3. 建立平面直角坐标系,作以原点O为圆心,半径为4的$\odot O$,试确定点$A(-2,-3),B(4,-2)$,$C(-2\sqrt{3},2)$与$\odot O$的位置关系.

点A、B、C分别在圆内,圆外和圆上

【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d＜r，点在圆内；若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外。本题中圆心为原点O，半径r=4，因此只需利用平面内点到原点的距离公式$d=\sqrt{x^2+y^2}$，分别计算三个点到O的距离，再与r=4比较即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=4$，平面内点$(x,y)$到原点O的距离公式为$d=\sqrt{x^2+y^2}$：
1. 对于点$A(-2,-3)$：
$d_A=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
$\because \sqrt{13}＜4$，即$d_A＜r$，$\therefore$ 点A在$\odot O$内。
2. 对于点$B(4,-2)$：
$d_B=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$
$\because \sqrt{20}＞4$，即$d_B＞r$，$\therefore$ 点B在$\odot O$外。
3. 对于点$C(-2\sqrt{3},2)$：
$d_C=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
$\because d_C=r$，$\therefore$ 点C在$\odot O$上。
【答案】
点A、B、C分别在圆内,圆外和圆上
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 两点间距离公式
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题型，解题关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定规则，计算带根号的坐标平方时要注意运算准确性，避免符号或平方计算错误。
【难度系数】
0.8

一、选择题
1. “x至少为3”等价于()

A.$x＜3$
B.$x＞3$
C.$x≤3$
D.$x≥3$

1. D

【分析】
首先需要明确题干中“至少为3”的文字含义：“至少”代表取值的最低限度，说明取值不能低于这个限度，既可以刚好等于限度值，也可以比限度值更大。接下来将这个文字描述转化为对应的数学不等关系，再和各个选项比对即可得出正确答案。
【解析】
“x至少为3”的含义是x的最小取值为3，也就是x既可以等于3，也可以大于3，将其转化为数学不等式为$x≥3$。
对各选项逐一判断：
A选项$x＜3$表示x小于3，不符合要求；
B选项$x＞3$表示x大于3，缺少x=3的情况，不符合要求；
C选项$x≤3$表示x小于等于3，是“x至多为3”的等价表述，不符合要求；
D选项$x≥3$和推导得到的不等关系完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
不等关系转换、不等式符号含义
【点评】
本题考查文字表述和数学不等关系的对应转化，属于基础题型，日常学习中要注意积累“至少”“至多”“不超过”“不低于”等常见限定词对应的不等符号。
【难度系数】
0.9

2. 用反证法证明“若$a^2≠b^2$,则$a≠b$”的第一步是假设()

A.$a≠b$
B.$a=b$
C.$a^2≠b^2$
D.$a^2=b^2$

2. B

【分析】
要解决这道题，首先要明确反证法的证明逻辑：反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。我们先拆分原命题的结构：原命题“若$a^2≠b^2$，则$a≠b$”中，条件是“$a^2≠b^2$”，结论是“$a≠b$”。接下来只需找出结论的反面即可得到第一步的假设内容，注意不要混淆条件和结论，反证法仅否定结论，不否定条件。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“$a≠b$”，“$a≠b$”的反面是“$a=b$”，因此第一步的假设为$a=b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是准确区分命题的条件和结论，掌握反证法第一步的假设规则，属于基础概念考查题，熟悉相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8

3. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设()

A.直角三角形的两个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的两个锐角都大于45°
D.直角三角形有一个锐角小于45°

3. A

【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先拆分原命题的结论“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”：“至少有一个”的反面是“一个都没有，即两个都不满足”，“不小于45°（≥45°）”的反面是“小于45°（＜45°）”，将两部分组合就能得到要假设的内容，再对应选项判断即可。
【解析】
反证法的第一步为反设，即假设原命题结论的反面成立。
原命题结论“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”的反面：
“至少有一个”的否定是“两个都”，“不小于45°”的否定是“小于45°”，因此结论的反面为“直角三角形的两个锐角都小于45°”，即应先假设该内容成立。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确掌握“至少、不小于”这类特殊限定词的否定规则，是对反证法基础概念的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 用反证法证明命题“经过同一直线上的三点不能作圆”时，第一步应该假设()

A.经过同一直线上的三点能作无数个圆
B.经过同一直线上的三点能作一个圆
C.经过不在同一直线上的三点不能作圆
D.经过不在同一直线上的三点只能作一个圆

4. B

【分析】
首先回忆反证法的解题逻辑：反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先明确本题原命题的结论是“经过同一直线上的三点不能作圆”，我们需要找到这个结论的反面表述，再结合“过三点若能作圆则只能作出1个圆”的知识点，匹配对应选项即可。
【解析】
反证法的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题原命题的结论是“经过同一直线上的三点不能作圆”，其反面为“经过同一直线上的三点能作圆”；结合过三点作圆的性质，若三点能作圆，仅能作出1个圆，因此第一步应假设“经过同一直线上的三点能作一个圆”。
逐一分析选项：
A选项“能作无数个圆”不符合过三点作圆的性质，错误；
C、D选项讨论的是“不在同一直线上的三点”，与原命题讨论的“同一直线上的三点”主体不符，错误；
只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1.反证法的步骤
2.确定圆的条件
【点评】
本题主要考查反证法的初始假设设置，解题核心是准确找到原命题结论的否定表述，同时需要结合确定圆的条件辅助判断，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

