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1. 在四边形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$。下列条件中，能判定四边形 $ABCD$ 为正方形的是(
A.$OA = OB = OC = OD$，$AC⊥ BD$
B.$AB// CD$，$AC = BD$
C.$AD// BC$，$∠ A=∠ C$
D.$OA = OC$，$OB = OD$，$AB = BC$
A
)。A.$OA = OB = OC = OD$，$AC⊥ BD$
B.$AB// CD$，$AC = BD$
C.$AD// BC$，$∠ A=∠ C$
D.$OA = OC$，$OB = OD$，$AB = BC$
答案
1. A
2. 如图，在$□ ABCD$ 中，$AE⊥ BC$ 于点 $E$，$CF⊥ AD$ 于点 $F$，$∠ B = 60°$，当 $AD:AB=$
$ \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} $
时，四边形 $AECF$ 是正方形。答案
2. $ \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} $
3. 如图，四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AD$ 上任意一点(与点 $A$，$D$ 不重合)，$G$，$F$，$H$ 分别是 $BE$，$BC$，$CE$ 的中点。
(1) 求证：四边形 $EGFH$ 是平行四边形。
(2) 若 $EF⊥ BC$，且 $EF=\frac{1}{2}BC$，求证：平行四边形 $EGFH$ 是正方形。
(1) 求证：四边形 $EGFH$ 是平行四边形。
(2) 若 $EF⊥ BC$，且 $EF=\frac{1}{2}BC$，求证：平行四边形 $EGFH$ 是正方形。
答案
(1) 因为G，F分别是BE，BC的中点，根据三角形中位线定理，可得$GF // EC$，且$GF=\frac{1}{2}EC$。
又因为H是CE的中点，所以$EH=\frac{1}{2}EC$，因此GF平行等于EH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形$EGFH$是平行四边形。
(2) 因为G，H分别是BE，CE的中点，根据三角形中位线定理，$GH // BC$，且$GH=\frac{1}{2}BC$。
已知$EF ⊥ BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，所以$EF ⊥ GH$，且$EF=GH$。
由(1)知四边形$EGFH$是平行四边形，又因为平行四边形的对角线$EF$与$GH$互相垂直且相等，所以平行四边形$EGFH$是正方形。
又因为H是CE的中点，所以$EH=\frac{1}{2}EC$，因此GF平行等于EH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形$EGFH$是平行四边形。
(2) 因为G，H分别是BE，CE的中点，根据三角形中位线定理，$GH // BC$，且$GH=\frac{1}{2}BC$。
已知$EF ⊥ BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，所以$EF ⊥ GH$，且$EF=GH$。
由(1)知四边形$EGFH$是平行四边形，又因为平行四边形的对角线$EF$与$GH$互相垂直且相等，所以平行四边形$EGFH$是正方形。
4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是对角线 $AC$ 上的一点，连结 $DE$，过点 $E$ 作 $EF⊥ DE$，交 $AB$ 于点 $F$，以 $DE$，$EF$ 为邻边作矩形 $DEFG$，连结 $AG$。
(1) 求证：矩形 $DEFG$ 是正方形。
(2) 线段 $AE$，$CE$，$DE$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由。
(1) 求证：矩形 $DEFG$ 是正方形。
(2) 线段 $AE$，$CE$，$DE$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由。
答案
(1) 证明：过点$E$作$EM⊥ AD$于$M$，$EN⊥ AB$于$N$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，
$\therefore AC$平分$∠ DAB$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore EM=EN$，$∠ MEN=90°$。
$\because EF⊥ DE$，$\therefore ∠ DEF=90°$，
$\therefore ∠ DEM+∠ MEF=∠ FEN+∠ MEF=90°$，即$∠ DEM=∠ FEN$。
在$△ DME$和$△ FNE$中，
$\begin{cases}∠ DME=∠ FNE=90° \\EM=EN \\∠ DEM=∠ FEN\end{cases}$
$\therefore △ DME≌△ FNE(ASA)$，$\therefore DE=EF$。
$\because$ 四边形$DEFG$是矩形，且$DE=EF$，
$\therefore$ 矩形$DEFG$是正方形。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{AE^2 + CE^2 = 2DE^2}$。
理由如下：
$\because$ 四边形$DEFG$是正方形，$\therefore DG=DE$，$∠ GDE=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ ADC - ∠ ADE = ∠ GDE - ∠ ADE$，即$∠ ADG=∠ CDE$。
在$△ ADG$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADG=∠ CDE \\DG=DE\end{cases}$
$\therefore △ ADG≌△ CDE(SAS)$，
$\therefore AG=CE$，$∠ DAG=∠ DCE=45°$。
$\because ∠ DAC=45°$，$\therefore ∠ GAE=∠ DAG+∠ DAC=90°$。
在$Rt△ AGE$中，由勾股定理得$AE^2 + AG^2 = GE^2$。
$\because$ 在正方形$DEFG$中，$GE^2=2DE^2$，且$AG=CE$，
$\therefore AE^2 + CE^2 = 2DE^2$。
