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6. 如图，$∠ AOB = 60°$，射线OC平分$∠ AOB$，以OC为一边作$∠ COP = 15°$，则$∠ BOP$的度数为(
A.$15°$
B.$45°$
C.$15°$或$30°$
D.$15°$或$45°$
D
).A.$15°$
B.$45°$
C.$15°$或$30°$
D.$15°$或$45°$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，由于题目没有明确∠COP的位置，需分两种情况讨论：①OP在∠BOC内部；②OP在∠AOC内部，再分别根据角的和差关系计算∠BOP的度数即可。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴$∠ BOC = ∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×60°=30°$。
分两种情况讨论：
①当OP在∠BOC内部时，
$∠ BOP = ∠ BOC - ∠ COP = 30° - 15° = 15°$；
②当OP在∠AOC内部时，
$∠ BOP = ∠ BOC + ∠ COP = 30° + 15° = 45°$。
综上，∠BOP的度数为15°或45°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略∠COP的位置有两种可能，只计算出其中一种结果，解题时要注意结合图形考虑所有可能的情况，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，由于题目没有明确∠COP的位置，需分两种情况讨论：①OP在∠BOC内部；②OP在∠AOC内部，再分别根据角的和差关系计算∠BOP的度数即可。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴$∠ BOC = ∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×60°=30°$。
分两种情况讨论：
①当OP在∠BOC内部时，
$∠ BOP = ∠ BOC - ∠ COP = 30° - 15° = 15°$；
②当OP在∠AOC内部时，
$∠ BOP = ∠ BOC + ∠ COP = 30° + 15° = 45°$。
综上，∠BOP的度数为15°或45°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略∠COP的位置有两种可能，只计算出其中一种结果，解题时要注意结合图形考虑所有可能的情况，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.7
7.在直线AB上取一点C，过点C作射线CD，CE，使得$CD ⊥ CE$.若$∠ ACD = 80°$，求$∠ BCE$的度数.
答案
7. 解:当CD 和 CE 位于直线AB 的同一侧时，如
。由 CD⊥CE,得∠DCE=90°。又因为∠ACD=80°，所以∠BCE=180°-∠ACD-∠DCE=180°-80°-90°=10°；当 CD 和 CE 位于直线 AB 的异侧时，如
。因为∠DCE=90°,∠ACD=80°，所以∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-80°=10°，所以∠BCE=180°-∠ACE=180°-10°=170°。综上所述，∠BCE 的度数为 10°或 170°。解析
【分析】
本题未给出明确图形，射线CD、CE相对于直线AB的位置有两种可能，因此需要分类讨论求解：首先根据垂直的定义确定∠DCE=90°，再结合平角为180°的性质，分别计算两种位置下∠BCE的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当CD和CE位于直线AB的同一侧时，如：
由$CD ⊥ CE$，根据垂直的定义可得$∠DCE=90°$。
因为点A、C、B在同一直线上，$∠ACB$为平角，度数是$180°$，所以$∠BCE=180°-∠ACD-∠DCE$，代入$∠ACD=80°$计算，得$∠BCE=180°-80°-90°=10°$。
2. 当CD和CE位于直线AB的异侧时，如：
由$CD ⊥ CE$得$∠DCE=90°$，已知$∠ACD=80°$，所以$∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-80°=10°$。
又因为$∠ACB$是平角为$180°$，所以$∠BCE=180°-∠ACE=180°-10°=170°$。
综上所述，$∠BCE$的度数为$10°$或$170°$。
【答案】
$∠BCE$的度数为$10°$或$170°$。
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的无图多解题型，易错点是容易忽略射线的位置多样性，只考虑其中一种情况导致漏解，熟练掌握角的相关性质、养成无图题多考虑位置可能性的习惯是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题未给出明确图形，射线CD、CE相对于直线AB的位置有两种可能，因此需要分类讨论求解：首先根据垂直的定义确定∠DCE=90°，再结合平角为180°的性质，分别计算两种位置下∠BCE的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当CD和CE位于直线AB的同一侧时，如
：由$CD ⊥ CE$，根据垂直的定义可得$∠DCE=90°$。
因为点A、C、B在同一直线上，$∠ACB$为平角，度数是$180°$，所以$∠BCE=180°-∠ACD-∠DCE$，代入$∠ACD=80°$计算，得$∠BCE=180°-80°-90°=10°$。
2. 当CD和CE位于直线AB的异侧时，如
：由$CD ⊥ CE$得$∠DCE=90°$，已知$∠ACD=80°$，所以$∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-80°=10°$。
又因为$∠ACB$是平角为$180°$，所以$∠BCE=180°-∠ACE=180°-10°=170°$。
综上所述，$∠BCE$的度数为$10°$或$170°$。
【答案】
$∠BCE$的度数为$10°$或$170°$。
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的无图多解题型，易错点是容易忽略射线的位置多样性，只考虑其中一种情况导致漏解，熟练掌握角的相关性质、养成无图题多考虑位置可能性的习惯是解题的关键。
【难度系数】
0.6
8.以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，即∠EOD＝90°.
(1)如图1，若直角三角尺DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD的度数为
(2)如图2，将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD的度数为
(3)将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动(OD与OB重合时停止)的过程中，恰好有∠COD＝$\frac{1}{3}$∠AOE，求此时∠BOD的度数.
(1)如图1，若直角三角尺DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD的度数为
50°
；(2)如图2，将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD的度数为
20°
；(3)将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动(OD与OB重合时停止)的过程中，恰好有∠COD＝$\frac{1}{3}$∠AOE，求此时∠BOD的度数.
