3. 下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧,弧不一定是半圆;④优弧的长度一定大于劣弧;⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是()。

A.①③④
B.①③⑤
C.②③⑤
D.③④⑤

3.B

【分析】
要解决这道题，需逐个分析每个说法，结合圆的相关概念（弦、直径、弧、优弧、劣弧的定义）来判断对错：
1. 回忆直径的定义：直径是经过圆心的弦，据此判断①的正误；
2. 弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，由此判断②；
3. 弧分为半圆、优弧、劣弧，半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆，据此判断③；
4. 优弧和劣弧的长度比较必须在同圆或等圆中，不同圆中无法直接比较，以此判断④；
5. 根据弦长公式（弦长=2√(r²-d²)，d为弦到圆心的距离），当d=0时弦长最大，即直径，可判断⑤。最后汇总正确的说法，对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①直径是弦：根据直径的定义，直径是经过圆心的弦，因此直径属于弦的范畴，此说法正确；
②弦是直径：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，并非所有弦都是直径，此说法错误；
③半圆是弧，弧不一定是半圆：半圆是圆的一半，属于弧的一种；弧分为半圆、优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧），所以弧不一定是半圆，此说法正确；
④优弧的长度一定大于劣弧：优弧和劣弧的长度比较需要在同圆或等圆的前提下，不同圆中，小圆的优弧长度可能小于大圆的劣弧长度，此说法错误；
⑤直径是圆中最长的弦：在圆中，弦长公式为$ l=2\sqrt{r^2-d^2} $（其中$ r $为圆的半径，$ d $为弦到圆心的距离），当$ d=0 $时，弦长$ l=2r $，即直径，此时弦长最大，因此直径是圆中最长的弦，此说法正确。
综上，正确的说法是①③⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弦与直径的定义、弧的分类、圆中最长弦的性质
【点评】
本题主要考查圆的基本概念，重点在于辨析弦与直径、弧与半圆的关系，以及优弧和劣弧长度比较的前提条件。解题时需准确掌握各概念的定义，避免混淆概念，尤其要注意优弧与劣弧长度比较的限制条件，这是易出错点。
【难度系数】
0.7

1. 两圆的圆心都是O,半径分别为$r_{1},r_{2}(r_{1}＜r_{2})$,若$r_{1}＜OP＜r_{2}$,则点P在()。

A.大圆外
B.小圆内
C.大圆内,小圆外
D.无法确定

1.C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆点与圆的位置关系的判定方法：点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系决定点的位置，当d＞r时，点在圆外；d=r时，点在圆上；d＜r时，点在圆内。题目中两圆是同心圆（圆心相同），半径$r_{1}＜r_{2}$，已知$r_{1}＜OP＜r_{2}$，我们可以分别判断点P与小圆、大圆的位置关系：对于小圆，OP大于其半径$r_{1}$，所以点P在小圆外；对于大圆，OP小于其半径$r_{2}$，所以点P在大圆内，综合起来就能确定点P的位置。
【解析】
根据点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①若$d＞r$，点在圆外；
②若$d=r$，点在圆上；
③若$d＜r$，点在圆内。
已知两圆圆心均为O，半径$r_{1}＜r_{2}$，且$r_{1}＜OP＜r_{2}$：
对于半径为$r_{1}$的小圆，$OP＞r_{1}$，因此点P在小圆外；
对于半径为$r_{2}$的大圆，$OP＜r_{2}$，因此点P在大圆内。
综上，点P在大圆内，小圆外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查点与圆的位置关系的判定逻辑，解题核心是准确运用点到圆心的距离与圆半径的大小关系判断位置，结合同心圆的特点即可快速得出结论，有助于巩固基础几何概念。
【难度系数】
0.8

2. 若$\odot O$所在平面内一点P到$\odot O$上的最大距离为3,最小距离为1,则此圆的半径为()。

A.2或1
B.2或4
C.2
D.1

2.A

【分析】
这道题需要根据点P与⊙O的位置关系分类讨论，因为点到圆上的最大距离和最小距离的关系会随点的位置变化而不同。首先明确点P的位置有两种可能：在圆内或在圆外。
若点P在圆内，点P到圆上的最大距离与最小距离之和等于圆的直径；
若点P在圆外，点P到圆上的最大距离与最小距离之差等于圆的直径；
求出直径后，根据半径是直径的一半，即可算出对应的半径，进而确定答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在⊙O内部时：
圆的直径 = 最大距离 + 最小距离 = 3 + 1 = 4，
则圆的半径 = $ \frac{4}{2} = 2 $；
② 当点P在⊙O外部时：
圆的直径 = 最大距离 - 最小距离 = 3 - 1 = 2，
则圆的半径 = $ \frac{2}{2} = 1 $；
综上，此圆的半径为2或1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的半径计算
【点评】
本题考查点与圆的位置关系的实际应用，核心是要考虑到点P在圆内和圆外两种情况，避免漏解，培养分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6

