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9. 如图3-1-96,在正方形网格中,各小正方形的边长都是1,$△ ABC$的顶点在格点上.
图3-1-96
(1) 请在正方形网格上建立平面直角坐标系,使其满足点A的坐标为$(2,3)$,点C的坐标为$(6,2)$,并写出点B的坐标:
(2) 以坐标原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将$△ ABC$放大,画出放大后的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出点A的对应点$A_1$的坐标:
(3) 若线段AB绕原点O旋转$90°$后,点B的对应点为$B_2$,写出点$B_2$的坐标.
图3-1-96
(1) 请在正方形网格上建立平面直角坐标系,使其满足点A的坐标为$(2,3)$,点C的坐标为$(6,2)$,并写出点B的坐标:
(2,1)
.(2) 以坐标原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将$△ ABC$放大,画出放大后的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出点A的对应点$A_1$的坐标:
(4,6)
.(3) 若线段AB绕原点O旋转$90°$后,点B的对应点为$B_2$,写出点$B_2$的坐标.
答案
9. (1) 图略,(2,1).
(2) 图略,(4,6).
(3) 点$B_2$的坐标为(1,-2)或(-1,2).
(2) 图略,(4,6).
(3) 点$B_2$的坐标为(1,-2)或(-1,2).
解析
【分析】
(1) 要确定点B的坐标，首先根据已知A(2,3)、C(6,2)定位坐标系原点：点A横坐标为2，说明它到y轴的水平距离为2，纵坐标为3说明到x轴的竖直距离为3，因此从A点向左平移2格、向下平移3格的格点即为坐标原点，画出x轴（水平向右为正方向）、y轴（竖直向上为正方向），再观察B点位置即可写出坐标。
(2) 位似中心为原点且在第一象限放大时，位似变换的坐标规律为原坐标各分量乘以相似比，据此可直接计算A₁的坐标，再画出放大后的图形。
(3) 题目未说明旋转方向，需分顺时针旋转90°、逆时针旋转90°两种情况，代入旋转90°的坐标变换公式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 按照上述方法建立平面直角坐标系后，观察得B点与A点横坐标相同，均为2，纵坐标比A点小2，即$3-2=1$，因此点B的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$。
(2) 以原点为位似中心，相似比为2在第一象限放大，各对应点坐标为原坐标乘2，因此A(2,3)的对应点$A_1$的坐标为$(2×2, 3×2)=\boldsymbol{(4,6)}$，同理得到$B_1(4,2)$、$C_1(12,4)$，依次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 点B坐标为(2,1)，分两种旋转情况：
① 绕原点顺时针旋转90°时，坐标变换规律为$(x,y)\to(y,-x)$，代入得$B_2(1,-2)$；
② 绕原点逆时针旋转90°时，坐标变换规律为$(x,y)\to(-y,x)$，代入得$B_2(-1,2)$。
因此点$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(1,-2)}$或$\boldsymbol{(-1,2)}$。
【答案】
(1) $(2,1)$
(2) $(4,6)$
(3) $(1,-2)$或$(-1,2)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定，位似图形的坐标性质，旋转的坐标变换
【点评】
本题是坐标系与图形变换的基础综合题，重点考查坐标变换的规律，易错点是旋转90°时忽略旋转方向，导致漏写其中一个坐标，解题时要注意分情况讨论。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定点B的坐标，首先根据已知A(2,3)、C(6,2)定位坐标系原点：点A横坐标为2，说明它到y轴的水平距离为2，纵坐标为3说明到x轴的竖直距离为3，因此从A点向左平移2格、向下平移3格的格点即为坐标原点，画出x轴（水平向右为正方向）、y轴（竖直向上为正方向），再观察B点位置即可写出坐标。
(2) 位似中心为原点且在第一象限放大时，位似变换的坐标规律为原坐标各分量乘以相似比，据此可直接计算A₁的坐标，再画出放大后的图形。
(3) 题目未说明旋转方向，需分顺时针旋转90°、逆时针旋转90°两种情况，代入旋转90°的坐标变换公式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 按照上述方法建立平面直角坐标系后，观察得B点与A点横坐标相同，均为2，纵坐标比A点小2，即$3-2=1$，因此点B的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$。
