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9. (★★) 下列各式,是整式乘法的是,是因式分解的是.(填序号)
①$(5a - 1)^2 = 25a^2 - 10a + 1$；②$(a - 6)(a + 6) = a^2 - 36$；③$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$；④$2xy - 2xz = 2x(y - z)$.
①$(5a - 1)^2 = 25a^2 - 10a + 1$；②$(a - 6)(a + 6) = a^2 - 36$；③$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$；④$2xy - 2xz = 2x(y - z)$.
答案
整式乘法的是$\boldsymbol{①②}$，因式分解的是$\boldsymbol{③④}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确整式乘法和因式分解的核心区别：整式乘法是将几个整式相乘的“积”的形式，转化为一个多项式（和差）的形式，运算方向为“积→和”；因式分解是将一个多项式（和差）的形式，转化为几个整式相乘的“积”的形式，运算方向为“和→积”，二者是互逆的运算过程。接下来逐个对照4个式子的左右两边形式，匹配对应概念即可完成判断。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 整式乘法：把几个整式的乘积转化为多项式的形式；
2. 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的乘积的形式。
逐个分析式子：
①左边是$(5a-1)^2$，属于整式乘积的形式，右边是多项式$25a^2-10a+1$，符合整式乘法的特征；
②左边是$(a-6)(a+6)$，属于整式乘积的形式，右边是多项式$a^2-36$，符合整式乘法的特征；
③左边是多项式$m^2-4$，右边是$(m+2)(m-2)$，属于整式乘积的形式，符合因式分解的特征；
④左边是多项式$2xy-2xz$，右边是$2x(y-z)$，属于整式乘积的形式，符合因式分解的特征。
因此整式乘法的是①②，因式分解的是③④。
【答案】
①②；③④
【知识点】
整式乘法的概念；因式分解的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对整式乘法和因式分解互逆关系的理解，只要抓住两种运算的形式特征，就能快速准确判断，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确整式乘法和因式分解的核心区别：整式乘法是将几个整式相乘的“积”的形式，转化为一个多项式（和差）的形式，运算方向为“积→和”；因式分解是将一个多项式（和差）的形式，转化为几个整式相乘的“积”的形式，运算方向为“和→积”，二者是互逆的运算过程。接下来逐个对照4个式子的左右两边形式，匹配对应概念即可完成判断。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 整式乘法：把几个整式的乘积转化为多项式的形式；
2. 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的乘积的形式。
逐个分析式子：
①左边是$(5a-1)^2$，属于整式乘积的形式，右边是多项式$25a^2-10a+1$，符合整式乘法的特征；
②左边是$(a-6)(a+6)$，属于整式乘积的形式，右边是多项式$a^2-36$，符合整式乘法的特征；
③左边是多项式$m^2-4$，右边是$(m+2)(m-2)$，属于整式乘积的形式，符合因式分解的特征；
④左边是多项式$2xy-2xz$，右边是$2x(y-z)$，属于整式乘积的形式，符合因式分解的特征。
因此整式乘法的是①②，因式分解的是③④。
【答案】
①②；③④
【知识点】
整式乘法的概念；因式分解的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对整式乘法和因式分解互逆关系的理解，只要抓住两种运算的形式特征，就能快速准确判断，不易出错。
【难度系数】
0.8
10. (★★)多项式$8m^2n+2mn$中，各项的公因式是 【 】
A.$2mn$
B.$mn$
C.$2$
D.$8m^2n$
A.$2mn$
B.$mn$
C.$2$
D.$8m^2n$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需按照固定思路分步推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是多项式的公因式，我们针对多项式$8m^2n+2mn$的两项逐一分析即可得到结果。
【解析】
确定公因式的步骤如下：
1. 定系数：两项的系数分别为8和2，二者的最大公约数是2；
2. 定字母：两项都含有的相同字母为m和n；
3. 定指数：字母m在两项中的次数分别为2和1，最低次幂是$m^1=m$；字母n在两项中的次数均为1，最低次幂是$n^1=n$；
将三者相乘可得公因式为$2× m× n=2mn$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步规则即可快速求解，是学习因式分解相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.8
要确定多项式各项的公因式，需按照固定思路分步推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是多项式的公因式，我们针对多项式$8m^2n+2mn$的两项逐一分析即可得到结果。
【解析】
确定公因式的步骤如下：
1. 定系数：两项的系数分别为8和2，二者的最大公约数是2；
2. 定字母：两项都含有的相同字母为m和n；
