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1. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作
圆的内接多边形
，这个圆叫作这个多边形的外接圆
。答案
1. 圆的内接多边形 外接圆
解析
【分析】
这道题是基础概念填空题，考查圆与多边形相关的基础定义，解题时只需回忆教材中对应概念的描述即可：我们学习圆和多边形的位置关系时，明确规定了若多边形所有顶点都落在同一个圆上，该多边形和对应圆的固定名称，直接对应概念填写即可。
【解析】
根据圆与多边形位置关系的相关定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆，因此按定义填入对应内容即可。
【答案】
圆的内接多边形 外接圆
【知识点】
圆内接多边形定义；多边形外接圆定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础定义的掌握程度，牢记相关概念即可快速得出答案，是圆相关知识中的基础考查题型。
【难度系数】
0.9
这道题是基础概念填空题，考查圆与多边形相关的基础定义，解题时只需回忆教材中对应概念的描述即可：我们学习圆和多边形的位置关系时，明确规定了若多边形所有顶点都落在同一个圆上，该多边形和对应圆的固定名称，直接对应概念填写即可。
【解析】
根据圆与多边形位置关系的相关定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆，因此按定义填入对应内容即可。
【答案】
圆的内接多边形 外接圆
【知识点】
圆内接多边形定义；多边形外接圆定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础定义的掌握程度，牢记相关概念即可快速得出答案，是圆相关知识中的基础考查题型。
【难度系数】
0.9
2. 圆内接四边形的对角
互补
.答案
2. 互补
解析
【分析】
我们可以通过圆周角定理推导结论，也可直接回忆圆内接四边形的基础性质作答：首先明确圆内接四边形的四个顶点都在圆上，它的一组对角所对的弧恰好能拼成整个圆周，整圆对应的圆心角为360°，再结合圆周角等于所对圆心角的一半，即可推出对角之和为180°，也就是互补。
【解析】
圆内接四边形的一组对角所对的弧之和为整个圆周，对应的圆心角之和为360°。根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，因此这组对角的度数之和为$360°÷2=180°$，即两角互补，同理可证另一组对角也互补，因此圆内接四边形的对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对圆内接四边形核心性质的掌握，是解决圆与四边形结合类题型的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
我们可以通过圆周角定理推导结论，也可直接回忆圆内接四边形的基础性质作答：首先明确圆内接四边形的四个顶点都在圆上，它的一组对角所对的弧恰好能拼成整个圆周，整圆对应的圆心角为360°，再结合圆周角等于所对圆心角的一半，即可推出对角之和为180°，也就是互补。
【解析】
圆内接四边形的一组对角所对的弧之和为整个圆周，对应的圆心角之和为360°。根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，因此这组对角的度数之和为$360°÷2=180°$，即两角互补，同理可证另一组对角也互补，因此圆内接四边形的对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对圆内接四边形核心性质的掌握，是解决圆与四边形结合类题型的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
1. 如图 29.2-29，四边形 ABCD 内接于$\odot O$，连接 BD. 若 $AC=BC$，$∠ ADC=130°$，则 $∠ BDC$ 的度数是（
A.$65°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
图29.2-29
图29.2-30
图29.2-31
图29.2-32
C
）.A.$65°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
图29.2-29
图29.2-30
图29.2-31
图29.2-32
答案
1. C
解析
【分析】
解题可按3步思考：第一步，先利用圆内接四边形的性质求∠ABC的度数，因为圆内接四边形对角互补，已知∠ADC的度数就能直接计算；第二步，结合AC=BC的等腰三角形条件，求出∠BAC的度数；第三步，根据同弧所对的圆周角相等的性质，∠BDC与∠BAC都对应弧BC，二者相等，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，
已知$∠ ADC=130°$，代入得$∠ ABC=180° - 130°=50°$。
又
∵$AC=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴$∠ BAC = ∠ ABC = 50°$。
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，
∴$∠ BDC = ∠ BAC = 50°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形和圆周角的相关性质，通过角的等量代换求解角度，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题可按3步思考：第一步，先利用圆内接四边形的性质求∠ABC的度数，因为圆内接四边形对角互补，已知∠ADC的度数就能直接计算；第二步，结合AC=BC的等腰三角形条件，求出∠BAC的度数；第三步，根据同弧所对的圆周角相等的性质，∠BDC与∠BAC都对应弧BC，二者相等，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，
已知$∠ ADC=130°$，代入得$∠ ABC=180° - 130°=50°$。
又
∵$AC=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴$∠ BAC = ∠ ABC = 50°$。