(2) 以原点为位似中心，相似比为2在第一象限放大，各对应点坐标为原坐标乘2，因此A(2,3)的对应点$A_1$的坐标为$(2×2, 3×2)=\boldsymbol{(4,6)}$，同理得到$B_1(4,2)$、$C_1(12,4)$，依次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 点B坐标为(2,1)，分两种旋转情况：
① 绕原点顺时针旋转90°时，坐标变换规律为$(x,y)\to(y,-x)$，代入得$B_2(1,-2)$；
② 绕原点逆时针旋转90°时，坐标变换规律为$(x,y)\to(-y,x)$，代入得$B_2(-1,2)$。
因此点$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(1,-2)}$或$\boldsymbol{(-1,2)}$。
【答案】
(1) $(2,1)$
(2) $(4,6)$
(3) $(1,-2)$或$(-1,2)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定，位似图形的坐标性质，旋转的坐标变换
【点评】
本题是坐标系与图形变换的基础综合题，重点考查坐标变换的规律，易错点是旋转90°时忽略旋转方向，导致漏写其中一个坐标，解题时要注意分情况讨论。
【难度系数】
0.7
10.如图3-1-97所示，在平面直角坐标系中，将$△ ABC$平移得到$△ A'B'C'$.
图3-1-97
（1）分别写出下列各点的坐标：
A:
（2）如果点$P(a,b)$是$△ ABC$内部一点，那么平移后$△ A'B'C'$内的对应点$P'$的坐标为
（3）求$△ ABC$的面积.
（4）在$x$轴上存在点$Q$，使得$△ ABQ$的面积与$△ ABC$的面积相等，求点$Q$的坐标.
图3-1-97
（1）分别写出下列各点的坐标：
A:
(1,4)
；$A'$: (-4,1)
.（2）如果点$P(a,b)$是$△ ABC$内部一点，那么平移后$△ A'B'C'$内的对应点$P'$的坐标为
$(a-5,b-3)$
.（3）求$△ ABC$的面积.
（4）在$x$轴上存在点$Q$，使得$△ ABQ$的面积与$△ ABC$的面积相等，求点$Q$的坐标.
答案
10. (1) (1,4), (-4,1).
(2) $(a-5,b-3)$.
(3) $\frac{9}{2}$.
(4) $(-\frac{1}{4},0)$或$(\frac{17}{4},0)$.
(2) $(a-5,b-3)$.
(3) $\frac{9}{2}$.
(4) $(-\frac{1}{4},0)$或$(\frac{17}{4},0)$.
解析
【分析】
（1）根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标为点向x轴作垂线对应的数值，纵坐标为向y轴作垂线对应的数值，直接读取A、A'的坐标即可。
（2）先通过对应点A和A'的坐标差确定平移规律：横坐标减5，纵坐标减3，即图形向左平移5个单位、向下平移3个单位，内部点P的坐标按照该规律平移即可得到对应点P'的坐标。
（3）求网格中三角形面积采用割补法：将△ABC放入合适的矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（4）x轴上的点纵坐标为0，△ABQ以BQ为底，高为点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值），根据面积相等列绝对值方程求解，再分Q在B点左右两侧两种情况得到Q的坐标。
【解析】
（1）观察坐标系可得：点A的横坐标为1，纵坐标为4，即A(1,4)；点A'的横坐标为-4，纵坐标为1，即A'(-4,1)。
（2）对比A(1,4)与A'(-4,1)的坐标变化：横坐标变化为$-4-1=-5$，纵坐标变化为$1-4=-3$，可知平移规律为：横坐标减5，纵坐标减3。因此点P(a,b)平移后的对应点P'的坐标为$(a-5, b-3)$。
（3）由图可知$B(2,0)$，$C(4,1)$，采用割补法计算面积：
构建包含△ABC的矩形，矩形横向范围$x=1$到$x=4$，纵向范围$y=0$到$y=4$，矩形面积$= (4-1)×(4-0)=12$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
① 以A、$(1,0)$、B为顶点的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×1×4=2$；
② 以B、$(4,0)$、C为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$；
③ 以A、$(4,4)$、C为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$；
