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7. 如图，有下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4+∠5=180°；④∠2+∠4=180°. 其中能判定l₁//l₂的有
①③④
.(填序号)答案
7. ①③④
解析
【解析】
根据平行线的判定定理逐一分析：
①∠1与∠3是内错角，内错角相等，两直线平行，因此∠1=∠3可判定l₁//l₂；
②∠2与∠3不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定l₁//l₂；
③∠4+∠5=180°，∠4的对顶角与∠5是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，因此可判定l₁//l₂；
④∠2与∠4是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，因此∠2+∠4=180°可判定l₁//l₂。
综上，能判定l₁//l₂的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行线的判定定理
【点评】
本题考查平行线的判定，关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，熟练运用平行线的判定定理进行判断。
根据平行线的判定定理逐一分析：
①∠1与∠3是内错角，内错角相等，两直线平行，因此∠1=∠3可判定l₁//l₂；
②∠2与∠3不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定l₁//l₂；
③∠4+∠5=180°，∠4的对顶角与∠5是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，因此可判定l₁//l₂；
④∠2与∠4是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，因此∠2+∠4=180°可判定l₁//l₂。
综上，能判定l₁//l₂的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行线的判定定理
【点评】
本题考查平行线的判定，关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，熟练运用平行线的判定定理进行判断。
8. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME，那么AB//CD，MP//NQ，请说明理由.
答案
8. 提示:先证明 $ AB // CD $.
解析
【解析】
1. 证明 $ AB // CD $：
因为 $ ∠ CNF = ∠ BME $（已知），$ ∠ BME = ∠ AMN $（对顶角相等），
所以 $ ∠ CNF = ∠ AMN $（等量代换），
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $ AB // CD $。
2. 证明 $ MP // NQ $：
由 $ AB // CD $，得 $ ∠ BMN = ∠ DNF $（两直线平行，同位角相等），
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以 $ ∠ BMN - ∠ 1 = ∠ DNF - ∠ 2 $（等式的性质），
即 $ ∠ PMN = ∠ QNF $，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $ MP // NQ $。
【答案】
理由如上，可证得 $ AB // CD $，$ MP // NQ $。
【知识点】
对顶角相等；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，熟练掌握对顶角性质及平行线的判定、性质定理是解题的关键。
1. 证明 $ AB // CD $：
因为 $ ∠ CNF = ∠ BME $（已知），$ ∠ BME = ∠ AMN $（对顶角相等），
所以 $ ∠ CNF = ∠ AMN $（等量代换），
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $ AB // CD $。
2. 证明 $ MP // NQ $：
由 $ AB // CD $，得 $ ∠ BMN = ∠ DNF $（两直线平行，同位角相等），
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以 $ ∠ BMN - ∠ 1 = ∠ DNF - ∠ 2 $（等式的性质），
即 $ ∠ PMN = ∠ QNF $，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $ MP // NQ $。
【答案】
理由如上，可证得 $ AB // CD $，$ MP // NQ $。
【知识点】
对顶角相等；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，熟练掌握对顶角性质及平行线的判定、性质定理是解题的关键。
9. 如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，那么CF与BD平行吗？请说明理由.
答案
9. $ CF // BD $. 理由如下:
方法一: $ \because BD ⊥ BE $, $ \therefore ∠ DBE = 90° $. $ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90° $.
$ \because ∠ 1 + ∠ C = 90° $, $ \therefore ∠ 2 = ∠ C $. $ \therefore BD // CF $.
方法二: $ \because BE ⊥ BD $, $ \therefore ∠ DBE = 90° $.
$ \because ∠ 1 + ∠ C = 90° $,
$ \therefore ∠ DBE + ∠ 1 + ∠ C = 180° $. 即 $ ∠ DBC + ∠ C = 180° $.
$ \therefore BD // CF $.
方法一: $ \because BD ⊥ BE $, $ \therefore ∠ DBE = 90° $. $ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90° $.
$ \because ∠ 1 + ∠ C = 90° $, $ \therefore ∠ 2 = ∠ C $. $ \therefore BD // CF $.
方法二: $ \because BE ⊥ BD $, $ \therefore ∠ DBE = 90° $.
$ \because ∠ 1 + ∠ C = 90° $,
$ \therefore ∠ DBE + ∠ 1 + ∠ C = 180° $. 即 $ ∠ DBC + ∠ C = 180° $.
$ \therefore BD // CF $.
10. (1)尝试：如图①，点B，C，D在同一条直线上，∠A=∠1=∠3=55°，∠E=∠2=35°，请证明AB//DE.
（2）应用：如图②，点B，C，D在同一条直线上，AC⊥EC，∠A=∠1，∠E=∠2，请证明AB//DE.
（2）应用：如图②，点B，C，D在同一条直线上，AC⊥EC，∠A=∠1，∠E=∠2，请证明AB//DE.
答案
10. (1) $ \because ∠ A = ∠ 3 $, $ \therefore AB // CK $.
$ \because ∠ 1 = ∠ 3 = 55° $, $ ∠ 2 = 35° $, $ \therefore ∠ ECK = 180° - ∠ 1 - ∠ 3 - ∠ 2 = 35° $.
$ \because ∠ ECK = ∠ E $, $ \therefore CK // DE $. $ \therefore AB // DE $.
(2) 过点 $ C $ 作 $ CF // AB $.
$ \because CF // AB $, $ ∠ A = ∠ 1 $, $ \therefore ∠ A = ∠ ACF = ∠ 1 $.
$ \because AC ⊥ EC $, $ \therefore ∠ ACE = 90° $.
$ \therefore ∠ ECF = ∠ ACE - ∠ ACF = 90° - ∠ 1 $.
$ \because ∠ 2 = 180° - ∠ 1 - ∠ ACE = 90° - ∠ 1 $, $ \therefore ∠ ECF = ∠ 2 $.
$ \because ∠ E = ∠ 2 $, $ \therefore ∠ ECF = ∠ E $.
$ \therefore CF // DE $. $ \therefore AB // DE $.
$ \because ∠ 1 = ∠ 3 = 55° $, $ ∠ 2 = 35° $, $ \therefore ∠ ECK = 180° - ∠ 1 - ∠ 3 - ∠ 2 = 35° $.
$ \because ∠ ECK = ∠ E $, $ \therefore CK // DE $. $ \therefore AB // DE $.
(2) 过点 $ C $ 作 $ CF // AB $.
$ \because CF // AB $, $ ∠ A = ∠ 1 $, $ \therefore ∠ A = ∠ ACF = ∠ 1 $.
$ \because AC ⊥ EC $, $ \therefore ∠ ACE = 90° $.
$ \therefore ∠ ECF = ∠ ACE - ∠ ACF = 90° - ∠ 1 $.
$ \because ∠ 2 = 180° - ∠ 1 - ∠ ACE = 90° - ∠ 1 $, $ \therefore ∠ ECF = ∠ 2 $.
$ \because ∠ E = ∠ 2 $, $ \therefore ∠ ECF = ∠ E $.
$ \therefore CF // DE $. $ \therefore AB // DE $.
