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1.如图，点E，O，A在同一条直线上，OC平分∠AOD，且∠2：∠3：∠4=1：2：4，求∠1的度数。
答案
1. 解:因为 OC 平分∠AOD，所以∠1=∠2。因为∠2:∠3:∠4=1:2:4，所以设∠1=∠2=x°，则∠3=2x°,∠4=4x°。又因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以x+x+2x+4x=180。解得x=22.5,则∠1的度数是22.5°。
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先看到OC平分∠AOD，根据角平分线的性质可得∠1=∠2，得到两个角的等量关系；其次题目给出了∠2、∠3、∠4的连比关系，遇到比例类条件可设每份角度为x，将所有相关角都用含x的代数式表示；最后点E、O、A共线，说明四个角的和为平角，等于180°，据此列方程求解即可得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵ OC平分∠AOD，
∴ ∠1=∠2。
∵ ∠2:∠3:∠4=1:2:4，
∴ 设∠1=∠2=x°，则∠3=2x°，∠4=4x°。
∵ 点E，O，A在同一条直线上，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴ $x + x + 2x + 4x = 180$，
解得$x=22.5$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平角的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，侧重考查方程思想在几何计算中的应用，解题核心是结合角平分线性质和角度比例关系设未知数，再利用平角的度数建立方程求解，掌握该方法可快速解决多数比例类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件逐步推导：首先看到OC平分∠AOD，根据角平分线的性质可得∠1=∠2，得到两个角的等量关系；其次题目给出了∠2、∠3、∠4的连比关系，遇到比例类条件可设每份角度为x，将所有相关角都用含x的代数式表示；最后点E、O、A共线，说明四个角的和为平角，等于180°，据此列方程求解即可得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵ OC平分∠AOD，
∴ ∠1=∠2。
∵ ∠2:∠3:∠4=1:2:4，
∴ 设∠1=∠2=x°，则∠3=2x°，∠4=4x°。
∵ 点E，O，A在同一条直线上，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴ $x + x + 2x + 4x = 180$，
解得$x=22.5$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平角的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，侧重考查方程思想在几何计算中的应用，解题核心是结合角平分线性质和角度比例关系设未知数，再利用平角的度数建立方程求解，掌握该方法可快速解决多数比例类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知$∠ BOC=2∠ AOC$，OD平分$∠ AOB$，且$∠ COD=20°$，求$∠ AOC$的度数.
答案
解:设∠AOC=x°,则∠BOC=2x°,所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=3x°。因为 OD 平分∠AOB，所以∠AOD=$\frac{3}{2}x°$。根据∠AOD - ∠AOC = ∠COD，列方程，得$\frac{3}{2}x - x=20$,解得x=40,即∠AOC 的度数为 40°。
解析
【分析】
当遇到存在倍数关系的角度计算问题时，可采用方程思想简化计算：首先设较小的∠AOC为未知数，根据已知的∠BOC和∠AOC的倍数关系表示出∠BOC，进而得到∠AOB的总度数；再结合角平分线的定义表示出∠AOD的度数；最后观察图形可知∠COD=∠AOD-∠AOC，以此为等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设∠AOC=x°，则根据∠BOC=2∠AOC可得∠BOC=2x°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=x°+2x°=3x°。
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{3}{2}$x°。
又
∵∠COD=∠AOD-∠AOC，且∠COD=20°，
∴列方程得：$\frac{3}{2}x - x=20$，
解得x=40。
【答案】
40°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，方程思想求角度
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，解题关键是结合图形理清各个角之间的和差关系，灵活运用方程思想将几何计算转化为代数方程求解，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
当遇到存在倍数关系的角度计算问题时，可采用方程思想简化计算：首先设较小的∠AOC为未知数，根据已知的∠BOC和∠AOC的倍数关系表示出∠BOC，进而得到∠AOB的总度数；再结合角平分线的定义表示出∠AOD的度数；最后观察图形可知∠COD=∠AOD-∠AOC，以此为等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设∠AOC=x°，则根据∠BOC=2∠AOC可得∠BOC=2x°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=x°+2x°=3x°。
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{3}{2}$x°。
又
∵∠COD=∠AOD-∠AOC，且∠COD=20°，
∴列方程得：$\frac{3}{2}x - x=20$，
解得x=40。
【答案】
40°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，方程思想求角度
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，解题关键是结合图形理清各个角之间的和差关系，灵活运用方程思想将几何计算转化为代数方程求解，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
3.如图，已知OB平分∠AOC，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线，且∠CON=2∠AOM，∠BOM：∠AOC=2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由.
