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2.以下正方形的边长不是有理数的是(
A.面积为9的正方形
B.面积为49的正方形
C.面积为18的正方形
D.面积为25的正方形
C
)A.面积为9的正方形
B.面积为49的正方形
C.面积为18的正方形
D.面积为25的正方形
答案
2.C
解析
【分析】
要判断正方形的边长是不是有理数，首先明确正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，即边长是面积的算术平方根。接下来只需要分别计算每个选项中正方形的边长，再根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数）判断即可，若边长开平方后不能得到整数或分数，就不是有理数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 面积为9的正方形，边长=√9=3，3是整数，属于有理数，不符合题意；
B. 面积为49的正方形，边长=√49=7，7是整数，属于有理数，不符合题意；
C. 面积为18的正方形，边长=√18，不存在整数或分数的平方等于18，因此√18不是有理数，符合题意；
D. 面积为25的正方形，边长=√25=5，5是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根计算、有理数的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，将几何图形的面积计算和数的分类结合考查，只要熟练掌握算术平方根的计算方法和有理数的定义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断正方形的边长是不是有理数，首先明确正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，即边长是面积的算术平方根。接下来只需要分别计算每个选项中正方形的边长，再根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数）判断即可，若边长开平方后不能得到整数或分数，就不是有理数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 面积为9的正方形，边长=√9=3，3是整数，属于有理数，不符合题意；
B. 面积为49的正方形，边长=√49=7，7是整数，属于有理数，不符合题意；
C. 面积为18的正方形，边长=√18，不存在整数或分数的平方等于18，因此√18不是有理数，符合题意；
D. 面积为25的正方形，边长=√25=5，5是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根计算、有理数的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，将几何图形的面积计算和数的分类结合考查，只要熟练掌握算术平方根的计算方法和有理数的定义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.边长为4的正方形的对角线的长(
A.是整数
B.是分数
C.是有理数
D.不是有理数
D
)A.是整数
B.是分数
C.是有理数
D.不是有理数
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的对角线与相邻的两条边可构成直角三角形，因此可以用勾股定理计算对角线的长度；再根据有理数、无理数的定义判断对角线长度的所属类型，对应选项选出正确答案。
【解析】
设正方形的对角线长为$ x $，
∵ 正方形的边长为4，且正方形的相邻边与对角线构成直角三角形，
∴ 根据勾股定理可得：$ x^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 $，
解得$ x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $。
整数和分数统称为有理数，而$ \sqrt{2} $是无限不循环小数，属于无理数，因此$ 4\sqrt{2} $也不是有理数。
对照选项：A是整数、B是分数、C是有理数的说法均错误，D不是有理数的说法正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；有理数的概念；正方形的性质
【点评】
本题将几何图形性质和数的分类知识点结合考查，解题的关键是先正确运用勾股定理求出对角线的长度，再准确区分有理数和无理数的概念，属于对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的对角线与相邻的两条边可构成直角三角形，因此可以用勾股定理计算对角线的长度；再根据有理数、无理数的定义判断对角线长度的所属类型，对应选项选出正确答案。
【解析】
设正方形的对角线长为$ x $，
∵ 正方形的边长为4，且正方形的相邻边与对角线构成直角三角形，
∴ 根据勾股定理可得：$ x^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 $，
解得$ x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $。
整数和分数统称为有理数，而$ \sqrt{2} $是无限不循环小数，属于无理数，因此$ 4\sqrt{2} $也不是有理数。
对照选项：A是整数、B是分数、C是有理数的说法均错误，D不是有理数的说法正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；有理数的概念；正方形的性质
【点评】
本题将几何图形性质和数的分类知识点结合考查，解题的关键是先正确运用勾股定理求出对角线的长度，再准确区分有理数和无理数的概念，属于对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
4. 下列实数中,不是有理数的是(
A.$-3$
B.$0.1$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\sqrt{2}$
D
)A.$-3$
B.$0.1$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\sqrt{2}$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个数不是有理数，首先需要明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，都属于有理数；而无限不循环小数是无理数，不属于有理数。解题时我们只需要逐个分析每个选项所属的数的类型，找到不属于有理数的选项即可。
【解析】
首先回忆有理数的判定规则：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数，包括有限小数、无限循环小数）都属于有理数，无限不循环小数为无理数，不属于有理数。
选项A：$-3$是负整数，属于整数范畴，是有理数，不符合题意；
选项B：$0.1$是有限小数，可化为$\frac{1}{10}$，属于分数范畴，是有理数，不符合题意；
选项C：$\frac{5}{9}$是分数，属于有理数，不符合题意；
选项D：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数的概念；无理数的识别
【点评】
本题考查有理数与无理数的区分，属于基础题型，只要牢记有理数的包含范围，掌握常见的无理数类型就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个数不是有理数，首先需要明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，都属于有理数；而无限不循环小数是无理数，不属于有理数。解题时我们只需要逐个分析每个选项所属的数的类型，找到不属于有理数的选项即可。
【解析】
首先回忆有理数的判定规则：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数，包括有限小数、无限循环小数）都属于有理数，无限不循环小数为无理数，不属于有理数。
选项A：$-3$是负整数，属于整数范畴，是有理数，不符合题意；
