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知识点 数据分析的简单应用
比较两组数据的整体情况，方法多样。
可以借助
比较两组数据的整体情况，方法多样。
可以借助
平均数
和方差
反映数据的集中趋势和离散程度，也可以借助四分位数
和箱线图
直观反映数据的分布情况。答案
平均数、方差、四分位数、箱线图
解析
【分析】
解题时先对题干的填空需求进行分组：前两个空分别对应能反映数据集中趋势、离散程度的统计量，后两个空对应能直观反映数据分布情况的工具。第一步回忆描述集中趋势的常见统计量，有平均数、中位数、众数等；第二步回忆描述离散程度的常见统计量，有方差、标准差等；第三步回忆能直观体现数据分布的相关内容，四分位数可体现数据不同分位的分布特征，箱线图可通过图形直观呈现数据的整体分布情况，结合对应知识点即可完成填空。
【解析】
根据数据分析的相关知识：
1. 反映数据集中趋势的常用统计量包含平均数、中位数、众数等，反映数据离散程度的常用统计量包含方差、标准差等，因此前两个空填平均数、方差；
2. 四分位数能够体现数据在不同分位的分布特征，箱线图是基于四分位数绘制的统计图表，可直观清晰地反映数据的整体分布情况，因此后两个空填四分位数、箱线图。
【答案】
平均数、方差、四分位数、箱线图
【知识点】
集中趋势度量、离散程度度量、数据分布表示
【点评】
本题考查数据分析的基础概念识记与区分，属于基础类题型，要求同学们明确不同统计量、统计图表的作用，掌握相关核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先对题干的填空需求进行分组：前两个空分别对应能反映数据集中趋势、离散程度的统计量，后两个空对应能直观反映数据分布情况的工具。第一步回忆描述集中趋势的常见统计量，有平均数、中位数、众数等；第二步回忆描述离散程度的常见统计量，有方差、标准差等；第三步回忆能直观体现数据分布的相关内容，四分位数可体现数据不同分位的分布特征，箱线图可通过图形直观呈现数据的整体分布情况，结合对应知识点即可完成填空。
【解析】
根据数据分析的相关知识：
1. 反映数据集中趋势的常用统计量包含平均数、中位数、众数等，反映数据离散程度的常用统计量包含方差、标准差等，因此前两个空填平均数、方差；
2. 四分位数能够体现数据在不同分位的分布特征，箱线图是基于四分位数绘制的统计图表，可直观清晰地反映数据的整体分布情况，因此后两个空填四分位数、箱线图。
【答案】
平均数、方差、四分位数、箱线图
【知识点】
集中趋势度量、离散程度度量、数据分布表示
【点评】
本题考查数据分析的基础概念识记与区分，属于基础类题型，要求同学们明确不同统计量、统计图表的作用，掌握相关核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
例1 某市射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛,现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛,每轮每人射靶一次,并对A,B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集。如图(1),将A,B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图。
(1)小明利用平均数进行分析,通过计算平均数:$\bar{x}_A=$
(2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析。①处应填
(3)已知$s_A^2=1.75$,请你根据八轮射击成绩,从稳定性的角度通过计算分析,应从A,B两名选手中选拔谁参加青少年射击比赛?
