8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=50°$，D是$△ ABC$内一点，连接BD，CD。若$∠1=∠2$，则$∠ D$的度数为（）

A.$130°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$110°$

8. C

【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠A的度数，可利用等腰三角形两底角相等的性质求出底角∠ACB的度数；再根据∠1=∠2，通过等量代换得到△BDC中∠2与∠DCB的和等于∠ACB；最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=50°
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB
根据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°
∴∠ACB=130°÷2=65°
∵∠1=∠2
∴∠2+∠DCB=∠1+∠DCB=∠ACB=65°
在△BDC中，∠D+∠2+∠DCB=180°
∴∠D=180°-(∠2+∠DCB)=180°-65°=115°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础典型题，解题核心是通过角的等量代换将未知三角形的内角和转化为已知等腰三角形的底角度数，再结合内角和定理求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

9. [整体思想]如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=AM$，$BC=BN$，则$∠ MCN$的度数为.

9. 45°

【分析】
首先观察题目条件，存在两组等边：AC=AM、BC=BN，可联想到等腰三角形等边对等角的性质；已知△ABC是直角三角形，可得∠A+∠B=90°。我们可以先用∠A、∠B分别表示出两个等腰三角形的底角∠AMC、∠BNC，再在△MCN中利用三角形内角和定理，将∠A+∠B作为整体代入计算，即可求出∠MCN的度数，不需要单独求解∠A、∠B的具体值，简化运算。
【解析】
解：在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
$\because AC=AM$，即$△ ACM$为等腰三角形，根据等边对等角及三角形内角和定理：
$∠ AMC = ∠ ACM = \frac{180° - ∠ A}{2}$
同理，$\because BC=BN$，即$△ BCN$为等腰三角形：
$∠ BNC = ∠ BCN = \frac{180° - ∠ B}{2}$
在$△ MCN$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$\begin{aligned}∠ MCN &= 180° - ∠ AMC - ∠ BNC \\&= 180° - \frac{180° - ∠ A}{2} - \frac{180° - ∠ B}{2} \\&= 180° - \frac{360° - (∠ A + ∠ B)}{2}\end{aligned}$
将$∠ A + ∠ B = 90°$代入上式：
$\begin{aligned}∠ MCN &= 180° - \frac{360° - 90°}{2} \\&= 180° - 135° \\&= 45°\end{aligned}$
【答案】
$45°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题解题核心是利用等腰三角形的性质转化角度，再结合整体代入的思想计算，避免单独求解单个角的度数，简化了计算过程，考察了角度转化和整体运算的能力。
【难度系数】
0.7

10. [分类讨论思想][与T2互为孪生题]在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=40°$，$D$是$BC$边上的动点(不与点$B,C$重合)，连接$AD$。若$△ ACD$为等腰三角形，则$∠ ADB$的度数为。

10. 80°或 110°

【分析】
首先根据已知条件AB=AC，确定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质算出∠C和∠BAC的度数。因为题目仅说明△ACD为等腰三角形，未明确哪两条边是腰，所以需要分三种情况讨论等腰△ACD的腰的组合，再结合D不与B、C重合的限制条件排除不符合的情况，最后利用邻补角的性质计算∠ADB的度数即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠B=40°，
∴ ∠C=∠B=40°，
∴ ∠BAC=180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 40° = 100°。
已知△ACD为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 当AC=AD时：
∠ADC=∠C=40°，此时∠CAD=180° - ∠ADC - ∠C = 100° = ∠BAC，即点D与点B重合，不符合D不与B、C重合的条件，舍去；
2. 当AC=CD时：
∠CAD=∠CDA，
∵ ∠C=40°，
∴ ∠CDA=(180° - ∠C)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°，
∴ ∠ADB=180° - ∠CDA = 180° - 70° = 110°；
3. 当AD=CD时：
∠CAD=∠C=40°，
∴ ∠CDA=180° - ∠CAD - ∠C = 180° - 40° - 40° = 100°，
∴ ∠ADB=180° - ∠CDA = 180° - 100° = 80°。
综上，∠ADB的度数为80°或110°。
【答案】
80°或110°
【知识点】
等腰三角形的性质，分类讨论思想，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形未指明腰和底时需分类讨论，同时要结合动点的取值范围排除不符合题意的情况，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6

