$\boldsymbol{(1,6)}$、$\boldsymbol{(9,6)}$或$\boldsymbol{(7,2)}$。
【知识点】
1. 坐标与图形位置
2. 平行四边形的性质
3. 中点坐标计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查平行四边形的性质应用，解题的关键是掌握分类讨论的思想，分别讨论三种不同的对角线情况，避免出现漏解的问题，有助于锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为两步：1. 判断三枚棋子组成的图形：先观察三个点的坐标，验证三点是否共线，不共线的三个点即可组成三角形；2. 求第四个棋子的位置：根据平行四边形对角线互相平分的性质，对角线的中点坐标相同，分三种情况讨论，分别以已知三个点两两连线为平行四边形的对角线，利用中点坐标公式计算第四个点的坐标，避免漏解。
【解析】
设三枚棋子的位置分别为点$A(4,4)$，$B(8,4)$，$C(5,6)$，第四个点为$D(x,y)$。
1. 判断三个点组成的图形：
点$A$、$B$的纵坐标均为4，说明两点在直线$y=4$上；点$C$的纵坐标为6，不在直线$y=4$上，因此$A$、$B$、$C$三点不共线，可组成三角形。
2. 求第四个点$D$的坐标：
平行四边形的对角线互相平分，因此两条对角线的中点坐标相同，分三种情况讨论：
① 若以$AB$为平行四边形的对角线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{4+8}{2},\frac{4+4}{2})=(6,4)$，则$CD$的中点也为$(6,4)$，可得：
$\frac{5+x}{2}=6$，$\frac{6+y}{2}=4$，解得$x=7$，$y=2$，即$D(7,2)$。
② 若以$AC$为平行四边形的对角线：
$AC$的中点坐标为$(\frac{4+5}{2},\frac{4+6}{2})=(4.5,5)$，则$BD$的中点也为$(4.5,5)$，可得：
$\frac{8+x}{2}=4.5$，$\frac{4+y}{2}=5$，解得$x=1$，$y=6$，即$D(1,6)$。
③ 若以$BC$为平行四边形的对角线：
$BC$的中点坐标为$(\frac{8+5}{2},\frac{4+6}{2})=(6.5,5)$，则$AD$的中点也为$(6.5,5)$，可得：
$\frac{4+x}{2}=6.5$，$\frac{4+y}{2}=5$，解得$x=9$，$y=6$，即$D(9,6)$。
综上，可放置棋子的位置为$(1,6)$、$(9,6)$或$(7,2)$。
【答案】
三角形；能，棋子位置可以是$\boldsymbol{(1,6)}$、$\boldsymbol{(9,6)}$或$\boldsymbol{(7,2)}$。
【知识点】
1. 坐标与图形位置
2. 平行四边形的性质
3. 中点坐标计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查平行四边形的性质应用，解题的关键是掌握分类讨论的思想，分别讨论三种不同的对角线情况，避免出现漏解的问题，有助于锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
7.星期天,小王、小李、小张三名同学相约到中心广场游玩,出发前,他们每人带了一张利用平面直角坐标系画的示意图,其中图书馆的坐标是$(-4,3)$,华宇商城的坐标是$(2,-3)$.
图3-1-94
(1) 图3-1-94是省略了平面直角坐标系的示意图,请根据上述信息,画出该平面直角坐标系.
(2) 在图中写出体育馆、中心广场、棋艺活动中心、街心花园、国际大酒店的位置坐标.
(3) 小王、小张两人到了中心广场附近,还没看到小李,于是打电话问小李的位置,小李说他现在的位置坐标是$(-2,-2)$,请你在图中用字母A标出小李的位置.
(4) 过了一会儿,小李打电话说他再向北走3个单位长度就到中心广场,此时小李在哪里?用坐标表示他所在的位置.
图3-1-94
(1) 图3-1-94是省略了平面直角坐标系的示意图,请根据上述信息,画出该平面直角坐标系.
(2) 在图中写出体育馆、中心广场、棋艺活动中心、街心花园、国际大酒店的位置坐标.
(3) 小王、小张两人到了中心广场附近,还没看到小李,于是打电话问小李的位置,小李说他现在的位置坐标是$(-2,-2)$,请你在图中用字母A标出小李的位置.
(4) 过了一会儿,小李打电话说他再向北走3个单位长度就到中心广场,此时小李在哪里?用坐标表示他所在的位置.