5. 小明在解答“已知$△ ABC$中，$AB=AC$，求证$∠ B＜90°$”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
①$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与三角形内角和定理矛盾.
②因此假设不成立.$\therefore ∠ B＜90°$.
③假设在$△ ABC$中，$∠ B≥90°$.
④由$AB=AC$，得$∠ B=∠ C≥90°$，即$∠ B+∠ C≥180°$.
这四个步骤正确的逻辑顺序应是()

A.③④①②
B.③④②①
C.①②③④
D.①②④③

5. A

【分析】
要解决这道题，首先回忆反证法的证明逻辑：反证法证明命题分三步，第一步反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步归谬：从假设出发，结合已知条件推理，得出矛盾；第三步结论：矛盾说明假设错误，原命题的结论成立。对应本题的四个步骤，先找到反设的步骤，再找结合已知推导的步骤，接着找矛盾的步骤，最后找结论的步骤，就能排出正确顺序。
【解析】
根据反证法的证明步骤：
1. 首先进行反设：假设要证明的“$∠B＜90°$”不成立，即假设$∠B≥90°$，对应步骤③；
2. 然后结合已知条件$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠B=∠C≥90°$，因此$∠B+∠C≥180°$，对应步骤④；
3. 接下来推导矛盾：三角形三个内角和为$∠A+∠B+∠C$，因为$∠B+∠C≥180°$，$∠A$为正数，所以$∠A+∠B+∠C＞180°$，这与三角形内角和为$180°$的定理矛盾，对应步骤①；
4. 最后得出结论：矛盾说明假设不成立，因此原结论$∠B＜90°$成立，对应步骤②。
所以正确的逻辑顺序是③④①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法的步骤；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的逻辑顺序，属于基础题型，熟练掌握反证法“反设-归谬-结论”的证明流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 阅读材料并填空：
求证:在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$∠ A≠45°$，则$AC≠ BC$。
证明:假设$AC=BC$，又$\because Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ A=∠ B=45°$。
$\because$与已知$∠ A≠45°$矛盾，$\therefore$假设不成立，$AC≠ BC$。
上面的证明方法用的是。
2. 用反证法证明“367人中至少有两人的生日相同”时，应该先假设。
3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于$60°$”时，应先假设。
4. 用反证法证明命题“如果$|a|＞a$，那么$a＜0$”时，第一步应先假设。
5. 在一次游戏活动中，老师将三个颜色不同的小球分发给小明、小亮和小雅三个同学，其中有一个是红球。
小明说:“红色球在我手上”；
小亮说:“红色球不在我手上”；
小雅说:“红色球肯定不在小明手上”。
如果这三个同学中只有一个说对了，则红色球在的手上。

1. 反证法
2. 367人中任意两人的生日都不相同
3. 三角形的三个内角都大于60°
4. $a≥0$
5. 小亮

【分析】
本次习题围绕反证法的概念与应用、简单逻辑推理展开，解题思路如下：1. 反证法类题目首先明确反证法的核心特征：先假设原命题的结论不成立（即结论的反面为真），推导得出矛盾后否定假设，证明原命题成立；判断证明方法时核对是否符合该特征，书写反证法的假设时直接写出原结论的否定即可。2. 第5题逻辑推理题采用假设验证法：分别假设红球在三位同学手中，逐一核对三人说法的对错，找到只有一人说法正确的情况即可。
【解析】
1. 题中证明先假设结论“AC≠BC”的反面“AC=BC”成立，推导得出与已知条件∠A≠45°矛盾，从而否定假设证明原结论，符合反证法的特征。
2. 反证法第一步假设结论不成立，原结论“367人中至少有两人的生日相同”的反面为“367人中任意两人的生日都不相同”，即需假设的内容。
3. 原结论“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的反面是“三角形的三个内角都大于60°”，即反证法第一步的假设内容。
4. 原结论“a＜0”的反面是“a≥0”，即反证法第一步的假设内容。
5. 逐一假设验证：
①假设红球在小明手上：小明、小亮说法均正确，共2人说对，不符合要求，排除；
②假设红球在小亮手上：仅小雅说法正确，共1人说对，符合要求；
③假设红球在小雅手上：小亮、小雅说法均正确，共2人说对，不符合要求，排除。
因此红球在小亮手上。
【答案】
1. 反证法
2. 367人中任意两人的生日都不相同
3. 三角形的三个内角都大于60°
4. $a≥0$
5. 小亮
【知识点】
反证法，命题的否定，逻辑推理
【点评】
本套习题侧重基础，主要考查反证法的核心概念和应用步骤，以及简单的逻辑推理能力，掌握反证法“先假设结论反面成立”的核心规则，逻辑类题目用假设法逐一验证即可快速解题。
【难度系数】
0.75