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，
∴$∠ BDC = ∠ BAC = 50°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形和圆周角的相关性质，通过角的等量代换求解角度，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
2. 如图29.2-30，点A，B，C，D，E均在$\odot O$上，且$∠ B + ∠ E = 164°$，连接OC，OD，则$∠ COD$的度数是（
A.$34°$
B.$30°$
C.$28°$
D.$32°$
D
）.A.$34°$
B.$30°$
C.$28°$
D.$32°$
答案
2. D
解析
【分析】
要求圆心角∠COD的度数，根据圆心角与弧的关系，只需求出∠COD所对的弧CD的度数即可。已知∠B与∠E的和，结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，可先求出∠B和∠E所对弧的度数之和，再结合整个圆周的度数为360°，即可推导出弧CD的度数，进而求出∠COD。
【解析】
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此：
∠B所对弧的度数为$2∠ B$，∠E所对弧的度数为$2∠ E$。
观察图形可知，∠B和∠E所对的弧合起来，恰好是整个圆周去掉弧CD的部分，因此两段弧的度数之和为$360° - \mathrm{弧}CD\mathrm{的度数}$。
已知$∠ B + ∠ E = 164°$，则：
$2∠ B + 2∠ E = 2×164° = 328°$
代入弧的关系可得：
$328° = 360° - \mathrm{弧}CD\mathrm{的度数}$
解得：$\mathrm{弧}CD\mathrm{的度数}=360° - 328° = 32°$
又因为圆心角的度数等于它所对弧的度数，因此$∠ COD = 32°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆周角和对应弧的关系、圆心角和对应弧的关系，理清已知角所对弧和待求角所对弧的联系，结合圆周总度数计算即可。
【难度系数】
0.7
要求圆心角∠COD的度数，根据圆心角与弧的关系，只需求出∠COD所对的弧CD的度数即可。已知∠B与∠E的和，结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，可先求出∠B和∠E所对弧的度数之和，再结合整个圆周的度数为360°，即可推导出弧CD的度数，进而求出∠COD。
【解析】
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此：
∠B所对弧的度数为$2∠ B$，∠E所对弧的度数为$2∠ E$。
观察图形可知，∠B和∠E所对的弧合起来，恰好是整个圆周去掉弧CD的部分，因此两段弧的度数之和为$360° - \mathrm{弧}CD\mathrm{的度数}$。
已知$∠ B + ∠ E = 164°$，则：
$2∠ B + 2∠ E = 2×164° = 328°$
代入弧的关系可得：
$328° = 360° - \mathrm{弧}CD\mathrm{的度数}$
解得：$\mathrm{弧}CD\mathrm{的度数}=360° - 328° = 32°$
又因为圆心角的度数等于它所对弧的度数，因此$∠ COD = 32°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆周角和对应弧的关系、圆心角和对应弧的关系，理清已知角所对弧和待求角所对弧的联系，结合圆周总度数计算即可。
【难度系数】
0.7
3. 如图29.2-31，A，B，C是$\odot O$上的三点，且$∠ BAC=65°$，点P是圆上的一个动点(点P不与点A，B，C重合)，连接PB，PC，则$∠ BPC$的度数是（
A.$65°$
B.$130°$
C.$65°$或$130°$
D.$65°$或$115°$
D
）.A.$65°$
B.$130°$
C.$65°$或$130°$
D.$65°$或$115°$
答案
3. D
解析
【分析】
本题需结合点P的动点特征分类讨论求解：首先回忆圆周角相关性质，同弧所对的圆周角存在两种位置关系：与已知角在弧的同侧、异侧。①当点P与点A在BC同侧时，可利用同弧所对圆周角相等求∠BPC；②当点P与点A在BC异侧时，可利用圆内接四边形对角互补求∠BPC，综合两种情况即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点P在优弧BC上（与点A在BC同侧）时，∠BPC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BPC = ∠ BAC = 65°$；
2. 当点P在劣弧BC上（与点A在BC异侧）时，四边形ABPC是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BPC + ∠ BAC = 180°$，代入$∠ BAC=65°$，计算得$∠ BPC = 180° - 65° = 115°$。
综上，$∠ BPC$的度数为$65°$或$115°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略动点的位置多样性，未分类讨论导致漏解，解题时遇到圆上未明确位置的动点问题，要先考虑是否存在多种可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
本题需结合点P的动点特征分类讨论求解：首先回忆圆周角相关性质，同弧所对的圆周角存在两种位置关系：与已知角在弧的同侧、异侧。①当点P与点A在BC同侧时，可利用同弧所对圆周角相等求∠BPC；②当点P与点A在BC异侧时，可利用圆内接四边形对角互补求∠BPC，综合两种情况即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点P在优弧BC上（与点A在BC同侧）时，∠BPC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BPC = ∠ BAC = 65°$；
2. 当点P在劣弧BC上（与点A在BC异侧）时，四边形ABPC是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BPC + ∠ BAC = 180°$，代入$∠ BAC=65°$，计算得$∠ BPC = 180° - 65° = 115°$。