[点拨] 本题考查了平均数、中位数、方差,正确理解题意是解题的关键。
(1)根据平均数的公式,由折线图中得到数据,求解即可;
(2)先把选手A,B的数据从小到大排列,再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可;
(3)求得选手B的方差,与选手A的方差进行比较,即可求解。
[解] (1)由图(1)可得,选手A的数据为9,9,10,10,9,7,6,8,
则$\bar{x}_A=\frac{9+9+10+10+9+7+6+8}{8}$
$=8.5$;
选手B的数据为10,8,8,9,10,9,8,10,
则$\bar{x}_B=\frac{10+8+8+9+10+9+8+10}{8}$
$=9$。
$\because9＞8.5$,
$\therefore$B的平均成绩略高。
故答案为8.5,9,B。
(2)选手A的数据从小到大排列为6,7,8,9,9,9,10,10,
$\therefore$中位数为$\frac{9+9}{2}=9$,即$m_{50}=9$;
上四分位数为$\frac{9+10}{2}=9.5$,即$m_{75}=9.5$。
选手B的数据从小到大排列为8,8,8,9,9,10,10,10,
$\therefore$下四分位数为$\frac{8+8}{2}=8$,则$m_{25}=8$。
可以发现选手A射击成绩的中位数=选手B射击成绩的中位数,
故答案为8,9,9.5,=。
(3)$s_B^2=\frac{(10-9)^2×3+(8-9)^2×3+(9-9)^2×2}{8}$
$=0.75$,
$\therefore s_B^2＜s_A^2$,
$\therefore$B的射击水平发挥更稳定,则选拔B参加青少年射击比赛。
[变式训练] 某市射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛,现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛,每轮每人射靶一次,他们的射击成绩(单位:环)如下:
A:9,9,10,10,9,7,6,8;
B:10,8,8,9,10,9,8,10。
(1)小明利用平均数、方差进行分析,通过计算平均数:$\bar{x}_A=8.5$环,$\bar{x}_B=$
(2)小颖利用四分位数、箱线图(如图)进行分析。
上表中①处应填
(3)请你根据八轮射击成绩,从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛,并说明理由。
(1)小明利用平均数进行分析,通过计算平均数:$\bar{x}_A=$
8.5
环,$\bar{x}_B=$9
环,可以看出,B
(填“A”或“B”)的平均成绩略高。(2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析。①处应填
8
,②处应填9
,③处应填9.5
;基于四分位数或箱线图,可以发现选手A射击成绩的中位数=
选手B射击成绩的中位数。(填“＞”“＜”或“=”)(3)已知$s_A^2=1.75$,请你根据八轮射击成绩,从稳定性的角度通过计算分析,应从A,B两名选手中选拔谁参加青少年射击比赛?
[点拨] 本题考查了平均数、中位数、方差,正确理解题意是解题的关键。
(1)根据平均数的公式,由折线图中得到数据,求解即可;
(2)先把选手A,B的数据从小到大排列,再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可;
(3)求得选手B的方差,与选手A的方差进行比较,即可求解。
[解] (1)由图(1)可得,选手A的数据为9,9,10,10,9,7,6,8,
则$\bar{x}_A=\frac{9+9+10+10+9+7+6+8}{8}$
$=8.5$;
选手B的数据为10,8,8,9,10,9,8,10,
则$\bar{x}_B=\frac{10+8+8+9+10+9+8+10}{8}$
$=9$。
$\because9＞8.5$,
$\therefore$B的平均成绩略高。
故答案为8.5,9,B。
(2)选手A的数据从小到大排列为6,7,8,9,9,9,10,10,
$\therefore$中位数为$\frac{9+9}{2}=9$,即$m_{50}=9$;
上四分位数为$\frac{9+10}{2}=9.5$,即$m_{75}=9.5$。
