知识点3）对常见的几种特殊分式值的讨论
根据除法的意义及法则很容易得到：
1. 当时，分式$\frac{A}{B}$的值为0.
2. 当时，分式$\frac{A}{B}$的值为正.
3. 当时，分式$\frac{A}{B}$的值为负.
4. 当时，分式$\frac{A}{B}$的值为1.
5. 当时，分式$\frac{A}{B}$的值为-1.

1.$A=0且B≠0$ 2.$A,B同号$ 3.$A,B异号$ 4.$A=B且B≠0$ 5.$A=-B且B≠0$

【分析】
解决这类分式值的判定问题，首先要明确核心前提：分式有意义的条件是分母不为0，所有分式值的讨论都要先满足这个前提，再结合有理数的除法规则推导即可：
1. 若分式值为0，需满足分子为0，同时保证分母不为0（否则分式无意义，不存在值）；
2. 若分式值为正，根据有理数除法“同号得正”的符号法则，分子和分母需同号；
3. 若分式值为负，根据有理数除法“异号得负”的符号法则，分子和分母需异号；
4. 若分式值为1，说明两个非零数相除的商为1，即分子等于分母，且分母不为0；
5. 若分式值为-1，说明两个非零数相除的商为-1，即分子是分母的相反数，且分母不为0。
【解析】
我们结合分式有意义的条件和有理数除法法则逐一分析：
1. 要使$\frac{A}{B}$的值为0，需分子为0且分式有意义，即$A=0且B≠0$；
2. 要使$\frac{A}{B}$的值为正，根据“同号得正”的运算规则，可得A、B同号；
3. 要使$\frac{A}{B}$的值为负，根据“异号得负”的运算规则，可得A、B异号；
4. 要使$\frac{A}{B}$的值为1，即$A÷ B=1$，可得$A=B$，且分母不为0，即$A=B且B≠0$；
5. 要使$\frac{A}{B}$的值为-1，即$A÷ B=-1$，可得$A=-B$，且分母不为0，即$A=-B且B≠0$。
【答案】
1.$A=0且B≠0$ 2.$A,B同号$ 3.$A,B异号$ 4.$A=B且B≠0$ 5.$A=-B且B≠0$
【知识点】
分式有意义的条件；有理数除法法则；分式值的判定
【点评】
本题是分式章节的基础核心题型，重点考查对分式基本性质的理解，解题时要注意不要遗漏“分母不为0”这个前提条件，熟练掌握有理数运算的符号法则就能快速解题。
【难度系数】
0.8

例 若分式$\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}$有意义，则x应满足的条件是（）

A.$x≠1$
B.$x≠2$
C.$x≠1$且$x≠2$
D.以上结果都不对
分析:∵ 分式有意义，
∴ $(x-1)(x-2)≠0.$
∴ $x-1≠0$且$x-2≠0.$
∴ $x≠1$且$x≠2.$
答案:C
方法点拨 分式有意义的条件是分母不等于0.连接部分的文字注意要用“且”来表示.

C

【分析】
判断分式有意义的核心依据是分式的分母不能为0，注意不能先对分式约分再判断，否则会默认公因式不为0，漏掉限制条件。本题分母是两个因式的乘积，乘积不等于0等价于两个因式都不等于0，两个条件需要同时满足，因此用“且”连接。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，可知分式的分母不能为0，由此可得：
$(x-1)(x-2) ≠ 0$
根据乘积不为0的性质：若两个因式的乘积不为0，则两个因式都不为0，可得：
$x-1 ≠ 0$ 且 $x-2 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$ 且 $x ≠ 2$
【答案】
C
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.乘积非零的判定
【点评】
本题是考察分式意义的经典基础题，易错点是部分同学会先约掉分子分母的公因式$(x-1)$，仅得出$x≠2$的错误结论，判断分式有意义时需直接对原式的分母列不等式，不可提前约分。
【难度系数】
0.7

视野拓展
如图，已知$A(0,a)$，$B(2a,0)$，且$\frac{|a|-4}{a^2+8a+16}$的值为0。
(1)求$A$，$B$的坐标；
(2)若点$C$与点$B$关于$y$轴对称，点$M$在第二象限，点$D$在$y$轴上，$△ ABC ≌ △ MDA$，求$OD$的长。
$y$、$D$、$M$、$A$、$C$、$O$、$B$、$x$

(1)
∵ $\frac{|a|-4}{a^2+8a+16}$的值为0，
∴ $\begin{cases}|a|-4=0, \\a^2+8a+16≠0.\end{cases}$
解得$a=4$.
∴ $A(0,4),B(8,0)$.
(2)
∵ 点$C$与点$B$关于$y$轴对称，
∴ $C(-8,0)$.
∴ $BC=8-(-8)=16$.
∵ $△ABC ≌ △MDA$,
∴ $BC=DA=16$.
∵ $A(0,4)$,
∴ $OA=4$.
∴ $OD=DA+OA=16+4=20$.

【分析】
(1) 要确定A、B的坐标，需先求出a的值。根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，列出关于a的方程和不等式，求解得到a后代入坐标表达式，即可得到A、B的坐标。
(2) 首先根据关于y轴对称的点的坐标规律（纵坐标不变，横坐标互为相反数）求出点C的坐标，计算BC的长度；再利用全等三角形对应边相等的性质得到DA的长度，最后结合点A在y轴上的坐标，即可求出OD的长度。
【解析】
(1)
∵ $\frac{|a|-4}{a^2+8a+16}$的值为0，
∴ 需满足分子为0且分母不为0，即$\begin{cases}|a|-4=0, \\a^2+8a+16≠0.\end{cases}$
解$|a|-4=0$得$a=\pm4$，
分母$a^2+8a+16=(a+4)^2$，当$a=-4$时，$(a+4)^2=0$，不符合分母不为0的要求，故舍去，
∴ $a=4$，
∴ $A(0,4)$，$B(2×4,0)$即$B(8,0)$。
(2)
∵ 点C与点B关于y轴对称，
∴ 点C的横坐标为B点横坐标的相反数，纵坐标与B点相同，即$C(-8,0)$，
∴ $BC=8-(-8)=16$，
∵ $△ABC ≌ △MDA$，全等三角形对应边相等，
∴ $BC=DA=16$，
∵ $A(0,4)$，点A在y轴上，
∴ $OA=4$，
又
∵ 点D在y轴上，点M在第二象限，故D在A点上方，
∴ $OD=DA+OA=16+4=20$。
【答案】
(1) $A(0,4)$，$B(8,0)$；(2) $OD$的长为20
【知识点】
分式值为0的条件；关于y轴对称的点的坐标特征；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了分式、平面直角坐标系、全等三角形的相关知识考查，解题的关键是牢记各基础知识点的适用条件，找准全等三角形的对应边，细心计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7