答案
3. 解:∠BOM:∠BON=4:3.理由如下。设∠AOM=α，因为∠CON=2∠AOM，所以∠CON=2α。设∠BOM=x，因为 OB 平分∠AOC，所以∠AOM+∠BOM=∠BON+∠CON，即α+x=∠BON+2α。所以∠BON=x-α。因为∠BOM:∠AOC=2:5，所以x:(α+x+x-α+2α)=2:5。所以x=4α,即∠BOM=4α，则∠BON=3α。所以∠BOM:∠BON=4:3。
解析
【分析】
遇到含有倍数、比例关系的角度计算问题，通常采用设参数的方法简化运算：①首先设出较小的未知角为参数，将已知倍数关系的角用参数表示；②再利用角平分线的性质得到∠AOB=∠BOC，进而把∠BON用所设参数表示；③结合∠BOM与∠AOC的比例关系列方程，推导得到参数之间的数量关系；最后代入∠BOM和∠BON的表达式即可求出二者的比值。
【解析】
∠BOM:∠BON=4:3，理由如下：
1. 设参数：设∠AOM=α，已知∠CON=2∠AOM，因此∠CON=2α；再设∠BOM=x。
2. 利用角平分线的性质推导∠BON的表达式：
因为OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠BOC。
又∠AOB=∠AOM+∠BOM=α+x，∠BOC=∠BON+∠CON=∠BON+2α，
因此α+x=∠BON+2α，整理得∠BON=x-α。
3. 结合比例关系求参数的数量关系：
已知∠BOM:∠AOC=2:5，而∠AOC=∠AOM+∠BOM+∠BON+∠CON=α+x+(x-α)+2α=2x+2α，
代入比例得：x:(2x+2α)=2:5，根据比例的基本性质，内项积等于外项积：
5x=2(2x+2α)
展开得5x=4x+4α，解得x=4α，即∠BOM=4α。
4. 计算比值：
把x=4α代入∠BON=x-α，得∠BON=4α-α=3α，因此∠BOM:∠BON=4α:3α=4:3。
【答案】
∠BOM:∠BON=4:3
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，比例的应用
【点评】
这道题是角度计算的典型题型，核心考查参数法在几何计算中的应用，解题的关键是合理设参数，结合角平分线和角的和差关系将未知角用参数表示，再利用已知比例建立等量关系求解，熟练掌握该方法能快速解决同类角度比例问题。
【难度系数】
0.7
遇到含有倍数、比例关系的角度计算问题，通常采用设参数的方法简化运算：①首先设出较小的未知角为参数，将已知倍数关系的角用参数表示；②再利用角平分线的性质得到∠AOB=∠BOC，进而把∠BON用所设参数表示；③结合∠BOM与∠AOC的比例关系列方程，推导得到参数之间的数量关系；最后代入∠BOM和∠BON的表达式即可求出二者的比值。
【解析】
∠BOM:∠BON=4:3，理由如下：
1. 设参数：设∠AOM=α，已知∠CON=2∠AOM，因此∠CON=2α；再设∠BOM=x。
2. 利用角平分线的性质推导∠BON的表达式：
因为OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠BOC。
又∠AOB=∠AOM+∠BOM=α+x，∠BOC=∠BON+∠CON=∠BON+2α，
因此α+x=∠BON+2α，整理得∠BON=x-α。
3. 结合比例关系求参数的数量关系：
已知∠BOM:∠AOC=2:5，而∠AOC=∠AOM+∠BOM+∠BON+∠CON=α+x+(x-α)+2α=2x+2α，
代入比例得：x:(2x+2α)=2:5，根据比例的基本性质，内项积等于外项积：
5x=2(2x+2α)
展开得5x=4x+4α，解得x=4α，即∠BOM=4α。
4. 计算比值：
把x=4α代入∠BON=x-α，得∠BON=4α-α=3α，因此∠BOM:∠BON=4α:3α=4:3。
【答案】
∠BOM:∠BON=4:3
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，比例的应用
【点评】
这道题是角度计算的典型题型，核心考查参数法在几何计算中的应用，解题的关键是合理设参数，结合角平分线和角的和差关系将未知角用参数表示，再利用已知比例建立等量关系求解，熟练掌握该方法能快速解决同类角度比例问题。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD.若∠MON=α，∠BOC=β，则∠AOD=(
A.$2α$
B.$2α - β$
C.$α + β$
D.$α - β$
B
).A.$2α$
B.$2α - β$
C.$α + β$
D.$α - β$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，大小为原角的一半。首先观察图形，明确各角的组成关系：∠MON由∠CON、∠BOC、∠BOM三部分组成，要求的∠AOD由∠COD、∠BOC、∠AOB三部分组成。我们可以先借助∠MON和∠BOC的已知值求出∠CON+∠BOM的大小，再结合角平分线的性质，将∠COD、∠AOB用含∠CON、∠BOM的式子表示，最后代入∠AOD的和差表达式即可算出结果。
【解析】
根据角平分线的定义：
∵ 射线OM平分∠AOB，
∴ ∠AOB=2∠BOM
∵ 射线ON平分∠COD，
∴ ∠COD=2∠CON
观察角的和差关系可得：
∠MON = ∠CON + ∠BOC + ∠BOM = α
已知∠BOC=β，因此：
∠CON + ∠BOM = ∠MON - ∠BOC = α - β
而∠AOD的和差表达式为：
∠AOD = ∠COD + ∠BOC + ∠AOB
将∠COD=2∠CON、∠AOB=2∠BOM代入上式：
∠AOD = 2∠CON + β + 2∠BOM = 2(∠CON + ∠BOM) + β
把∠CON + ∠BOM = α - β代入得：
∠AOD = 2(α - β) + β = 2α - 2β + β = 2α - β
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；整体代入求值
【点评】
本题是角的运算的典型题型，解题的核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，不需要单独计算每个小角的度数，通过整体代入已知角的数值即可快速求解，能有效锻炼学生的图形观察能力和代数运算思维。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，大小为原角的一半。首先观察图形，明确各角的组成关系：∠MON由∠CON、∠BOC、∠BOM三部分组成，要求的∠AOD由∠COD、∠BOC、∠AOB三部分组成。我们可以先借助∠MON和∠BOC的已知值求出∠CON+∠BOM的大小，再结合角平分线的性质，将∠COD、∠AOB用含∠CON、∠BOM的式子表示，最后代入∠AOD的和差表达式即可算出结果。
【解析】
根据角平分线的定义：
∵ 射线OM平分∠AOB，
∴ ∠AOB=2∠BOM
∵ 射线ON平分∠COD，
∴ ∠COD=2∠CON
观察角的和差关系可得：
∠MON = ∠CON + ∠BOC + ∠BOM = α
已知∠BOC=β，因此：
∠CON + ∠BOM = ∠MON - ∠BOC = α - β