选手B的数据从小到大排列为8,8,8,9,9,10,10,10,
$\therefore$下四分位数为$\frac{8+8}{2}=8$,则$m_{25}=8$。
可以发现选手A射击成绩的中位数=选手B射击成绩的中位数,
故答案为8,9,9.5,=。
(3)$s_B^2=\frac{(10-9)^2×3+(8-9)^2×3+(9-9)^2×2}{8}$
$=0.75$,
$\therefore s_B^2＜s_A^2$,
$\therefore$B的射击水平发挥更稳定,则选拔B参加青少年射击比赛。
[变式训练] 某市射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛,现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛,每轮每人射靶一次,他们的射击成绩(单位:环)如下:
A:9,9,10,10,9,7,6,8;
B:10,8,8,9,10,9,8,10。
(1)小明利用平均数、方差进行分析,通过计算平均数:$\bar{x}_A=8.5$环,$\bar{x}_B=$
9
环,可以看出,B
(填“A”或“B”)的平均成绩略高;通过计算方差:$s_A^2=1.75,s_B^2=$0.75
,可以看出,B
(填“A”或“B”)的射击水平发挥更稳定。(2)小颖利用四分位数、箱线图(如图)进行分析。
上表中①处应填
7.5
,②处应填9
,③处应填10
;基于四分位数或箱线图,可以发现选手A射击成绩的中位数=
选手B射击成绩的中位数(填“＞”“＜”或“=”),且选手A的射击成绩波动大
(填“大”或“小”)。(3)请你根据八轮射击成绩,从A,B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛,并说明理由。
答案
解:(1)$\bar{x}_B=\frac{10+8+8+9+10+9+8+10}{8}=9$,
∵9＞8.5,
∴B的成绩略高。
$s_B^2=\frac{(10-9)^2×3+(8-9)^2×3+(9-9)^2×2}{8}=0.75$,
∴$s_B^2＜s_A^2$,
∴B的射击水平发挥更稳定。
故答案为9,B,0.75,B;
(2)选手A的数据从小到大排列为6,7,8,9,9,9,10,10,
∴下四分位数为$\frac{7+8}{2}=7.5$,即$m_{25}=7.5$;
中位数为$\frac{9+9}{2}=9$,即$m_{50}=9$。
选手B的数据从小到大排列为8,8,8,9,9,10,10,10,
∴上四分位数为$\frac{10+10}{2}=10$。
可以发现选手A射击成绩的中位数=选手B射击成绩的中位数。
故答案为7.5,9,10,=,大;
(3)选择选手B参加青少年射击比赛,理由如下:
因为A,B两名选手的中位数相等,但选手B的方差更小,则成绩更加稳定,且平均数更高,能力更强,所以,选择选手B参加青少年射击比赛。
∵9＞8.5,
∴B的成绩略高。
$s_B^2=\frac{(10-9)^2×3+(8-9)^2×3+(9-9)^2×2}{8}=0.75$,
∴$s_B^2＜s_A^2$,
∴B的射击水平发挥更稳定。
故答案为9,B,0.75,B;
(2)选手A的数据从小到大排列为6,7,8,9,9,9,10,10,
∴下四分位数为$\frac{7+8}{2}=7.5$,即$m_{25}=7.5$;
中位数为$\frac{9+9}{2}=9$,即$m_{50}=9$。
选手B的数据从小到大排列为8,8,8,9,9,10,10,10,
∴上四分位数为$\frac{10+10}{2}=10$。
可以发现选手A射击成绩的中位数=选手B射击成绩的中位数。
故答案为7.5,9,10,=,大;
(3)选择选手B参加青少年射击比赛,理由如下:
因为A,B两名选手的中位数相等,但选手B的方差更小,则成绩更加稳定,且平均数更高,能力更强,所以,选择选手B参加青少年射击比赛。
解析
【分析】
解题时按三个小问逐步思考：1. 计算平均数只需将选手所有射击成绩求和后除以比赛轮数8，比较平均数大小即可判断谁的平均成绩更高；计算方差时依据方差公式，先求每个成绩与平均数差值的平方，再求这些平方值的平均数，方差越小说明成绩稳定性越好。2. 求解四分位数和中位数时，先将两位选手的成绩分别从小到大排序，8个数据的下四分位数为排序后第2、3个数据的平均数，中位数为第4、5个数据的平均数，上四分位数为第6、7个数据的平均数，对比两人中位数大小，再结合数据分布判断波动程度。3. 选拔选手时结合统计量的实际意义：平均数高代表整体水平更高，方差小代表发挥更稳定，综合多个指标选出更合适的选手即可。