综上，$∠ BPC$的度数为$65°$或$115°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略动点的位置多样性，未分类讨论导致漏解，解题时遇到圆上未明确位置的动点问题，要先考虑是否存在多种可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
4. 如图29.2-32，线段AC为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$。若$∠ BAC=28°$，BC与ED的延长线交于点F，则$∠ F$的度数是（
A.$68°$
B.$84°$
C.$56°$
D.$58°$
A
）。A.$68°$
B.$84°$
C.$56°$
D.$58°$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AC为$\odot O$的直径”入手，回忆直径所对圆周角为直角，先求出$∠ ACB$的度数；再结合圆周角定理，由$∠ BAC=28°$推出$\overset{\frown}{BC}$的度数，结合三段弧相等的条件得到$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$的度数，进而求出$\overset{\frown}{AE}$对应的圆周角$∠ ACE$的度数；最后通过平角性质得到$△ EFC$中两个内角的度数，利用三角形内角和即可算出$∠ F$的度数。
【解析】
解：$\because$线段AC为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=28°$，
$\therefore ∠ ACB=90°-28°=62°$。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半，
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数$=2×28°=56°$，
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=56°$。
$\because$AC为直径，半圆$\overset{\frown}{AEDC}$的度数为$180°$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=180°-\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{CD}=180°-56°-56°=68°$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}×68°=34°$。
由平角的定义可得：
$∠ ECF=180°-∠ ACB-∠ ACE=180°-62°-34°=84°$，
又$\because ∠ FEC$（即$∠ DEC$）对应$\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ FEC=\frac{1}{2}×56°=28°$。
在$△ EFC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ F=180°-∠ ECF-∠ FEC=180°-84°-28°=68°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是将等弧关系通过圆周角定理转化为角度关系，解题时要注意梳理圆上各点、各弧的对应关系，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件“AC为$\odot O$的直径”入手，回忆直径所对圆周角为直角，先求出$∠ ACB$的度数；再结合圆周角定理，由$∠ BAC=28°$推出$\overset{\frown}{BC}$的度数，结合三段弧相等的条件得到$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$的度数，进而求出$\overset{\frown}{AE}$对应的圆周角$∠ ACE$的度数；最后通过平角性质得到$△ EFC$中两个内角的度数，利用三角形内角和即可算出$∠ F$的度数。
【解析】
解：$\because$线段AC为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=28°$，
$\therefore ∠ ACB=90°-28°=62°$。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半，
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数$=2×28°=56°$，
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=56°$。
$\because$AC为直径，半圆$\overset{\frown}{AEDC}$的度数为$180°$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=180°-\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{CD}=180°-56°-56°=68°$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}×68°=34°$。
由平角的定义可得：
$∠ ECF=180°-∠ ACB-∠ ACE=180°-62°-34°=84°$，
又$\because ∠ FEC$（即$∠ DEC$）对应$\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ FEC=\frac{1}{2}×56°=28°$。
在$△ EFC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ F=180°-∠ ECF-∠ FEC=180°-84°-28°=68°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是将等弧关系通过圆周角定理转化为角度关系，解题时要注意梳理圆上各点、各弧的对应关系，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.6