3. 定指数：字母m在两项中的次数分别为2和1，最低次幂是$m^1=m$；字母n在两项中的次数均为1，最低次幂是$n^1=n$；
将三者相乘可得公因式为$2× m× n=2mn$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步规则即可快速求解，是学习因式分解相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.8
11. (★★)多项式$3x^2y^2z - 9y^2z + 12x^2z$的公因式是。
答案
解：
先确定公因式的系数部分：多项式各项系数3、-9、12的最大公约数是3；
再确定字母部分：观察各项所含字母，x不是所有项都共有，y不是所有项都共有，仅z是三项都含有的相同字母，且z的最低次数为1。
因此该多项式的公因式是$3z$。
先确定公因式的系数部分：多项式各项系数3、-9、12的最大公约数是3；
再确定字母部分：观察各项所含字母，x不是所有项都共有，y不是所有项都共有，仅z是三项都含有的相同字母，且z的最低次数为1。
因此该多项式的公因式是$3z$。
解析
【分析】
找多项式的公因式需遵循两步法：第一步先确定公因式的系数，取各项系数的最大公约数；第二步确定公因式的字母部分，找出所有项都含有的相同字母，再取相同字母的最低次幂，最后将系数和字母部分相乘即为公因式。针对本题，我们先分析系数，再逐一核对各项的字母即可得出结果。
【解析】
1. 确定系数部分：多项式各项系数为3、-9、12，三者的最大公约数是3；
2. 确定字母部分：逐项对比所含字母，第一项含x、y、z，第二项含y、z，第三项含x、z，其中x、y都不是三项共有的字母，只有z是三项都含有的字母，且z的最低次数为1，因此字母部分为z；
3. 结合系数与字母部分，可得公因式为$3z$。
【答案】
$3z$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查公因式的确定规则，解题时需注意不要把仅部分项含有的字母计入公因式，牢记“系数取最大公约数、字母取共有最低次幂”的原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
找多项式的公因式需遵循两步法：第一步先确定公因式的系数，取各项系数的最大公约数；第二步确定公因式的字母部分，找出所有项都含有的相同字母，再取相同字母的最低次幂，最后将系数和字母部分相乘即为公因式。针对本题，我们先分析系数，再逐一核对各项的字母即可得出结果。
【解析】
1. 确定系数部分：多项式各项系数为3、-9、12，三者的最大公约数是3；
2. 确定字母部分：逐项对比所含字母，第一项含x、y、z，第二项含y、z，第三项含x、z，其中x、y都不是三项共有的字母，只有z是三项都含有的字母，且z的最低次数为1，因此字母部分为z；
3. 结合系数与字母部分，可得公因式为$3z$。
【答案】
$3z$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查公因式的确定规则，解题时需注意不要把仅部分项含有的字母计入公因式，牢记“系数取最大公约数、字母取共有最低次幂”的原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. (★)分解因式:
(1) $ mx+my $;
(2) $ 2x^2+6xy+2xy^2 $;
(3) $ -2x^3+4x^2-8x $;
(4) $ -3x^2+3x $.
(1) $ mx+my $;
(2) $ 2x^2+6xy+2xy^2 $;
(3) $ -2x^3+4x^2-8x $;
(4) $ -3x^2+3x $.
答案
解：
(1) 原式 = m·x + m·y
= m(x + y)
(2) 原式 = 2x·x + 2x·3y + 2x·y²
= 2x(x + 3y + y²)
(3) 原式 = -2x·x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·4
= -2x(x² - 2x + 4)
(4) 原式 = -3x·x + (-3x)·(-1)
= -3x(x - 1)
(1) 原式 = m·x + m·y
= m(x + y)
(2) 原式 = 2x·x + 2x·3y + 2x·y²
= 2x(x + 3y + y²)
(3) 原式 = -2x·x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·4
= -2x(x² - 2x + 4)
(4) 原式 = -3x·x + (-3x)·(-1)
= -3x(x - 1)
解析
【分析】
这四道题均适用提公因式法分解因式，解题思路清晰可遵循：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘即为公因式，若多项式首项系数为负，需要把负号纳入公因式统一提取；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的商依次作为另一个因式的项；第三步检查最终结果，确认无漏项、符号无误、分解彻底即可。
【解析】
(1) 观察多项式$mx+my$，公因式为$m$，提取公因式得：
原式 $= m·x + m·y = m(x + y)$
(2) 观察多项式$2x^2+6xy+2xy^2$，公因式为$2x$，提取公因式得：
原式 $= 2x·x + 2x·3y + 2x·y^2 = 2x(x + 3y + y^2)$
(3) 观察多项式$-2x^3+4x^2-8x$，首项为负，公因式为$-2x$，提取公因式得：
原式 $= -2x·x^2 + (-2x)·(-2x) + (-2x)·4 = -2x(x^2 - 2x + 4)$
(4) 观察多项式$-3x^2+3x$，首项为负，公因式为$-3x$，提取公因式得：
原式 $= -3x·x + (-3x)·(-1) = -3x(x - 1)$
【答案】