【解析】
(1) 计算B的平均成绩：
$\bar{x}_B=\frac{10+8+8+9+10+9+8+10}{8}=9$，
$\because9＞8.5$，$\therefore$B的平均成绩略高。
计算B的方差：
$s_B^2=\frac{3×(10-9)^2+2×(9-9)^2+3×(8-9)^2}{8}=\frac{3+0+3}{8}=0.75$，
$\because s_B^2=0.75＜s_A^2=1.75$，$\therefore$B的射击水平发挥更稳定。
(2) 将A的成绩从小到大排序：6,7,8,9,9,9,10,10，
下四分位数$m_{25}=\frac{7+8}{2}=7.5$，中位数$m_{50}=\frac{9+9}{2}=9$；
将B的成绩从小到大排序：8,8,8,9,9,10,10,10，
上四分位数$m_{75}=\frac{10+10}{2}=10$；
可得选手A射击成绩的中位数等于选手B的中位数，对比数据分布可知选手A的射击成绩波动更大。
(3) 应选拔选手B参赛：两人中位数相等，说明中等水平相当，但选手B的平均成绩更高，且方差更小，发挥更稳定，综合表现更优。
【答案】
(1) 9，B，0.75，B；
(2) 7.5，9，10，=，大；
(3) 选拔选手B参加青少年射击比赛，理由：A、B两名选手的中位数相等，但选手B的平均成绩更高，方差更小，发挥更稳定，综合表现更优。
【知识点】
平均数计算，方差的意义与计算，中位数与四分位数
【点评】
本题以射击选手选拔为实际背景，考查了数据分析中常用统计量的计算与应用，要求掌握各统计量的计算方法，理解其实际意义，能结合数据特征解决实际决策问题，贴合统计知识的应用考察方向。
【难度系数】
0.7
解题时按三个小问逐步思考：1. 计算平均数只需将选手所有射击成绩求和后除以比赛轮数8，比较平均数大小即可判断谁的平均成绩更高；计算方差时依据方差公式，先求每个成绩与平均数差值的平方，再求这些平方值的平均数，方差越小说明成绩稳定性越好。2. 求解四分位数和中位数时，先将两位选手的成绩分别从小到大排序，8个数据的下四分位数为排序后第2、3个数据的平均数，中位数为第4、5个数据的平均数，上四分位数为第6、7个数据的平均数，对比两人中位数大小，再结合数据分布判断波动程度。3. 选拔选手时结合统计量的实际意义：平均数高代表整体水平更高，方差小代表发挥更稳定，综合多个指标选出更合适的选手即可。
【解析】
(1) 计算B的平均成绩：
$\bar{x}_B=\frac{10+8+8+9+10+9+8+10}{8}=9$，
$\because9＞8.5$，$\therefore$B的平均成绩略高。
计算B的方差：
$s_B^2=\frac{3×(10-9)^2+2×(9-9)^2+3×(8-9)^2}{8}=\frac{3+0+3}{8}=0.75$，
$\because s_B^2=0.75＜s_A^2=1.75$，$\therefore$B的射击水平发挥更稳定。
(2) 将A的成绩从小到大排序：6,7,8,9,9,9,10,10，
下四分位数$m_{25}=\frac{7+8}{2}=7.5$，中位数$m_{50}=\frac{9+9}{2}=9$；
将B的成绩从小到大排序：8,8,8,9,9,10,10,10，
上四分位数$m_{75}=\frac{10+10}{2}=10$；
可得选手A射击成绩的中位数等于选手B的中位数，对比数据分布可知选手A的射击成绩波动更大。
(3) 应选拔选手B参赛：两人中位数相等，说明中等水平相当，但选手B的平均成绩更高，且方差更小，发挥更稳定，综合表现更优。
【答案】
(1) 9，B，0.75，B；
(2) 7.5，9，10，=，大；
(3) 选拔选手B参加青少年射击比赛，理由：A、B两名选手的中位数相等，但选手B的平均成绩更高，方差更小，发挥更稳定，综合表现更优。
【知识点】
平均数计算，方差的意义与计算，中位数与四分位数
【点评】
本题以射击选手选拔为实际背景，考查了数据分析中常用统计量的计算与应用，要求掌握各统计量的计算方法，理解其实际意义，能结合数据特征解决实际决策问题，贴合统计知识的应用考察方向。
【难度系数】
0.7
