7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$G$是$△ ABC$的重心,且$AG⊥ CG$,$CG$的延长线交$AB$于点$H$,则$S_{△ AGH}:S_{△ ABC}=$ $\underline{\hspace{5em}}$.

$1:6$

8. 如图，在$△ ABC$中，中线$AD$、$BE$相交于点$O$，如果$△ AOE$的面积是 4，那么四边形$OECD$的面积是______．

$8$

9. 如图,点G是$△ ABC$的重心,则$S_{△ ABG}:S_{△ ACG}:S_{△ BCG}$的值是 （ ）
A. $1:2:3$
B. $2:1:2$
C. $1:1:1$
D. 无法确定

C

10. 如图，$△ ABC$的3个顶点都在$\odot O$上，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，BD交AC于点E，$△ CDE$与$△ BDC$相似吗？为什么？

解：​$\triangle CDE$​与​$\triangle BDC$​相似。理由如下：∵​$D$​是​$\widehat {AC}$​的中点，∴​$\widehat {AD}=\widehat {CD}，$​∴​$∠DBC = ∠ACD$​又∵​$∠D = ∠D，$​∴​$\triangle CDE\sim \triangle BDC$​

11. 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AD$是$△ ABC$的高，$AE$是$\odot O$的直径，$△ ABE$与$△ ADC$相似吗？为什么？

解：​$\triangle ABE$​与​$\triangle ADC$​相似。理由如下：∵​$\widehat {AB}=\widehat {AB}，$​∴​$∠AEB = ∠ACB$​∵​$AE$​为直径，∴​$∠ABE = 90°$​∵​$AD$​是​$\triangle ABC$​的高，∴​$AD\perp BC，$​即​$∠ADC = 90°$​∴​$∠ABE = ∠ADC，$​∴​$\triangle ABE\sim \triangle ADC$​

12. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ CAB=90°$,$AF$为边$BC$上的中线,$DE$经过$△ ABC$的重心$G$,且$∠ ADE=∠ C$.
(1)线段$AG$是$△ ADE$的高还是中线?请说明理由.
(2)若$AB=6$,$AC=8$,求$AD$的长.

解：​$(1)$​线段​$AG $​是​$\triangle ADE$​的高，理由如下：∵​$∠CAB = 90°，$​​$AF $​为边​$BC$​上的中线∴​$AF=\frac 12BC = CF，$​则​$∠C = ∠F AC$​又∵​$∠ADE = ∠C，$​∴​$∠ADE = ∠F AC$​∵​$∠F AC+∠DAG = 90°，$​∴​$∠DAG+∠ADE = 90°$​∴​$∠AG D = 90°，$​即​$AG\perp DE$​∴线段​$AG $​是​$\triangle ADE$​的高​$ (2)$​在​$Rt\triangle ABC$​中，​$AB = 6，$​​$AC = 8，$​∴​$BC=\sqrt {AB^2+AC^2}=\sqrt {6^2+8^2} = 10$​∵​$AF $​为边​$BC$​上的中线，∴​$AF=\frac 12BC = 5$​∵点​$G $​为​$\triangle ABC$​的重心，∴​$AG=\frac 23\ \mathrm {A}F=\frac {10}3$​∵​$∠ADE = ∠C，$​​$∠AG D = ∠CAB = 90°，$​∴​$\triangle ADG\sim \triangle BCA$​∴​$\frac {AD}{BC}=\frac {AG}{BA}，$​即​$\frac {AD}{10}=\frac {\frac {10}3}6，$​解得​$AD=\frac {50}9$​