8. 如图,已知$∠1=∠2$,添加一个条件使得$△ ABC ∽ △ ADE$,这个条件可以是______.(写出一个条件即可)

$\angle D = \angle B$

9. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ AB$，$∠ EAC=90°$，$D$是边$EC$的中点，图中与$△ ABC$相似的三角形是______．

$\triangle EBA$

10. 如图，D、E、F分别是$△ ABC$的边AB、AC、BC上的点，且$DE // BC$，$EF // AB$，求证：$△ ADE ∽ △ EFC$.

证明：∵​$DE// BC，$​​$EF//AB$​∴​$∠AED = ∠ECF，$​​$∠EAD = ∠CEF$​∴​$\triangle ADE\sim \triangle EF C$​

11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$△ ACD$沿$AD$折叠,使得点$C$落在斜边$AB$上的点$E$处.
(1)求证:$△ BDE ∽ △ BAC$.
(2)已知$AC=6$,$BC=8$,求线段$DE$的长.

​$ (1)$​证明：∵​$∠C = 90°，$​​$\triangle ACD$​沿​$AD$​折叠∴​$∠AED = ∠C = 90°，$​∴​$∠DEB = 90°$​又∵​$∠B = ∠B，$​∴​$\triangle BDE\sim \triangle BAC$​​$(2)$​解：在​$\triangle ABC$​中，由勾股定理得​$AB = \sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {6^2+8^2} = 10$​由折叠的性质知，​$AE = AC = 6，$​​$DE = CD，$​​$∠AED = ∠C = 90°$​∴​$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$​在​$Rt\triangle BDE$​中，由勾股定理得​$DE^2+BE^2=BD^2，$​即​$DE^2+4^2=(8 - DE)^2$​​$ $​解得​$DE=3，$​∴线段​$DE$​的长为​$3$​

12. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$P$为边$BC$上的动点. 小慧拿着含$45°$角的透明三角板，使$45°$角的顶点落在点$P$，三角板可绕点$P$旋转.
(1)如图1，当三角板的两边分别交$AB$、$AC$于点$E$、$F$时，求证：$△ BPE ∽ △ CFP$.
(2)当三角板绕点$P$旋转到图2情形时，三角板的两边分别交$BA$的延长线、边$AC$于点$E$、$F$. $△ BPE$与$△ CFP$还相似吗？请说明理由.

​$ (1)$​证明：∵​$AB = AC，$​​$∠BAC = 90°$​∴​$∠B = ∠C = 45°$​∴​$∠BEP+∠BPE = 180°-∠B = 135°$​∵​$∠EPF = 45°，$​∴​$∠BPE+∠CPF = 135°$​∴​$∠BEP = ∠CPF$​又∵​$∠B = ∠C，$​∴​$\triangle BPE\sim \triangle CFP$​​$(2)$​解：相似，理由如下：∵​$AB = AC，$​​$∠BAC = 90°，$​∴​$∠B = ∠C = 45°$​∴​$∠BEP+∠BPE = 180°-∠B = 135°$​∵​$∠EPF = 45°，$​∴​$∠BPE+∠CPF = 135°$​∴​$∠BEP = ∠CPF$​又∵​$∠B = ∠C，$​∴​$\triangle BPE\sim \triangle CFP$​