答案
8. 解:(1)50°
(2)20°
(3)①当∠COD 在∠BOC 的内部时，如
。因为∠COD=∠BOC-∠BOD，∠BOC=40°，所以∠COD=40°-∠BOD。因为∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°,∠EOD=90°,所以∠AOE=90°-∠BOD。又因为∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE，所以40°-∠BOD=$\frac{1}{3}$(90°-∠BOD)。所以∠BOD=15°。②当∠COD 在∠BOC 的外部时，如
。因为∠COD=∠BOD-∠BOC，∠BOC=40°，所以∠COD=∠BOD-40°。因为∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°,∠EOD=90°,所以∠AOE=90°-∠BOD。又因为∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE，所以∠BOD-40°=$\frac{1}{3}$(90°-∠BOD)。所以∠BOD=52.5°。综上所述，∠BOD 的度数为 15°或 52.5°。解析
【分析】
本题围绕平角、直角的性质及角的和差关系求解，各小问思考路径如下：
(1) OE在OA上时，三角尺的直角∠EOD=90°即∠DOB=90°，结合已知∠BOC=40°，用∠DOB减去∠BOC即可得到∠COD的度数；
(2) 先根据平角定义求出∠AOC的度数，再利用角平分线的性质得到∠EOC的度数，最后用直角∠EOD减去∠EOC即可求出∠COD；
(3) 三角尺转动过程中，OD的位置有两种情况：∠COD在∠BOC内部、∠COD在∠BOC外部，两种情况分别用∠BOD表示出∠COD，再结合∠AOE与∠BOD的和差关系、∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意可知∠EOD=90°，且OE在射线OA上，因此∠DOB=∠EOD=90°，
又已知∠BOC=40°，所以$∠ COD=∠ DOB-∠ BOC=90°-40°=50°$；
(2) 因为点O在直线AB上，所以$∠ AOC+∠ BOC=180°$，代入$∠ BOC=40°$得$∠ AOC=180°-40°=140°$，
因为OE平分∠AOC，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC=70°$，
又∠EOD=90°，因此$∠ COD=∠ EOD-∠ EOC=90°-70°=20°$；
(3) 分两种情况讨论：
①当∠COD在∠BOC的内部时，如。
因为$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD$，$∠ BOC=40°$，所以$∠ COD=40°-∠ BOD$，
因为$∠ AOE+∠ EOD+∠ BOD=180°$，$∠ EOD=90°$，所以$∠ AOE=90°-∠ BOD$，
又$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOE$，代入得：$40°-∠ BOD=\frac{1}{3}(90°-∠ BOD)$，
解得：$∠ BOD=15°$；
②当∠COD在∠BOC的外部时，如。
因为$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC$，$∠ BOC=40°$，所以$∠ COD=∠ BOD-40°$，
因为$∠ AOE+∠ EOD+∠ BOD=180°$，$∠ EOD=90°$，所以$∠ AOE=90°-∠ BOD$，
又$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOE$，代入得：$∠ BOD-40°=\frac{1}{3}(90°-∠ BOD)$，
解得：$∠ BOD=52.5°$。
综上，∠BOD的度数为15°或52.5°。
【答案】
(1) $50°$
(2) $20°$
(3) $15°$或$52.5°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的典型综合题，前两问侧重基础性质的应用，第三问需要结合动态转动的过程分类讨论，能有效锻炼思维的严谨性，避免漏解，巩固角的相关运算能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕平角、直角的性质及角的和差关系求解，各小问思考路径如下：
(1) OE在OA上时，三角尺的直角∠EOD=90°即∠DOB=90°，结合已知∠BOC=40°，用∠DOB减去∠BOC即可得到∠COD的度数；
(2) 先根据平角定义求出∠AOC的度数，再利用角平分线的性质得到∠EOC的度数，最后用直角∠EOD减去∠EOC即可求出∠COD；
(3) 三角尺转动过程中，OD的位置有两种情况：∠COD在∠BOC内部、∠COD在∠BOC外部，两种情况分别用∠BOD表示出∠COD，再结合∠AOE与∠BOD的和差关系、∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意可知∠EOD=90°，且OE在射线OA上，因此∠DOB=∠EOD=90°，
又已知∠BOC=40°，所以$∠ COD=∠ DOB-∠ BOC=90°-40°=50°$；
(2) 因为点O在直线AB上，所以$∠ AOC+∠ BOC=180°$，代入$∠ BOC=40°$得$∠ AOC=180°-40°=140°$，
因为OE平分∠AOC，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC=70°$，
又∠EOD=90°，因此$∠ COD=∠ EOD-∠ EOC=90°-70°=20°$；
(3) 分两种情况讨论：
①当∠COD在∠BOC的内部时，如
。因为$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD$，$∠ BOC=40°$，所以$∠ COD=40°-∠ BOD$，
因为$∠ AOE+∠ EOD+∠ BOD=180°$，$∠ EOD=90°$，所以$∠ AOE=90°-∠ BOD$，
又$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOE$，代入得：$40°-∠ BOD=\frac{1}{3}(90°-∠ BOD)$，
解得：$∠ BOD=15°$；
②当∠COD在∠BOC的外部时，如
。因为$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC$，$∠ BOC=40°$，所以$∠ COD=∠ BOD-40°$，
因为$∠ AOE+∠ EOD+∠ BOD=180°$，$∠ EOD=90°$，所以$∠ AOE=90°-∠ BOD$，
又$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOE$，代入得：$∠ BOD-40°=\frac{1}{3}(90°-∠ BOD)$，
解得：$∠ BOD=52.5°$。
综上，∠BOD的度数为15°或52.5°。
【答案】
(1) $50°$
(2) $20°$
(3) $15°$或$52.5°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的典型综合题，前两问侧重基础性质的应用，第三问需要结合动态转动的过程分类讨论，能有效锻炼思维的严谨性，避免漏解，巩固角的相关运算能力。
【难度系数】
0.6