答案
7. (1) 坐标系:国际大酒店是原点,向东为x轴正方向,向北为y轴正方向.
(2) 体育馆(-9,4),中心广场(-4,2),棋艺活动中心(-7,-1),街心花园(-5,-3),国际大酒店(0,0).
(3) 答案略.
(4) (-4,-1).
(2) 体育馆(-9,4),中心广场(-4,2),棋艺活动中心(-7,-1),街心花园(-5,-3),国际大酒店(0,0).
(3) 答案略.
(4) (-4,-1).
解析
【分析】
解题首先要确定平面直角坐标系：已知两个点的坐标，先明确每格代表1个单位长度，再通过已知点的坐标反推原点位置：图书馆坐标为(-4,3)，说明原点在图书馆正东4个单位、正南3个单位的位置，也就是国际大酒店所在处，确定原点后以向东为x轴正方向、向北为y轴正方向建立坐标系即可。建立坐标系后，根据“左负右正、下负上正”的坐标规则，数格子就能得到各点坐标；找指定坐标的位置只需按横、纵坐标的正负和数值找对应格子即可；坐标平移时，向北走是沿y轴正方向移动，横坐标不变，纵坐标变化，已知移动后的位置反推原位置，反向计算纵坐标即可。
【解析】
(1) 步骤：① 对比图书馆(-4,3)和华宇商城(2,-3)的坐标，两点水平距离为$2-(-4)=6$，竖直距离为$3-(-3)=6$，对应图中两点的水平、竖直格数均为6，可得每小格代表1个单位长度。② 由图书馆坐标(-4,3)可知，原点在图书馆向右（东）4格、向下（南）3格处，即国际大酒店的位置。③ 以国际大酒店为原点，水平向右（东）为x轴正方向，竖直向上（北）为y轴正方向，画出x轴、y轴，完成坐标系建立。
(2) 逐个确定各点坐标：
体育馆：在原点左侧9格，上方4格，坐标为$(-9,4)$；
中心广场：在原点左侧4格，上方2格，坐标为$(-4,2)$；
棋艺活动中心：在原点左侧7格，下方1格，坐标为$(-7,-1)$；
街心花园：在原点左侧5格，下方3格，坐标为$(-5,-3)$；
国际大酒店为原点，坐标为$(0,0)$。
(3) 找坐标$(-2,-2)$：从原点出发，沿x轴负方向走2格，再沿y轴负方向走2格，在该位置标上字母A即可。
(4) 向北走为沿y轴正方向移动，移动过程中横坐标不变，纵坐标增加3。已知移动后到达中心广场$(-4,2)$，因此小李当前位置的横坐标和中心广场相同为$-4$，纵坐标为$2-3=-1$，即坐标为$(-4,-1)$。
【答案】
(1) 以国际大酒店为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立平面直角坐标系；
(2) 体育馆$(-9,4)$，中心广场$(-4,2)$，棋艺活动中心$(-7,-1)$，街心花园$(-5,-3)$，国际大酒店$(0,0)$；
(3) 略（在坐标$(-2,-2)$处标注A即可）；
(4) $(-4,-1)$
【知识点】
平面直角坐标系建立，用坐标表示位置，坐标平移规律
【点评】
本题结合生活场景考查坐标的实际应用，需要学生掌握坐标系的建立方法，能熟练根据坐标规则确定点的位置、计算平移后的坐标，有助于提升学生的空间感知能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要确定平面直角坐标系：已知两个点的坐标，先明确每格代表1个单位长度，再通过已知点的坐标反推原点位置：图书馆坐标为(-4,3)，说明原点在图书馆正东4个单位、正南3个单位的位置，也就是国际大酒店所在处，确定原点后以向东为x轴正方向、向北为y轴正方向建立坐标系即可。建立坐标系后，根据“左负右正、下负上正”的坐标规则，数格子就能得到各点坐标；找指定坐标的位置只需按横、纵坐标的正负和数值找对应格子即可；坐标平移时，向北走是沿y轴正方向移动，横坐标不变，纵坐标变化，已知移动后的位置反推原位置，反向计算纵坐标即可。
【解析】
(1) 步骤：① 对比图书馆(-4,3)和华宇商城(2,-3)的坐标，两点水平距离为$2-(-4)=6$，竖直距离为$3-(-3)=6$，对应图中两点的水平、竖直格数均为6，可得每小格代表1个单位长度。② 由图书馆坐标(-4,3)可知，原点在图书馆向右（东）4格、向下（南）3格处，即国际大酒店的位置。③ 以国际大酒店为原点，水平向右（东）为x轴正方向，竖直向上（北）为y轴正方向，画出x轴、y轴，完成坐标系建立。
