4. 如图,在$△ ABC$中,点D在边AB上,$DE// BC$,$DE$交AC于点E,$DF// AC$,$DF$交BC于点F,判断下列比例式是否成立.
(1)$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$; (2)$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DE}{BF}$;
(3)$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$; (4)$\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$.
(1)$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$; (2)$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DE}{BF}$;
(3)$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$; (4)$\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$.
答案
解：
(1) 成立。
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$。
(2) 成立。
$\because DE// BC$，$DF// AC$，$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形，$\therefore DE=FC$。
$\because DF// AC$，$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{FC}{BF}$，
又$\because DE=FC$，$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DE}{BF}$。
(3) 不成立。
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∼ △ ABC$，$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$，
而$\dfrac{AE}{EC}≠\dfrac{AE}{AC}$，故$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$不成立。
(4) 成立。
$\because DF// AC$，$\therefore △ BDF ∼ △ BAC$，
根据相似三角形对应边成比例，$\therefore \dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$。
(1) 成立。
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$。
(2) 成立。
$\because DE// BC$，$DF// AC$，$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形，$\therefore DE=FC$。
$\because DF// AC$，$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{FC}{BF}$，
又$\because DE=FC$，$\therefore \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DE}{BF}$。
(3) 不成立。
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∼ △ ABC$，$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$，
而$\dfrac{AE}{EC}≠\dfrac{AE}{AC}$，故$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$不成立。
(4) 成立。
$\because DF// AC$，$\therefore △ BDF ∼ △ BAC$，
根据相似三角形对应边成比例，$\therefore \dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$。
5. 如图,已知线段a,利用直尺和圆规作图,把它分成长度之比为$3:4$的两条线段.
答案
解：
1. 设已知线段为$MN = a$，作射线$MP$，使$MP$与$MN$不共线；
2. 在射线$MP$上顺次截取$MA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$；
3. 连接$A_7N$；
4. 过点$A_3$作$A_3Q // A_7N$，交$MN$于点$Q$；
5. 则$MQ:QN = 3:4$，点$Q$即为所求的分点。
1. 设已知线段为$MN = a$，作射线$MP$，使$MP$与$MN$不共线；
2. 在射线$MP$上顺次截取$MA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$；
3. 连接$A_7N$；
4. 过点$A_3$作$A_3Q // A_7N$，交$MN$于点$Q$；
5. 则$MQ:QN = 3:4$，点$Q$即为所求的分点。
6. 如图,在$△ ABC$中,点D在BC上,$EG// BC$,分别交AB、AD、AC于点E、F、G.
求证:$\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{FG}{DC}$.
求证:$\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{FG}{DC}$.
答案
证明：
$\because EG// BC$，
$\therefore$ 在$△ ABD$中，$EF// BD$，
$\therefore △ AEF∽ △ ABD$（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AF}{AD}$。
同理，在$△ ADC$中，$FG// DC$，
$\therefore △ AFG∽ △ ADC$，
$\therefore \dfrac{FG}{DC}=\dfrac{AF}{AD}$。
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{FG}{DC}$。
$\because EG// BC$，
$\therefore$ 在$△ ABD$中，$EF// BD$，
$\therefore △ AEF∽ △ ABD$（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AF}{AD}$。
同理，在$△ ADC$中，$FG// DC$，
$\therefore △ AFG∽ △ ADC$，
$\therefore \dfrac{FG}{DC}=\dfrac{AF}{AD}$。
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{FG}{DC}$。
7. 如图,点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上,$DE// BC$.
(1)求证:$△ ADE∽ △ ABC$;
(2)结合课本例1的结论,你能概括出新的结论吗?
(1)求证:$△ ADE∽ △ ABC$;
(2)结合课本例1的结论,你能概括出新的结论吗?
答案
(1) 证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠D = ∠B，∠E = ∠C（两直线平行，同位角相等），
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 结论：平行于三角形一边的直线与三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
∵ DE//BC，
∴ ∠D = ∠B，∠E = ∠C（两直线平行，同位角相等），
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 结论：平行于三角形一边的直线与三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
根据定义,要判定两个三角形相似,必须证明对应角相等,对应边成比例(对应边长度的比相等),那么能不能像判定三角形全等一样,用较少的条件就能判定三角形相似呢?
答案
解：
可以像判定三角形全等一样，用较少的条件判定两个三角形相似，具体判定方法如下：
1. 两角分别相等的两个三角形相似：
已知在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$∠ A=∠ A'$，$∠ B=∠ B'$，
$\because$ 三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B$，$∠ C'=180°-∠ A'-∠ B'$，
$\therefore ∠ C=∠ C'$。
结合对应边成比例的验证（如测量或平行线分线段成比例推导），可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：
已知在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$∠ A=∠ A'$，
在$AB$上取点$D$，使$AD=A'B'$，作$DE// BC$交$AC$于$E$，
则$△ ADE ∽ △ ABC$，故$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
由$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$AD=A'B'$，得$\frac{AD}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$，
$\therefore AE=A'C'$，又$∠ A=∠ A'$，$AD=A'B'$，
$\therefore △ ADE ≌ △ A'B'C'$（SAS），
$\therefore △ A'B'C' ∽ △ ABC$。
结论：可用以下较少条件判定三角形相似：
①两角分别相等的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
可以像判定三角形全等一样，用较少的条件判定两个三角形相似，具体判定方法如下：
1. 两角分别相等的两个三角形相似：
已知在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$∠ A=∠ A'$，$∠ B=∠ B'$，
$\because$ 三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B$，$∠ C'=180°-∠ A'-∠ B'$，
$\therefore ∠ C=∠ C'$。
结合对应边成比例的验证（如测量或平行线分线段成比例推导），可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：
已知在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$∠ A=∠ A'$，
在$AB$上取点$D$，使$AD=A'B'$，作$DE// BC$交$AC$于$E$，
则$△ ADE ∽ △ ABC$，故$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
由$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$AD=A'B'$，得$\frac{AD}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$，
$\therefore AE=A'C'$，又$∠ A=∠ A'$，$AD=A'B'$，
$\therefore △ ADE ≌ △ A'B'C'$（SAS），
$\therefore △ A'B'C' ∽ △ ABC$。
结论：可用以下较少条件判定三角形相似：
①两角分别相等的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
