25. (本题满分10分)某校举行“二十大知识学习竞赛”活动,老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元(单价均为整数).
(1) 若班长小华在甲商店购买,他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同,求甲商店硬面笔记本的单价.
(2) 若班长小华在乙商店购买硬面笔记本,乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件(软面笔记本单价不变):一次购买的数量少于30本,按原价售出;不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买$m$本硬面笔记本($m$为正整数),他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同,求乙商店硬面笔记本的原价.

25. (1) 设甲商店硬面笔记本的单价为 $ x $ 元，则甲商店软面笔记本的单价为 $ (x - 3) $ 元，根据题意得：$ \frac{240}{x} = \frac{195}{x - 3} $，解得：$ x = 16 $，经检验，$ x = 16 $ 是所列方程的解，且符合题意。答：甲商店硬面笔记本的单价为 16 元； (2) 设乙商店硬面笔记本的原价为 $ y $ 元，则乙商店软面笔记本的原价为 $ (y - 3) $ 元，根据题意得 $ my = (m + 5)(y - 3) $，整理得 $ 5y - 3m = 15 $，
∴ $ y = \frac{3}{5}m + 3 $。
∵ $ \begin{cases} m ＜ 30, \\ m + 5 ≥ 30, \end{cases} $ 且 $ m $，$ y $ 均为正整数，
∴ $ \begin{cases} m = 25, \\ y = 18. \end{cases} $ 答：乙商店硬面笔记本的原价为 18 元。

26. (本题满分12分)定义:若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
(1) 现有以下两个函数:①$y=x^{2}-1$;②$y=x^{2}-x$,其中,为函数$y=x-1$的轴点函数.(填序号)
【尝试应用】
(2) 函数$y=x+c$($c$为常数,$c＞0$)的图像与$x$轴交于点$A$,其轴点函数$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴的另一交点为点$B$.若$OB=\frac{1}{4}OA$,求$b$的值.
【拓展延伸】
(3) 如图,函数$y=\frac{1}{2}x+t$($t$为常数,$t＞0$)的图像与$x$轴、$y$轴分别交于$M$,$C$两点,在$x$轴的正半轴上取一点$N$,使得$ON=OC$.以线段$MN$的长度为长、线段$MO$的长度为宽,在$x$轴的上方作矩形$MNDE$.若函数$y=\frac{1}{2}x+t$($t$为常数,$t＞0$)的轴点函数$y=mx^{2}+nx+t$的顶点$P$在矩形$MNDE$的边上,求$n$的值.

26. (1) ① (2) 令 $ y = 0 $，得 $ x + c = 0 $，解得 $ x = -c $，
∴ $ A(-c, 0) $，令 $ x = 0 $，得 $ y = c $，
∴ 函数 $ y = x + c $（$ c $ 为常数，$ c ＞ 0 $）的图像与 $ y $ 轴交于点 $ (0, c) $。
∵ 其轴点函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A(-c, 0) $，
∴ $ ac^2 - bc + c = 0 $，且 $ c ＞ 0 $，
∴ $ ac - b + 1 = 0 $，即 $ b = ac + 1 $，
∴ $ y = ax^2 + (ac + 1)x + c $，设 $ B(x', 0) $，则 $ x'(-c) = -\frac{c}{a} $，
∴ $ x' = \frac{1}{a} $，
∴ $ B(\frac{1}{a}, 0) $，
∴ $ OB = |\frac{1}{a}| $，$ OA = c $。
∵ $ OB = \frac{1}{4}OA $，
∴ $ |\frac{1}{a}| = \frac{1}{4}c $，
∴ $ ac = \pm 4 $，
∴ $ b = 5 $ 或 $ -3 $； (3) 由题意得 $ M(-2t, 0) $，$ C(0, t) $，$ N(t, 0) $，
∵ 四边形 $ MNDE $ 是矩形，$ ME = OM = 2t $，
∴ $ D(t, 2t) $，$ E(-2t, 2t) $，当 $ m ＞ 0 $ 时，轴点函数 $ y = mx^2 + nx + t $ 的顶点 $ P $ 与点 $ M $ 重合，即 $ P(-2t, 0) $，如图1，
∴ $ \begin{cases} n^2 - 4mt = 0, \\ -\frac{n}{2m} = -2t, \end{cases} $
∴ $ n^2 - n = 0 $，且 $ n ≠ 0 $，
∴ $ n = 1 $；当 $ m ＜ 0 $ 时，轴点函数 $ y = mx^2 + nx + t $ 的顶点 $ P $ 在 $ DE $ 边上，即 $ P(x, 2t) $，如图2，
∴ $ \begin{cases} 4mt^2 - 2nt + t = 0, \\ \frac{4mt - n^2}{4m} = 2t, \end{cases} $ 消去 $ m $，$ t $，得 $ n^2 + 2n - 1 = 0 $，解得 $ n_1 = \sqrt{2} - 1 $，$ n_2 = -\sqrt{2} - 1 $。
∵ 函数 $ y = mx^2 + nx + t $ 的对称轴在 $ y $ 轴左侧，
∴ $ n $ 与 $ m $ 同号，即 $ n ＜ 0 $，
∴ $ n = -\sqrt{2} - 1 $；当 $ m ＜ 0 $ 时，轴点函数 $ y = mx^2 + nx + t $ 的顶点 $ P $ 在 $ DN $ 边上，即 $ P(t, s) $，如图3，
∴ $ \begin{cases} 4mt^2 - 2nt + t = 0, \\ -\frac{n}{2m} = t, \end{cases} $
∴ $ n = \frac{1}{4} $，综上所述，$ n $ 的值为 1 或 $ -\sqrt{2} - 1 $ 或 $ \frac{1}{4} $。