5. (2025·德州中考)综合与实践
【活动背景】
数学活动课上,老师提供了如下素材:
某窗户生产厂家要用一根长为6 m 的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架 ABCD(如图),要求恰好用完整根铝合金型材(接缝及型材宽度忽略不计).
【活动任务】
结合素材信息,运用所学数学知识,给出合理的窗户框架设计方案.
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发,计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5:3.请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽 AB.
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发,计划把窗户面积设计得尽可能大,从而使采光效果更好.请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积.

5. 【方案一】由题意,设窗户框架的宽AB(横向边长)为x m,长AD(纵向边长)为y m,
∵ “日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成,型材总长度为6 m,
∴ 3x+2y=6.
∵ 长宽之比为5:3,
∴ 长为纵向边y,宽为横向边x,黄金分割比中长＞宽,故y:x=5:3,即$y=\frac{5}{3}x$.
将$y=\frac{5}{3}x$代入3x+2y=6,得$3x+2×\frac{5}{3}x=6$.
∴ $x=\frac{18}{19}$.
答:窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}$ m.
【方案二】由题意,设窗户框架的长AD为$x_1$ m,则宽AB为$\frac{6-2x_1}{3}$ m,
∴ $S=\frac{6-2x_1}{3}·x_1$,即$S=-\frac{2}{3}x_1^2+2x_1$,
∴ 要使窗户框架的面积最大,则$x_1=-\frac{2}{2×(-\frac{2}{3})}=1.5$,于是宽为$\frac{6-2x_1}{3}=\frac{6-2×1.5}{3}=1$(m).
∴ 当$x_1=1.5$时,S取得最大值为1.5.
∴ 该窗的AB,AD分别为1 m,1.5 m时,窗户的面积最大,最大为1.5 $m^2$.

6. (扬州中考)如图,四边形ABCD是矩形,$AB=20$,$BC=10$,以CD为一边向矩形外部作等腰直角三角形GDC,$∠G=90°$.点M在线段AB上,且$AM=a$,点P沿折线AD-DG运动,点Q沿折线BC-CG运动(与点G不重合),在运动过程中始终保持线段$PQ// AB$.设PQ与AB之间的距离为$x$.
(1)若$a=12$.
①如图①,当点P在线段AD上时,若四边形AMQP的面积为48,则$x$的值为;
②在运动过程中,求四边形AMQP的最大面积.
(2)如图②,若点P在线段DG上时,要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求$a$的取值范围.

6. (1)① 3 解析:
∵ 点P在线段AD上,
∴ $S_{四边形AMQP}=\frac{1}{2}(AM+PQ)·PA=\frac{1}{2}×(12+20)x=16x$.
∵ $S_{四边形AMQP}=48$,
∴ 16x=48,解得x=3.
②分两种情况:(ⅰ)
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AB//CD,∠A=90°.
∵ PQ//AB,
∴ 四边形ABQP为矩形,
∴ PQ=AB=20.当点P在AD上运动,即0＜x≤10时,四边形AMQP为直角梯形,
∵ 该梯形的上底与下底为定值,
∴ 当高取最大值,即点P与点D重合时,四边形AMQP的面积最大,即当0＜x≤10时,四边形AMQP面积的最大值$=\frac{1}{2}×(12+20)×10=160$.
(ⅱ)当点P在DG上运动,即10＜x＜20时,过点P作PN⊥AB于点N,交CD于点E,过点Q作QH⊥AB于点H,交CD于点F,如图,则PN//QH,PN=QH=x.
∵ ∠DAB=∠ADC=90°,∠ENA=90°,
∴ 四边形ADEN为矩形,
∴ ∠DEN=90°,EN=AD=10,
∴ PE=x-10.
∵ ∠PDE=45°,
∴ ∠DPE=90°-45°=45°=∠PDE,
∴ DE=PE=x-10,同理可求得CF=x-10,
∴ EF=20-(x-10)-(x-10)=40-2x.
∵ PQ//AB//CD,PN//QH,
∴ 四边形PQFE为平行四边形,
∴ PQ=EF=40-2x,
∴ 四边形AMQP的面积$=\frac{1}{2}(AM+PQ)·PN=\frac{1}{2}×(12+40-2x)x=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$,
∴ 当x=13时,四边形AMQP的面积最大,为169.又
∵ 169＞160,
∴ 在点P运动过程中,四边形AMQP的最大面积为169.
(2)设$S_{四边形AMQP}=y$,由题意得,10≤x＜20,AM=a,PQ=40-2x.由(1)②可得$y=\frac{1}{2}×(a+40-2x)x=-x^2+\frac{40+a}{2}x$,
∴ 对称轴为直线$x=10+\frac{a}{4}$.
∵ 0＜a≤20,
∴ $10＜10+\frac{a}{4}≤15$,当x无限接近于20时,S最小,
∴ $-20^2+\frac{40+a}{2}×20≥50$,解得a≥5.
综上可知,a的取值范围是5≤a≤20.