因此$S_{△ABC}=12 - 2 - 1 - \frac{9}{2}=\frac{9}{2}$。
（4）设点Q的坐标为$(x, 0)$，则BQ的长度为$|x-2|$，△ABQ的高为点A到x轴的距离，即4。
由题意得$S_{△ABQ}=S_{△ABC}=\frac{9}{2}$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×|x-2|×4=\frac{9}{2}$
化简得$2|x-2|=\frac{9}{2}$，即$|x-2|=\frac{9}{4}$
当$x-2=\frac{9}{4}$时，$x=\frac{17}{4}$；当$x-2=-\frac{9}{4}$时，$x=-\frac{1}{4}$
因此点Q的坐标为$(-\frac{1}{4},0)$或$(\frac{17}{4},0)$。
【答案】
(1) $(1,4)$，$(-4,1)$
(2) $(a-5,b-3)$
(3) $\frac{9}{2}$
(4) $(-\frac{1}{4},0)$或$(\frac{17}{4},0)$
【知识点】
点的坐标表示；坐标与图形平移；坐标系中面积计算
【点评】
本题围绕平面直角坐标系基础知识点展开，前3问为基础题，最后一问结合动点考查分类讨论思想，需注意绝对值方程求解时不要漏解，熟练掌握割补法求不规则图形面积是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标为点向x轴作垂线对应的数值，纵坐标为向y轴作垂线对应的数值，直接读取A、A'的坐标即可。
（2）先通过对应点A和A'的坐标差确定平移规律：横坐标减5，纵坐标减3，即图形向左平移5个单位、向下平移3个单位，内部点P的坐标按照该规律平移即可得到对应点P'的坐标。
（3）求网格中三角形面积采用割补法：将△ABC放入合适的矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（4）x轴上的点纵坐标为0，△ABQ以BQ为底，高为点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值），根据面积相等列绝对值方程求解，再分Q在B点左右两侧两种情况得到Q的坐标。
【解析】
（1）观察坐标系可得：点A的横坐标为1，纵坐标为4，即A(1,4)；点A'的横坐标为-4，纵坐标为1，即A'(-4,1)。
（2）对比A(1,4)与A'(-4,1)的坐标变化：横坐标变化为$-4-1=-5$，纵坐标变化为$1-4=-3$，可知平移规律为：横坐标减5，纵坐标减3。因此点P(a,b)平移后的对应点P'的坐标为$(a-5, b-3)$。
（3）由图可知$B(2,0)$，$C(4,1)$，采用割补法计算面积：
构建包含△ABC的矩形，矩形横向范围$x=1$到$x=4$，纵向范围$y=0$到$y=4$，矩形面积$= (4-1)×(4-0)=12$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
① 以A、$(1,0)$、B为顶点的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×1×4=2$；
② 以B、$(4,0)$、C为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$；
③ 以A、$(4,4)$、C为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$；
因此$S_{△ABC}=12 - 2 - 1 - \frac{9}{2}=\frac{9}{2}$。
（4）设点Q的坐标为$(x, 0)$，则BQ的长度为$|x-2|$，△ABQ的高为点A到x轴的距离，即4。
由题意得$S_{△ABQ}=S_{△ABC}=\frac{9}{2}$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×|x-2|×4=\frac{9}{2}$
化简得$2|x-2|=\frac{9}{2}$，即$|x-2|=\frac{9}{4}$
当$x-2=\frac{9}{4}$时，$x=\frac{17}{4}$；当$x-2=-\frac{9}{4}$时，$x=-\frac{1}{4}$
因此点Q的坐标为$(-\frac{1}{4},0)$或$(\frac{17}{4},0)$。
【答案】
(1) $(1,4)$，$(-4,1)$
(2) $(a-5,b-3)$
(3) $\frac{9}{2}$
(4) $(-\frac{1}{4},0)$或$(\frac{17}{4},0)$
【知识点】
点的坐标表示；坐标与图形平移；坐标系中面积计算
【点评】
本题围绕平面直角坐标系基础知识点展开，前3问为基础题，最后一问结合动点考查分类讨论思想，需注意绝对值方程求解时不要漏解，熟练掌握割补法求不规则图形面积是解题的关键。
【难度系数】
0.7