11.(1)如图1，$△ ABC$是等边三角形，D是AB上一点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.求证：$∠ CAE=∠ CBA$.
(2)在(1)中，当点D在线段AB的延长线上时，其他条件不变，如图2所示，请你补画出符合题意的图形，并判断(1)中的结论是否成立.若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由.

11.(1)证明略.
(2)图略.
不成立.理由略.

【分析】
(1)要证明∠CAE=∠CBA，可利用两个等边三角形边相等、内角均为60°的性质，推导得到△BCD和△ACE的全等条件，通过全等三角形对应角相等即可得证。
(2)先按要求补全图形，仍然先尝试证明△BCD和△ACE全等得到对应角关系，再结合点D在AB延长线上时∠CBD和∠CBA的数量关系，判断原结论是否成立。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴$BC=AC$，$DC=EC$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，
∴$∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCE - ∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACE$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCD=∠ ACE \\DC=EC\end{cases}$
∴$△ BCD ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CAE=∠ CBA$。
(2)补图：在图2中AB的延长线BD上取点D，以CD为边向上作等边△EDC，连接AE即可。
结论：(1)中的结论不成立，证明如下：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴$BC=AC$，$DC=EC$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，
∴$∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACE$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCD=∠ ACE \\DC=EC\end{cases}$
∴$△ BCD ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CAE=∠ CBD$，
∵点D在AB的延长线上，$∠ CBA=60°$，
∴$∠ CBD=180° - ∠ CBA=120°$，
∴$∠ CAE=120° ≠ 60°=∠ CBA$，因此(1)的结论不成立。
【答案】
(1)证明略；
(2)图略，不成立，理由略。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，核心考查借助等边三角形的性质构造全等三角形的方法，易错点是第二问中点位置变化后，容易忽略对应角的位置改变，惯性判断原结论仍然成立。
【难度系数】
0.7

12. [新课标—探究题][教材P152习题15.4第6题改编]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=AE.
(1)若∠BAC=90°,∠BAD=30°,求∠EDC的度数;
(2)若∠BAC=α(α＞30°),∠BAD=30°,求∠EDC的度数;
(3)猜想∠EDC与∠BAD的数量关系.(不必证明)

12. (1)15° (2)15° (3)$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$.

【分析】
这是等腰三角形角度计算类问题，解题核心是运用等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理、三角形外角性质逐步推导角度。对于（1）（2）问，首先根据等腰△ABC的顶角度数求出底角∠B、∠C的度数，再利用三角形外角性质求出∠ADC的度数；接着计算出∠DAC的度数，结合等腰△ADE的性质求出∠ADE的度数；最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。第（3）问可通过前两问的推导过程，总结出两个角的一般数量关系。
【解析】
(1) 已知$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$
$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据外角性质：
$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=45°+30°=75°$
$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=90°-30°=60°$
又因为$AD=AE$，所以$△ ADE$为等腰三角形：
$∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$
因此$∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=75°-60°=15°$
(2) 已知$AB=AC$，$∠ BAC=α$，同理可得：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-α}{2}$
$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=\frac{180°-α}{2}+30°$
$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=α-30°$
因为$AD=AE$，所以：
$∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-(α-30°)}{2}=\frac{210°-α}{2}$
因此$∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=(\frac{180°-α}{2}+30°)-\frac{210°-α}{2}=15°$
(3) 结合前两问的推导过程，可直接猜想角度关系。
【答案】
(1)$15°$；(2)$15°$；(3)$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题从特殊角度到一般角度展开推导，综合考查等腰三角形性质、三角形内外角性质的运用，解题关键是理清角度之间的和差关系，合理进行角度转化，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7