(2) 逐个确定各点坐标：
体育馆：在原点左侧9格，上方4格，坐标为$(-9,4)$；
中心广场：在原点左侧4格，上方2格，坐标为$(-4,2)$；
棋艺活动中心：在原点左侧7格，下方1格，坐标为$(-7,-1)$；
街心花园：在原点左侧5格，下方3格，坐标为$(-5,-3)$；
国际大酒店为原点，坐标为$(0,0)$。
(3) 找坐标$(-2,-2)$：从原点出发，沿x轴负方向走2格，再沿y轴负方向走2格，在该位置标上字母A即可。
(4) 向北走为沿y轴正方向移动，移动过程中横坐标不变，纵坐标增加3。已知移动后到达中心广场$(-4,2)$，因此小李当前位置的横坐标和中心广场相同为$-4$，纵坐标为$2-3=-1$，即坐标为$(-4,-1)$。
【答案】
(1) 以国际大酒店为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立平面直角坐标系；
(2) 体育馆$(-9,4)$，中心广场$(-4,2)$，棋艺活动中心$(-7,-1)$，街心花园$(-5,-3)$，国际大酒店$(0,0)$；
(3) 略（在坐标$(-2,-2)$处标注A即可）；
(4) $(-4,-1)$
【知识点】
平面直角坐标系建立，用坐标表示位置，坐标平移规律
【点评】
本题结合生活场景考查坐标的实际应用，需要学生掌握坐标系的建立方法，能熟练根据坐标规则确定点的位置、计算平移后的坐标，有助于提升学生的空间感知能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
8.图3-1-95是一个旅游景区的景点分布示意图.
（1）以娱乐场为原点、向东为x轴正方向、向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，设图中小方格的边长为1个单位长度，在图中相应位置写出各景点和卫生间的坐标.
（2）若参观各景点只能沿格线行走，请你设计参观八角亭、飞虹桥、百花园、碑亭、观景楼、清水泉、娱乐场七个景点的路线图（在图中用粗线画出），并写出沿格线行走的各拐点的坐标.
（3）若图中1个单位长度表示的实际距离为100m，写出图中各景点的实际坐标.
（4）已知景点A在八角亭的正东方向150m处，景点B在清水泉北偏东30°方向的200m处，在图中标出景点A，B所在的位置，并写出它们的实际坐标.（精确到1m）
（1）以娱乐场为原点、向东为x轴正方向、向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，设图中小方格的边长为1个单位长度，在图中相应位置写出各景点和卫生间的坐标.
（2）若参观各景点只能沿格线行走，请你设计参观八角亭、飞虹桥、百花园、碑亭、观景楼、清水泉、娱乐场七个景点的路线图（在图中用粗线画出），并写出沿格线行走的各拐点的坐标.
（3）若图中1个单位长度表示的实际距离为100m，写出图中各景点的实际坐标.
（4）已知景点A在八角亭的正东方向150m处，景点B在清水泉北偏东30°方向的200m处，在图中标出景点A，B所在的位置，并写出它们的实际坐标.（精确到1m）
答案
8. (1) 坐标系图略. 八角亭(1,-2),飞虹桥(-2,-1),百花园(3,0),碑亭(-2,1),观景楼(-3,2),清水泉(2,1),娱乐场(0,0),卫生间(-3,-2).
(2) 参观各景点的线路图略,各拐点的坐标略.
(3) 各景点的实际坐标(单位:m):
八角亭(100,-200), 飞虹桥(-200,-100), 百花园(300,0), 碑亭(-200,100),观景楼(-300,200), 清水泉(200,100),娱乐场(0,0).
(4) 景点A,B在图中的位置略；坐标(单位:m)是:A(25,-200),B(300,273).
(2) 参观各景点的线路图略,各拐点的坐标略.
(3) 各景点的实际坐标(单位:m):
八角亭(100,-200), 飞虹桥(-200,-100), 百花园(300,0), 碑亭(-200,100),观景楼(-300,200), 清水泉(200,100),娱乐场(0,0).
(4) 景点A,B在图中的位置略；坐标(单位:m)是:A(25,-200),B(300,273).