3. 已知$\odot O$的半径为6 cm,P为线段OA的中点,若点P在$\odot O$上,则OA的长()。

A.等于6 cm
B.等于12 cm
C.小于6 cm
D.大于12 cm

3.B

【分析】
首先，根据点与圆的位置关系可知，若点P在$\odot O$上，则点P到圆心O的距离等于$\odot O$的半径。已知$\odot O$半径为6cm，所以$OP=6cm$。又因为P是线段OA的中点，根据线段中点的定义，OA的长度是OP的2倍，由此可计算出OA的长度，进而选出正确选项。
【解析】
∵点P在$\odot O$上，$\odot O$的半径为6cm，
∴$OP = 6cm$（点在圆上，则点到圆心的距离等于半径）。
又
∵P为线段OA的中点，
∴$OA = 2OP = 2×6cm = 12cm$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系、线段中点的性质
【点评】
本题主要考查点与圆的位置关系及线段中点性质的基础应用，题目较为简单，只要掌握相关概念就能轻松求解。
【难度系数】
0.8

4. 过圆内一点A可以作出圆的最长弦有()。

A.1条
B.2条
C.3条
D.1条或无数条

4.D

【分析】
首先明确圆中最长的弦是直径，接下来需分两种情况讨论点A的位置：
1. 若点A是圆的圆心，过圆心的直径有无数条，这些直径都是最长弦；
2. 若点A不是圆的圆心，根据“两点确定一条直线”，过点A和圆心的直线只有一条，对应的直径也只有一条，这条就是过点A的最长弦。
综合两种情况即可得出结论。
【解析】
圆的最长弦为直径，分两种情况分析：
①当点A为圆心时，过点A的直径有无数条，即最长弦有无数条；
②当点A不为圆心时，由两点确定一条直线可知，过点A与圆心的直线仅有一条，对应的直径只有一条，即最长弦有1条。
综上，过圆内一点A可以作出圆的最长弦有1条或无数条。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的直径性质；2. 两点确定一条直线
【点评】
本题考查圆的基本性质，关键在于分类讨论点A与圆心的位置关系，提醒学生解题时要考虑全面，避免遗漏点A为圆心的特殊情况，有助于培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6

5. 一个圆的最长弦长为10 cm,则此圆的半径是。

5.5 cm

1

6. (1)$\odot O$的半径为5 cm,平面上有一点P,$PO=3$ cm,则点P到$\odot O$上各点的最小距离为 cm。
(2)已知点A到$\odot O$上各点的距离中最大距离为6 cm,最小距离为2 cm,那$\odot O$的半径为 cm。

6.(1)2 (2)4或2

【分析】
(1)首先判断点P与圆的位置关系，已知⊙O半径为5cm，PO=3cm，3＜5，可知点P在圆内部。点到圆上各点的最小距离，是圆的半径减去点到圆心的距离，据此可计算出结果。
(2)本题需分两种情况讨论点A与圆的位置关系：当点A在圆内部时，点到圆上的最大距离与最小距离之和等于圆的直径；当点A在圆外部时，点到圆上的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，再根据直径求出半径。
【解析】
(1)
∵⊙O的半径$ r=5\mathrm{cm} $，$ PO=3\mathrm{cm} $，且$ 3＜5 $，
∴点P在⊙O内部，
∴点P到⊙O上各点的最小距离为$ r - PO = 5 - 3 = 2(\mathrm{cm}) $。
(2)分两种情况：
①当点A在⊙O内部时，
圆的直径$ = 6 + 2 = 8(\mathrm{cm}) $，
则⊙O的半径$ = 8÷2 = 4(\mathrm{cm}) $；
②当点A在⊙O外部时，
圆的直径$ = 6 - 2 = 4(\mathrm{cm}) $，
则⊙O的半径$ = 4÷2 = 2(\mathrm{cm}) $。
综上，⊙O的半径为4cm或2cm。
【答案】
(1)2；(2)4或2
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，第一题关键是明确圆内点到圆上的最小距离计算方法；第二题需注意分类讨论，避免遗漏点在圆外的情况，培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6