(1) $m(x+y)$；(2) $2x(x+3y+y^2)$；(3) $-2x(x^2-2x+4)$；(4) $-3x(x-1)$
【知识点】
1.提公因式法 2.公因式确定 3.因式分解符号处理
【点评】
这是提公因式法分解因式的基础训练题，核心考查公因式的识别与提取能力，解题时需注意首项系数为负时优先提取负号，避免符号错误，同时提取公因式后要检查是否有漏项。
【难度系数】
0.8
这四道题均适用提公因式法分解因式，解题思路清晰可遵循：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘即为公因式，若多项式首项系数为负，需要把负号纳入公因式统一提取；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的商依次作为另一个因式的项；第三步检查最终结果，确认无漏项、符号无误、分解彻底即可。
【解析】
(1) 观察多项式$mx+my$，公因式为$m$，提取公因式得：
原式 $= m·x + m·y = m(x + y)$
(2) 观察多项式$2x^2+6xy+2xy^2$，公因式为$2x$，提取公因式得：
原式 $= 2x·x + 2x·3y + 2x·y^2 = 2x(x + 3y + y^2)$
(3) 观察多项式$-2x^3+4x^2-8x$，首项为负，公因式为$-2x$，提取公因式得：
原式 $= -2x·x^2 + (-2x)·(-2x) + (-2x)·4 = -2x(x^2 - 2x + 4)$
(4) 观察多项式$-3x^2+3x$，首项为负，公因式为$-3x$，提取公因式得：
原式 $= -3x·x + (-3x)·(-1) = -3x(x - 1)$
【答案】
(1) $m(x+y)$；(2) $2x(x+3y+y^2)$；(3) $-2x(x^2-2x+4)$；(4) $-3x(x-1)$
【知识点】
1.提公因式法 2.公因式确定 3.因式分解符号处理
【点评】
这是提公因式法分解因式的基础训练题，核心考查公因式的识别与提取能力，解题时需注意首项系数为负时优先提取负号，避免符号错误，同时提取公因式后要检查是否有漏项。
【难度系数】
0.8
13. (★★)利用因式分解计算：
(1)$57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(-20)$；
(2)$23×2.718+5.9×27.18-(-18)×2.718$。
(1)$57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(-20)$；
(2)$23×2.718+5.9×27.18-(-18)×2.718$。
答案
解：
(1) 原式$=57.6×(1.6+18.4-20)$
$=57.6×0$
$=0$
(2) 原式$=23×2.718 + 59×2.718 + 18×2.718$
$=2.718×(23+59+18)$
$=2.718×100$
$=271.8$
(1) 原式$=57.6×(1.6+18.4-20)$
$=57.6×0$
$=0$
(2) 原式$=23×2.718 + 59×2.718 + 18×2.718$
$=2.718×(23+59+18)$
$=2.718×100$
$=271.8$
解析
【分析】
这两道题是利用提公因式法简化有理数运算的典型题型，解题思路如下：1. 先观察算式各项的公共因数，确定公因式；2. 对于(2)中存在2.718和27.18两种相近因数的情况，先利用积的变化规律统一为相同因数，同时处理运算符号；3. 提取公因式后先计算括号内的加减法，再计算乘法，避免多步单独乘法的繁琐运算，降低计算错误率。
【解析】
(1) 观察到原式三项均含有公因式$57.6$，提取公因式计算：
原式$=57.6×(1.6+18.4-20)$
$=57.6×0$
$=0$
(2) 先统一相同因数：$5.9×27.18=59×2.718$，去括号得$-(-18)×2.718=+18×2.718$，此时各项公因式为$2.718$，提取公因式计算：
原式$=23×2.718 + 59×2.718 + 18×2.718$
$=2.718×(23+59+18)$
$=2.718×100$
$=271.8$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{271.8}$
【知识点】
提公因式法，有理数混合运算，简便计算
【点评】
本题属于因式分解应用的基础题型，核心考查公因式的识别能力，对于存在倍数关系的因数提前变形统一，再提取公因式可大幅简化运算，是有理数简便运算的常用方法。
【难度系数】
0.8
这两道题是利用提公因式法简化有理数运算的典型题型，解题思路如下：1. 先观察算式各项的公共因数，确定公因式；2. 对于(2)中存在2.718和27.18两种相近因数的情况，先利用积的变化规律统一为相同因数，同时处理运算符号；3. 提取公因式后先计算括号内的加减法，再计算乘法，避免多步单独乘法的繁琐运算，降低计算错误率。
【解析】
(1) 观察到原式三项均含有公因式$57.6$，提取公因式计算：
原式$=57.6×(1.6+18.4-20)$
$=57.6×0$
$=0$
(2) 先统一相同因数：$5.9×27.18=59×2.718$，去括号得$-(-18)×2.718=+18×2.718$，此时各项公因式为$2.718$，提取公因式计算：
原式$=23×2.718 + 59×2.718 + 18×2.718$
$=2.718×(23+59+18)$
$=2.718×100$
$=271.8$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{271.8}$
【知识点】
提公因式法，有理数混合运算，简便计算
【点评】
本题属于因式分解应用的基础题型，核心考查公因式的识别能力，对于存在倍数关系的因数提前变形统一，再提取公因式可大幅简化运算，是有理数简便运算的常用方法。
【难度系数】
0.8
14. (★★)已知$a+b=5$,$ab=6$,求$a^3b+ab^3$的值.