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系在实际场景中的应用类题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：先明确坐标系三要素：原点为娱乐场，x轴正方向向东，y轴正方向向北，小方格边长为1单位长度。每个点的坐标由其相对于原点的水平（东正西负）、垂直（北正南负）偏移格数确定，逐一计数即可得到各点坐标。
2. 第(2)问：设计的路线只要沿格线行走，且覆盖要求的7个景点即可，路线不唯一，拐点即路线转弯位置，对应写出坐标即可。
3. 第(3)问：已知1单位长度对应实际距离100m，将第(1)问得到的各点横、纵坐标分别乘以100，即可得到对应的实际坐标。
4. 第(4)问：求景点A时，正东方向对应x轴正方向，仅需在八角亭实际x坐标基础上增加对应距离，y坐标不变；求景点B时，利用三角函数计算北偏东30°方向的位移在x、y轴上的分量，再加到清水泉的实际坐标上即可得到B的坐标。
【解析】
(1) 建立符合要求的平面直角坐标系后，逐个确定各点坐标：
娱乐场为原点，坐标为$(0,0)$；
八角亭在原点东1格、南2格，坐标为$(1,-2)$；
飞虹桥在原点西2格、南1格，坐标为$(-2,-1)$；
百花园在原点东3格、$y=0$处，坐标为$(3,0)$；
碑亭在原点西2格、北1格，坐标为$(-2,1)$；
观景楼在原点西3格、北2格，坐标为$(-3,2)$；
清水泉在原点东2格、北1格，坐标为$(2,1)$；
卫生间在原点西3格、南2格，坐标为$(-3,-2)$。
(2) 路线示例：八角亭$(1,-2)$→向西行至$(-2,-2)$→向北行至飞虹桥$(-2,-1)$→向北行至碑亭$(-2,1)$→向西行至观景楼$(-3,2)$→向南行至$(-3,0)$→向东行至娱乐场$(0,0)$→向东行至$(2,0)$→向北行至清水泉$(2,1)$→向东行至$(3,1)$→向南行至百花园$(3,0)$，拐点坐标即为上述路线中转弯位置的坐标，路线合理即可。
(3) 实际坐标转换：1单位长度=100m，各点坐标横纵坐标均乘100：
八角亭：$(1×100,-2×100)=(100,-200)\ \mathrm{m}$；
飞虹桥：$(-2×100,-1×100)=(-200,-100)\ \mathrm{m}$；
百花园：$(3×100,0×100)=(300,0)\ \mathrm{m}$；
碑亭：$(-2×100,1×100)=(-200,100)\ \mathrm{m}$；
观景楼：$(-3×100,2×100)=(-300,200)\ \mathrm{m}$；
清水泉：$(2×100,1×100)=(200,100)\ \mathrm{m}$；
娱乐场：$(0×100,0×100)=(0,0)\ \mathrm{m}$。
(4) 景点A：八角亭实际坐标为$(100,-200)$，正东150m，x坐标增加150，得$(250,-200)\ \mathrm{m}$；
景点B：清水泉实际坐标$(200,100)$，北偏东$30°$方向200m，x方向位移：$200×\sin30°=100\ \mathrm{m}$，y方向位移：$200×\cos30°\approx173\ \mathrm{m}$，故B的坐标为$(200+100,100+173)=(300,273)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 八角亭$(1,-2)$，飞虹桥$(-2,-1)$，百花园$(3,0)$，碑亭$(-2,1)$，观景楼$(-3,2)$，清水泉$(2,1)$，娱乐场$(0,0)$，卫生间$(-3,-2)$；
(2) 路线合理即可，拐点坐标对应所设计路线即可；
(3) 八角亭$(100,-200)\ \mathrm{m}$，飞虹桥$(-200,-100)\ \mathrm{m}$，百花园$(300,0)\ \mathrm{m}$，碑亭$(-200,100)\ \mathrm{m}$，观景楼$(-300,200)\ \mathrm{m}$，清水泉$(200,100)\ \mathrm{m}$，娱乐场$(0,0)\ \mathrm{m}$；
(4) $A(250,-200)\ \mathrm{m}$，$B(300,273)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
用坐标确定位置，平面直角坐标系，解直角三角形
【点评】
