7. (2024·济宁中考)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，D是BC上一点，$AD = AC$. E是$\odot O$外一点，$∠ BAE = ∠ CAD$，$∠ ADE = ∠ ACB$，连接BE.
(1)若$AB=8$，求AE的长；
(2)求证：EB是$\odot O$的切线.

解​$：(1)$​因为​$∠BAE=∠CAD，$​所以​$∠DAE=∠CAB。$​​$ $​又因为​$AD = AC，$​​$∠ADE=∠ACB，$​所以​$\triangle DAE\cong \triangle CAB(\mathrm {ASA})，$​所以​$AE = AB = 8；$​​$ (2) $​如图，连接​$OA、$​​$OB，$
​由​$ (1)$​得​$AE = AB，$​​$AD = AC，$​所以​$∠ABE=∠AEB，$​​$∠ADC=∠ACD。$​​$ $​因为​$∠BAE=∠CAD，$​所以​$∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACB。$​​$ $​因为​$OA = OB，$​所以​$∠OBA=∠OAB=\frac {1}{2}(180°-∠AOB)$​​$=90°-\frac {1}{2}∠AOB。$​​$ $​又因为​$∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB，$​所以​$∠OBA = 90°-∠ACB，$​所以​$∠OBE=∠OBA+∠ABE$​​$=90°-∠ACB+∠ACB = 90°。$​​$ $​因为​$OB$​是半径，所以​$EB$​是​$\odot O$​的切线。

8. (2023·兰州中考)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$DE ⊥ AC$于点$E$，$DE$交$BF$于点$F$，交$AB$于点$G$，$∠ BOD = 2∠ F$，连接$BD$.
(1)求证:$BF$是$\odot O$的切线；
(2)判断$△ DGB$的形状，并说明理由；
(3)当$BD=2$时，求$FG$的长.

解​$：(1) $​连接​$CO，$​因为​$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BD}，$​所以​$∠BOC=∠BOD = 2∠BAC。$​​$ $​因为​$∠BOD = 2∠F，$​所以​$∠F=∠BAC。$​​$ $​因为​$DE\perp AC，$​所以​$∠AEG = 90°。$​​$ $​因为​$∠AGE=∠FGB，$​所以​$∠FBG=∠AEG = 90°，$​即​$AB\perp BF。$​​$ $​又因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，所以​$BF $​是​$\odot O$​的切线​$.$​​$ (2) \triangle DGB$​是等腰三角形。理由：因为​$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BD}，$​​$AB$​是​$\odot O$​的直径，所以​$\overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{AC}，$​​$BC\perp AC，$​所以​$∠ABD=∠ABC。$​​$ $​因为​$DE\perp AC，$​​$BC\perp AC，$​所以​$EF// BC，$​所以​$∠AGE=∠ABC。$​​$ $​又因为​$∠AGE=∠FGB，$​所以​$∠FGB=∠ABD，$​所以​$DG = BD，$​所以​$\triangle DGB$​是等腰三角形​$.$​​$ (3) $​因为​$∠FGB=∠ABD，$​​$AB\perp BF，$​设​$∠FGB=∠ABD=α，$​则​$∠DBF=∠F = 90°-α，$​所以​$DB = DF，$​所以​$FG = 2DG = 2DB = 4。$​

9. (2024·昆明模拟)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$AB=AD=6,∠BAD=90^{\circ }$,点E在弦AD上(不与端点重合),$∠CBE=45^{\circ }$,过点C作$CF⊥AD$,垂足F在AD延长线上,连接CE.
(1)求$\odot O$的半径长;
(2)若$∠DCF=∠ABE$,求证:直线CF是$\odot O$的切线;
(3)过点D作$DG⊥AD$交$\odot O$于点G,交BC于点H,连接EH,猜想$∠AEH$和$∠AEB$有怎样的数量关系,请证明你的结论.

解​$：(1) $​如图​$①，$​连接​$BD，$​因为​$∠BAD = 90°，$​所以​$BD$​是​$\odot O$​的直径。​$ $​在​$Rt\triangle ABD$​中，​$AB = AD = 6，$​由勾股定理得​$BD=\sqrt {AB^2+AD^2}$​​$=\sqrt {6^2+6^2} = 6\sqrt {2}，$​所以​$\odot O$​的半径​$r=\frac {1}{2}BD = 3\sqrt {2}.$​​$ (2) $​如图​$①，$​连接​$OC，$​因为​$AB = AD，$​​$∠BAD = 90°，$​所以​$∠ABD=∠ADB = 45°。$​​$ $​因为​$∠CBE = 45°，$​所以​$∠CBE-∠EBD=∠ABD-∠EBD，$​即​$∠CBD=∠ABE。$​​$ $​因为​$∠DCF=∠ABE，$​所以​$∠CBD=∠DCF。$​​$ $​又因为​$OB = OC，$​所以​$∠CBD=∠OCB，$​所以​$∠OCB=∠DCF。$​​$ $​因为​$BD$​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠BCD = 90°，$​所以​$∠OCB+∠OCD = 90°，$​所以​$∠DCF+∠OCD = 90°，$​即​$∠OCF = 90°，$​所以​$OC\perp CF。$​​$ $​因为​$OC$​是​$\odot O$​的半径，且​$OC\perp CF，$​所以直线​$CF $​是​$\odot O$​的切线​$.$
​​$ (3) ∠AEH = 2∠AEB。$​证明：如图②，连接​$BG，$​延长​$DA$​至点​$M，$​使得​$AM = GH，$​连接​$BM，$​则​$∠BAM=180°-∠BAD=90°$​​$ $​因为​$DG\perp AD，$​所以​$∠ADG = 90°。$​​$ $​因为四边形​$ABGD$​是​$\odot O$​的内接四边形，所以​$∠ABG = 180°-∠ADG = 90°，$​​$∠BGD = 180°-∠BAD = 90°，$​所以​$∠BAM=∠BGH = 90°。$​​$ $​因为​$∠BAD=∠ABG=∠ADG = 90°，$​所以四边形​$ABGD$​是矩形。​$ $​又因为​$AB = AD，$​所以四边形​$ABGD$​是正方形，所以​$AB = BG。$​​$ $​在​$\triangle BAM$​和​$\triangle BGH$​中，​$\begin {cases}AM = GH\\∠BAM=∠BGH\\AB = GB\end {cases}，$​所以​$\triangle BAM\cong \triangle BGH(\mathrm {SAS})，$​所以​$∠ABM=∠GBH，$​​$BM = BH。$​​$ $​因为​$∠ABG = 90°，$​​$∠CBE = 45°，$​所以​$∠ABE+∠GBH=∠ABG-∠CBE = 45°，$​所以​$∠ABE+∠ABM = 45°，$​即​$∠MBE = 45°，$​所以​$∠EBM=∠EBH。$​​$ $​在​$\triangle EBM$​和​$\triangle EBH$​中，​$\begin {cases}EB = EB\\∠EBM=∠EBH\\BM = BH\end {cases}，$​所以​$\triangle EBM\cong \triangle EBH(\mathrm {SAS})，$​所以​$∠BEM=∠BEH，$​所以​$∠AEH=∠BEM+∠BEH = 2∠BEM，$​即​$∠AEH = 2∠AEB。$​