8. 如图,已知$AB=AC$,$AD=AE$,$BD=CE$,点$B$,$D$,$E$在同一条直线上.
(1)求证$∠ BAC=∠ DAE$;
(2)猜想$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$之间的数量关系,并说明理由.

8. (1)在△BAD和△CAE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore \quad △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SSS}).$
$\therefore \quad ∠1=∠CAE.$
$\therefore \quad ∠1+∠DAC=∠CAE+∠DAC.$
$\therefore \quad ∠BAC=∠DAE.$
(2)$∠3=∠1+∠2$. 理由如下：
由(1)得,$△ BAD ≌ △ CAE$,
$\therefore \quad ∠ABD=∠2.$
$\because \quad ∠3=∠ABD+∠1,$
$\therefore \quad ∠3=∠1+∠2.$

【分析】
(1) 要证明$∠ BAC=∠ DAE$，观察角的组成可知$∠ BAC=∠1+∠ DAC$，$∠ DAE=∠ CAE+∠ DAC$，因此只需证明$∠1=∠ CAE$即可。题目给出三组边对应相等，符合全等三角形的SSS判定条件，可先证$△ BAD≌△ CAE$，再利用全等三角形对应角相等得到$∠1=∠ CAE$，最后结合角的和差关系即可推导结论。
(2) 探究$∠1$、$∠2$、$∠3$的数量关系，可沿用(1)的全等结论，得到对应角$∠ ABD=∠2$，再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知$∠3$是$△ ABD$的外角，等于$∠1+∠ ABD$，等量代换后即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 在$△ BAD$和$△ CAE$中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠1=∠ CAE.$
$\therefore ∠1+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC.$
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE.$
(2)$∠3=∠1+∠2$. 理由如下：
由(1)得,$△ BAD ≌ △ CAE$,
$\therefore ∠ ABD=∠2.$
$\because ∠3$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠3=∠ ABD+∠1,$
$\therefore ∠3=∠1+∠2.$
【答案】
(1) $∠ BAC=∠ DAE$，证明如上；
(2) $∠3=∠1+∠2$，理由如上。
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形相关的基础典型题，解题的核心是先利用已知的三边相等条件证明三角形全等，再结合角的和差关系、外角性质推导结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=CB$,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且$AE=CF$,$FB=BE$.
(1)求证$△ ABE ≌ △ CBF$;
(2)若$∠ CAE=30°$,$∠ BCA=45°$,求$∠ ACF$的度数.

9. (1)在△ABE和△CBF中,
$\begin{cases} BE=BF, \\ AB=CB, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore \quad △ ABE ≌ △ CBF(\mathrm{SSS}).$
(2)$\because \quad △ ABE ≌ △ CBF,$
$\therefore \quad ∠ABE=∠CBF,∠EAB=∠FCB.$
$\because \quad ∠ABE+∠CBF=180°,$
$\therefore \quad ∠ABE=∠CBF=90°.$
$\because \quad ∠BCA + ∠CAB + ∠ABC = 180°,$
$∠BCA=45°,$
$\therefore \quad ∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC=180°-45°-90°=45°.$
$\because \quad ∠CAE=30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,$
$\therefore \quad ∠EAB = ∠CAB - ∠CAE = 45° - 30°=15°.$
$\therefore \quad ∠FCB=15°.$
$\therefore \quad ∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°.$

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CBF，先梳理题目给出的边的条件：已知AB=CB、AE=CF、FB=BE，刚好满足三组对应边分别相等，可直接用“边边边（SSS）”的全等判定定理完成证明。
(2) 求∠ACF的度数时，先利用第一问的全等结论得到对应角相等，再结合△ABC的内角和、角的和差关系逐步计算：先求出∠CAB的度数，再推导∠EAB的度数，最终通过∠FCB与∠BCA求和得到∠ACF的度数。
【解析】
(1) 在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases} BE=BF, \\ AB=CB, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CBF(\mathrm{SSS}).$
(2) $\because △ ABE ≌ △ CBF,$
$\therefore ∠ABE=∠CBF,∠EAB=∠FCB.$
$\because$ F在AB延长线上，$∠ABE+∠CBF=180°,$
$\therefore ∠ABE=∠CBF=90°.$
在$△ ABC$中，$\because ∠BCA + ∠CAB + ∠ABC = 180°,$ $∠BCA=45°,$ $∠ABC=90°,$
$\therefore ∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC=180°-45°-90°=45°.$
$\because ∠CAB=∠CAE+∠EAB,∠CAE=30°,$
$\therefore ∠EAB = ∠CAB - ∠CAE = 45° - 30°=15°,$
$\therefore ∠FCB=∠EAB=15°,$
$\therefore ∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°.$
【答案】
(1) $△ ABE ≌ △ CBF$得证；
(2) $∠ACF=60°$
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形全等的基础综合题，重点考察基础定理的应用能力，解题关键是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合角的和差关系即可顺利求解，是全等三角形部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$CA=CB$，$AD=BD$，$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，若$△ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$，求阴影部分的面积.

10. 如图,连接CD.

在△ACD和△BCD中,
$\begin{cases} CA=CB, \\ CD=CD, \\ AD=BD, \end{cases}$
$\therefore \quad △ ACD ≌ △ BCD(\mathrm{SSS}).$
$\therefore \quad S_{△ACD}=S_{△BCD}.$
$\because \quad M,N分别是AC,BC的中点,$
$\therefore \quad S_{△ADM}=S_{△CDM}=\frac{1}{2}S_{△ACD},$
$S_{△BDN}=S_{△CDN}=\frac{1}{2}S_{△BCD}.$
$\therefore \quad 阴影部分的面积=2S_{△ADM}.$
$\because \quad △ ADM的面积为\frac{3}{2},$
$\therefore \quad 阴影部分的面积为2×\frac{3}{2}=3.$

【分析】
首先观察已知条件，已知CA=CB、AD=BD，且CD是两个三角形的公共边，因此先作辅助线连接CD，利用边边边（SSS）判定定理可证明△ACD与△BCD全等，根据全等三角形的性质可得两个三角形面积相等；再结合M、N分别是AC、BC中点的条件，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，可推出△ADM与△CDM面积相等，△BDN与△CDN面积相等，进而得到阴影部分面积为2倍的△ADM的面积，最后代入已知的△ADM的面积计算即可得到结果。
【解析】
解：连接CD，
在$△ ACD$和$△ BCD$中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ CD=CD, \\ AD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BCD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$。
∵M，N分别是AC，BC的中点，
$\therefore S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，$S_{△ BDN}=S_{△ CDN}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$，
$\therefore$ 阴影部分的面积$=S_{△ CDM}+S_{△ CDN}=2S_{△ ADM}$。
∵$△ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 阴影部分的面积为$2×\frac{3}{2}=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中线的面积相关性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，再结合中点的性质推导阴影面积与已知三角形面积的关系，是几何部分的常见基础综合题型，能很好地考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7