1. (2024·山西中考)如图,已知$△ ABC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若$∠ AOD=80°$,则$∠ C$的度数为 ( )
A. $30°$
B. $40°$
C. $45°$
D. $50°$

D

2. (2023·哈尔滨中考)如图,AB是$\odot O$的切线,A为切点,连接OA,点C在$\odot O$上,$OC ⊥ OA$,连接BC并延长,交$\odot O$于点D,连接OD.若$∠ B=65°$,则$∠ DOC$的度数为 ( )
A. $45°$
B. $50°$
C. $65°$
D. $75°$

B

3.（赤峰中考）如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm，小圆半径长为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是________ cm.

（第3题）

（第4题）

8

4. (2023·徐州中考)如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$交于点$E$,$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$.连接$AD$,过点$B$的切线与$AD$的延长线交于点$F$.若$∠ AFB=68°$,则$∠ DEB=\_\_\_\_\_\_°$.

66

5. (2024·通辽中考)如图，$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，点$O$为$AC$边上一点，以点$O$为圆心，$OC$为半径作圆与$AB$相切于点$D$，连接$CD$.
(1)求证：$∠ ABC = 2∠ ACD$；
(2)若$AC = 8$，$BC = 6$，求$\odot O$的半径.

; 证明：​$(1)$​如图，连接​$OD，$​ ∵​$AB$​为​$\odot O$​切线，∴​$OD\perp AB，$​∴​$∠ODA = 90°，$​ ∴​$∠A+∠AOD = 90°.$​ ∵​$∠ACB = 90°，$​∴​$∠ABC+∠A = 90°，$​∴​$∠AOD=∠ABC.$​ ∵​$∠AOD = 2∠ACD，$​∴​$∠ABC = 2∠ACD.$​​$ (2)$​如图，连接​$OB.$​​$ $​在​$Rt\triangle ABC$​中，​$AB=\sqrt {BC^2+AC^2}=\sqrt {6^2+8^2} = 10，$​ ∵​$∠OCB = 90°=∠ODB，$​在​$Rt\triangle ODB$​和​$Rt\triangle OCB$​中，​$OD = OC，$​​$OB = OB，$​ ∴​$Rt\triangle ODB\cong Rt\triangle OCB(\mathrm {HL})，$​∴​$BD = BC = 6，$​∴​$AD = AB - BD = 4.$​​$ $​设​$\odot O$​的半径为​$r，$​则​$OD = OC = r，$​​$OA = 8 - r，$​在​$Rt\triangle AOD$​中，​$r^2+4^2=(8 - r)^2，$​​$ $​展开得​$r^2+16=64 - 16r+r^2，$​​$ $​移项得​$16r = 64 - 16，$​​$ $​即​$16r = 48，$​​$ $​解得​$r = 3，$​∴​$\odot O$​的半径长为​$3.$​

6. (2023·长春中考)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图像上,分别以A、B为圆心,1为半径作圆,当$\odot A$与x轴相切、$\odot B$与y轴相切时,连接$AB,AB=3\sqrt{2}$,则k的值为 ( )
A. 3
B. $3\sqrt{2}$
C. 4
D. 6

C

7. (泰安中考)如图，P为$\odot O$的直径BA延长线上的一点，PC与$\odot O$相切，切点为C，点D是$\odot O$上一点，连接PD. 已知$PC=PD=BC$. 下列结论：①PD与$\odot O$相切；②四边形PCBD是菱形；③$PO=AB$；④$∠ PDB=120°$. 其中正确的个数为 （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

A