本题贴合生活实际，考查了平面直角坐标系的建立、坐标与实际距离的转换以及利用三角函数确定位置的知识点，能够有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是平面直角坐标系在实际场景中的应用类题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：先明确坐标系三要素：原点为娱乐场，x轴正方向向东，y轴正方向向北，小方格边长为1单位长度。每个点的坐标由其相对于原点的水平（东正西负）、垂直（北正南负）偏移格数确定，逐一计数即可得到各点坐标。
2. 第(2)问：设计的路线只要沿格线行走，且覆盖要求的7个景点即可，路线不唯一，拐点即路线转弯位置，对应写出坐标即可。
3. 第(3)问：已知1单位长度对应实际距离100m，将第(1)问得到的各点横、纵坐标分别乘以100，即可得到对应的实际坐标。
4. 第(4)问：求景点A时，正东方向对应x轴正方向，仅需在八角亭实际x坐标基础上增加对应距离，y坐标不变；求景点B时，利用三角函数计算北偏东30°方向的位移在x、y轴上的分量，再加到清水泉的实际坐标上即可得到B的坐标。
【解析】
(1) 建立符合要求的平面直角坐标系后，逐个确定各点坐标：
娱乐场为原点，坐标为$(0,0)$；
八角亭在原点东1格、南2格，坐标为$(1,-2)$；
飞虹桥在原点西2格、南1格，坐标为$(-2,-1)$；
百花园在原点东3格、$y=0$处，坐标为$(3,0)$；
碑亭在原点西2格、北1格，坐标为$(-2,1)$；
观景楼在原点西3格、北2格，坐标为$(-3,2)$；
清水泉在原点东2格、北1格，坐标为$(2,1)$；
卫生间在原点西3格、南2格，坐标为$(-3,-2)$。
(2) 路线示例：八角亭$(1,-2)$→向西行至$(-2,-2)$→向北行至飞虹桥$(-2,-1)$→向北行至碑亭$(-2,1)$→向西行至观景楼$(-3,2)$→向南行至$(-3,0)$→向东行至娱乐场$(0,0)$→向东行至$(2,0)$→向北行至清水泉$(2,1)$→向东行至$(3,1)$→向南行至百花园$(3,0)$，拐点坐标即为上述路线中转弯位置的坐标，路线合理即可。
(3) 实际坐标转换：1单位长度=100m，各点坐标横纵坐标均乘100：
八角亭：$(1×100,-2×100)=(100,-200)\ \mathrm{m}$；
飞虹桥：$(-2×100,-1×100)=(-200,-100)\ \mathrm{m}$；
百花园：$(3×100,0×100)=(300,0)\ \mathrm{m}$；
碑亭：$(-2×100,1×100)=(-200,100)\ \mathrm{m}$；
观景楼：$(-3×100,2×100)=(-300,200)\ \mathrm{m}$；
清水泉：$(2×100,1×100)=(200,100)\ \mathrm{m}$；
娱乐场：$(0×100,0×100)=(0,0)\ \mathrm{m}$。
(4) 景点A：八角亭实际坐标为$(100,-200)$，正东150m，x坐标增加150，得$(250,-200)\ \mathrm{m}$；
景点B：清水泉实际坐标$(200,100)$，北偏东$30°$方向200m，x方向位移：$200×\sin30°=100\ \mathrm{m}$，y方向位移：$200×\cos30°\approx173\ \mathrm{m}$，故B的坐标为$(200+100,100+173)=(300,273)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 八角亭$(1,-2)$，飞虹桥$(-2,-1)$，百花园$(3,0)$，碑亭$(-2,1)$，观景楼$(-3,2)$，清水泉$(2,1)$，娱乐场$(0,0)$，卫生间$(-3,-2)$；
(2) 路线合理即可，拐点坐标对应所设计路线即可；
(3) 八角亭$(100,-200)\ \mathrm{m}$，飞虹桥$(-200,-100)\ \mathrm{m}$，百花园$(300,0)\ \mathrm{m}$，碑亭$(-200,100)\ \mathrm{m}$，观景楼$(-300,200)\ \mathrm{m}$，清水泉$(200,100)\ \mathrm{m}$，娱乐场$(0,0)\ \mathrm{m}$；
(4) $A(250,-200)\ \mathrm{m}$，$B(300,273)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
用坐标确定位置，平面直角坐标系，解直角三角形
【点评】
本题贴合生活实际，考查了平面直角坐标系的建立、坐标与实际距离的转换以及利用三角函数确定位置的知识点，能够有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