而∠AOD的和差表达式为：
∠AOD = ∠COD + ∠BOC + ∠AOB
将∠COD=2∠CON、∠AOB=2∠BOM代入上式：
∠AOD = 2∠CON + β + 2∠BOM = 2(∠CON + ∠BOM) + β
把∠CON + ∠BOM = α - β代入得：
∠AOD = 2(α - β) + β = 2α - 2β + β = 2α - β
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；整体代入求值
【点评】
本题是角的运算的典型题型，解题的核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，不需要单独计算每个小角的度数，通过整体代入已知角的数值即可快速求解，能有效锻炼学生的图形观察能力和代数运算思维。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线.
（1）若∠AOM＝25°，∠BON＝35°，求∠MON的度数；
（2）若∠AOB＝β，求∠MON的度数.
（1）若∠AOM＝25°，∠BON＝35°，求∠MON的度数；
（2）若∠AOB＝β，求∠MON的度数.
答案
解:(1)根据角平分线的性质，可知∠MOC=∠AOM=25°，∠NOC=∠BON=35°，所以∠MON=∠MOC+∠NOC=25°+35°=60°，即∠MON 的度数为 60°。
(2) 根据角平分线的性质，可知∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，所以∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB。因为∠AOB=β，所以∠MON=$\frac{1}{2}$β。
(2) 根据角平分线的性质，可知∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，所以∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB。因为∠AOB=β，所以∠MON=$\frac{1}{2}$β。
解析
【分析】
（1）首先结合已知条件，看到OM、ON分别是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线分原角为两个相等的小角，可得∠MOC=∠AOM，∠NOC=∠BON；观察图形可知∠MON是∠MOC与∠NOC的和，直接代入已知角度计算即可求解。
（2）依旧利用角平分线的性质，将∠MOC表示为$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC表示为$\frac{1}{2}$∠BOC，将两个式子相加，可提取公因式$\frac{1}{2}$，此时两个小角的和恰好是∠AOB，利用整体代换的思路，代入∠AOB=β即可得到结果，无需单独计算两个小角的度数。
【解析】
（1）
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=∠AOM=25°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BON=35°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=25°+35°=60°。
（2）
∵OM平分∠AOC，
∴$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ON平分∠BOC，
∴$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∴$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=β，
∴$∠ MON=\frac{1}{2}β$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{60°}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}β}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的基础常规题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过观察图形找准所求角与已知角之间的和差关系，第二问用到的整体代换思想是角度计算类题目常用的技巧，熟练掌握该思路可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
（1）首先结合已知条件，看到OM、ON分别是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线分原角为两个相等的小角，可得∠MOC=∠AOM，∠NOC=∠BON；观察图形可知∠MON是∠MOC与∠NOC的和，直接代入已知角度计算即可求解。
（2）依旧利用角平分线的性质，将∠MOC表示为$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC表示为$\frac{1}{2}$∠BOC，将两个式子相加，可提取公因式$\frac{1}{2}$，此时两个小角的和恰好是∠AOB，利用整体代换的思路，代入∠AOB=β即可得到结果，无需单独计算两个小角的度数。
【解析】
（1）
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=∠AOM=25°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BON=35°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=25°+35°=60°。
（2）
∵OM平分∠AOC，
∴$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ON平分∠BOC，
∴$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∴$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=β，
∴$∠ MON=\frac{1}{2}β$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{60°}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}β}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的基础常规题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过观察图形找准所求角与已知角之间的和差关系，第二问用到的整体代换思想是角度计算类题目常用的技巧，熟练掌握该思路可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