答案
解：
对$a^3b+ab^3$提取公因式，得：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
再将$ab=6$，$a^2+b^2=13$代入分解后的式子：
$a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$
对$a^3b+ab^3$提取公因式，得：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
再将$ab=6$，$a^2+b^2=13$代入分解后的式子：
$a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$
解析
【分析】
已知条件仅给出$a+b$和$ab$的数值，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可通过变形所求代数式实现整体代入计算：首先对所求的$a^3b+ab^3$提取公因式，将其转化为含$ab$和$a^2+b^2$的形式；再利用完全平方公式的变形，把$a^2+b^2$用$a+b$和$ab$表示，最后代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：对$a^3b+ab^3$提取公因式，得：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
再将$ab=6$，$a^2+b^2=13$代入分解后的式子：
$a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$
【答案】
$78$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式变形、整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心考查因式分解和完全平方公式的灵活应用，通过整体代入的思路可大幅简化计算，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐过程。
【难度系数】
0.85
已知条件仅给出$a+b$和$ab$的数值，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可通过变形所求代数式实现整体代入计算：首先对所求的$a^3b+ab^3$提取公因式，将其转化为含$ab$和$a^2+b^2$的形式；再利用完全平方公式的变形，把$a^2+b^2$用$a+b$和$ab$表示，最后代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：对$a^3b+ab^3$提取公因式，得：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
再将$ab=6$，$a^2+b^2=13$代入分解后的式子：
$a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$
【答案】
$78$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式变形、整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心考查因式分解和完全平方公式的灵活应用，通过整体代入的思路可大幅简化计算，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐过程。
【难度系数】
0.85
15. (★★★)$81^7 - 27^9 - 9^{13}$ 能被45整除吗？
为什么？
为什么？
答案
解：能，理由如下：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}× 5\\&=3^{24}× 3^2 × 5\\&=45× 3^{24}\end{aligned}$
因为$45× 3^{24}$是45的整数倍，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除。
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}× 5\\&=3^{24}× 3^2 × 5\\&=45× 3^{24}\end{aligned}$
因为$45× 3^{24}$是45的整数倍，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除。
解析
【分析】
要判断$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能否被45整除，只需验证该式子是否可以表示为45与某个整数的乘积形式。观察到式中各项的底数81、27、9均为3的幂，因此先将所有项统一转化为以3为底的幂，再提取公因式对式子进行因式分解，最后整理分解结果，判断是否包含因数45即可。
【解析】
解：能，理由如下：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}× 5\\&=3^{24}× 3^2 × 5\\&=45× 3^{24}\end{aligned}$
因为$45× 3^{24}$是45的整数倍，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除。
【答案】
能，原式可化简为$45×3^{24}$，是45的整数倍，因此能被45整除。
【知识点】
幂的乘方运算、提公因式法分解因式、整除判定
【点评】
本题综合考查幂的运算性质和因式分解的应用，解题的关键是先统一底数，再通过提取公因式将原式变形，判断变形结果是否包含除数的全部因数，熟练掌握幂的运算法则和提公因式法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
要判断$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能否被45整除，只需验证该式子是否可以表示为45与某个整数的乘积形式。观察到式中各项的底数81、27、9均为3的幂，因此先将所有项统一转化为以3为底的幂，再提取公因式对式子进行因式分解，最后整理分解结果，判断是否包含因数45即可。
【解析】
解：能，理由如下：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}× 5\\&=3^{24}× 3^2 × 5\\&=45× 3^{24}\end{aligned}$
因为$45× 3^{24}$是45的整数倍，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除。
【答案】
能，原式可化简为$45×3^{24}$，是45的整数倍，因此能被45整除。
【知识点】
幂的乘方运算、提公因式法分解因式、整除判定
【点评】
本题综合考查幂的运算性质和因式分解的应用，解题的关键是先统一底数，再通过提取公因式将原式变形，判断变形结果是否包含除数的全部因数，熟练掌握幂的运算法则和提公因式法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