7. 如图,若点O为$\odot O$的圆心,则线段是圆O的半径;线段是圆O的弦,其中最长的弦是;是劣弧;是半圆。

7.OA、OB、OC AC、AB、BC AC $\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$ $\overset{\frown}{ADC}$、$\overset{\frown}{ABC}$

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确圆的相关基本概念：
1. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段；
2. 弦：连接圆上任意两点的线段，其中直径是圆中最长的弦；
3. 劣弧：小于半圆的弧；
4. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每条弧都叫做半圆。
接下来对照图形，根据这些概念逐一找出对应的线段和弧即可。
【解析】
1. 半径：圆心O到圆上点A、B、C的线段，即$\boldsymbol{OA、OB、OC}$；
2. 弦：圆上两点间的线段，有$\boldsymbol{AC、AB、BC}$，其中AC是直径，直径是圆中最长的弦，所以最长的弦是$\boldsymbol{AC}$；
3. 劣弧：小于半圆的弧，即$\boldsymbol{\overset{\frown}{AB}、\overset{\frown}{BC}}$；
4. 半圆：由直径AC分成的两条弧，即$\boldsymbol{\overset{\frown}{ADC}、\overset{\frown}{ABC}}$。
【答案】
OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$；$\overset{\frown}{ADC}$、$\overset{\frown}{ABC}$
【知识点】
圆的基本概念；弦与半径的定义；弧的分类
【点评】
本题考查圆的基本元素的定义，属于基础题，解题的关键是准确掌握半径、弦、劣弧、半圆的概念，通过图形直观理解这些元素的特征，巩固圆的基础知识。
【难度系数】
0.9

8. 某部队在灯塔A的周围进行爆破作业,A的周围3 km内的水域为危险区域,有一渔船误入离A只有2 km的B处,为了尽快驶离危险区域,该船应沿什么方向航行?为什么?

自我反思
存在的问题：


改进的措施：

8.解:沿射线AB的方向航行,因为能
最快脱离危险区域。
证明:设射线AB与$\odot A$相交于点
C。在$\odot A$上任取一点D(不包括C
关于A的对称点),
连接AD,BD,
在$△ ABD$中,$AB+BD＞AD$。
因为$AD=AC=AB+BC$,
所以$AB+BD＞AB+BC$,
所以$BD＞BC$。

第8题图

【分析】
要解决这个问题，核心是找到从渔船所在的B点到危险区域边界（$\odot A$）的最短路径，因为最短路径对应的方向就是最快驶离危险区域的方向。首先明确点B在$\odot A$内部（$AB=2\mathrm{km}＜3\mathrm{km}$），从圆内一点到圆上的最短距离，是过该点和圆心的线段延长线与圆的交点到该点的距离，也就是沿射线AB方向到圆上的点C，接下来可利用三角形三边关系证明该路径是最短的。
【解析】
解：该船应沿射线AB的方向航行，理由如下：
设射线AB与$\odot A$相交于点C。在$\odot A$上任取一点D（不包括C关于A的对称点），连接AD，BD。
在$△ ABD$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$AB+BD＞AD$。
因为$\odot A$的半径为$3\mathrm{km}$，所以$AD=AC=AB+BC$（AC是半径，$AB=2\mathrm{km}$，$BC=AC-AB=1\mathrm{km}$）。
将$AD=AB+BC$代入$AB+BD＞AD$中，可得$AB+BD＞AB+BC$，
两边同时减去AB，得到$BD＞BC$。
这说明从B到C的距离比到圆上其他任意点D的距离都短，所以沿射线AB的方向航行能最快驶离危险区域。
【答案】
沿射线AB的方向航行，证明如下：
设射线AB与$\odot A$相交于点C。在$\odot A$上任取一点D(不包括C关于A的对称点),
连接AD,BD,
在$△ ABD$中,$AB+BD＞AD$。
因为$AD=AC=AB+BC$,
所以$AB+BD＞AB+BC$,
所以$BD＞BC$。

【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 圆的基本性质（点与圆的位置关系）
【点评】
本题主要考查最短路径的判断与三角形三边关系的应用，需要结合圆的性质分析点与圆的位置关系，通过逻辑推理证明最短路径，培养学生的几何推理能力和应用意识。
【难度系数】
0.6