选项B：$0.1$是有限小数，可化为$\frac{1}{10}$，属于分数范畴，是有理数，不符合题意；
选项C：$\frac{5}{9}$是分数，属于有理数，不符合题意；
选项D：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数的概念；无理数的识别
【点评】
本题考查有理数与无理数的区分，属于基础题型，只要牢记有理数的包含范围，掌握常见的无理数类型就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
5.一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数
4
与5
之间。答案
5. 4 5
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系：正方形面积等于边长的平方，因此边长是面积的算术平方根，本题中边长为√20。接下来估算√20的大小，只需找到两个相邻的正整数，使得它们的平方分别小于20和大于20，即可确定边长所在的整数范围。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=20$，因此$a=\sqrt{20}$。
计算相邻正整数的平方：
$4^2=16$，$5^2=25$，
因为$16＜20＜25$，对三个正数同时开算术平方根可得：
$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$。
因此正方形的边长在整数4与5之间。
【答案】
4；5
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查无理数的估算思路，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握常见整数的平方值能提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系：正方形面积等于边长的平方，因此边长是面积的算术平方根，本题中边长为√20。接下来估算√20的大小，只需找到两个相邻的正整数，使得它们的平方分别小于20和大于20，即可确定边长所在的整数范围。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=20$，因此$a=\sqrt{20}$。
计算相邻正整数的平方：
$4^2=16$，$5^2=25$，
因为$16＜20＜25$，对三个正数同时开算术平方根可得：
$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$。
因此正方形的边长在整数4与5之间。
【答案】
4；5
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查无理数的估算思路，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握常见整数的平方值能提升解题速度。
【难度系数】
0.8
6.把下列各数分别填入相应的集合中：
$-4,0,\frac{22}{7},2025,+1.88,0.101001001···$(相邻两个1之间0的个数逐次加1),$-2.33$。
(1)正数集合：$\{\quad···\quad\}$
(2)负数集合：$\{\quad···\quad\}$
(3)整数集合：$\{\quad···\quad\}$
(4)分数集合：$\{\quad···\quad\}$
$-4,0,\frac{22}{7},2025,+1.88,0.101001001···$(相邻两个1之间0的个数逐次加1),$-2.33$。
(1)正数集合：$\{\quad···\quad\}$
(2)负数集合：$\{\quad···\quad\}$
(3)整数集合：$\{\quad···\quad\}$
(4)分数集合：$\{\quad···\quad\}$
答案
6. 解:(1)正数集合：
$\{\frac{22}{7},2\ 025,+1.88,0.101\ 001\ 000\ 1···,···\}$；
(2)负数集合：$\{-4,-2.33,···\}$；
(3)整数集合：$\{-4,0,2\ 025,···\}$；
(4)分数集合：$\{\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$。
$\{\frac{22}{7},2\ 025,+1.88,0.101\ 001\ 000\ 1···,···\}$；
(2)负数集合：$\{-4,-2.33,···\}$；
(3)整数集合：$\{-4,0,2\ 025,···\}$；
(4)分数集合：$\{\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确各类数的定义：正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数；整数包含正整数、0、负整数三类；分数包含正分数、负分数两类，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于分数范畴。接下来逐个分析题干给出的7个数，按照定义对应填入相应的集合即可，注意不要漏填、错填。
【解析】
我们逐个分析每个数的属性：
1. $-4$：小于0，属于负数，同时是负整数，也属于整数集合；
2. $0$：既不是正数也不是负数，属于整数集合；
3. $\frac{22}{7}$：大于0，是正分数，属于正数集合、分数集合；
4. $2025$：大于0，是正整数，属于正数集合、整数集合；
5. $+1.88$：大于0，是正的有限小数，属于正数集合、分数集合；
6. $0.1010010001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）：大于0，属于正数集合，不属于分数和整数范畴；
7. $-2.33$：小于0，是负的有限小数，属于负数集合、分数集合。
按分类要求将数填入对应集合即可。
【答案】
(1)正数集合：$\{\frac{22}{7},2025,+1.88,0.1010010001···,···\}$；
(2)负数集合：$\{-4,-2.33,···\}$；
(3)整数集合：$\{-4,0,2025,···\}$；
(4)分数集合：$\{\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$。
【知识点】
有理数的分类；正负数识别；整数与分数定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握各类数的定义，需要特别注意0既不属于正数也不属于负数，无限不循环小数不属于分数，归类时要逐一核对避免漏错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确各类数的定义：正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数；整数包含正整数、0、负整数三类；分数包含正分数、负分数两类，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于分数范畴。接下来逐个分析题干给出的7个数，按照定义对应填入相应的集合即可，注意不要漏填、错填。
【解析】
我们逐个分析每个数的属性：
1. $-4$：小于0，属于负数，同时是负整数，也属于整数集合；
2. $0$：既不是正数也不是负数，属于整数集合；
3. $\frac{22}{7}$：大于0，是正分数，属于正数集合、分数集合；
4. $2025$：大于0，是正整数，属于正数集合、整数集合；
5. $+1.88$：大于0，是正的有限小数，属于正数集合、分数集合；
6. $0.1010010001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）：大于0，属于正数集合，不属于分数和整数范畴；
7. $-2.33$：小于0，是负的有限小数，属于负数集合、分数集合。
按分类要求将数填入对应集合即可。
【答案】
(1)正数集合：$\{\frac{22}{7},2025,+1.88,0.1010010001···,···\}$；
(2)负数集合：$\{-4,-2.33,···\}$；
(3)整数集合：$\{-4,0,2025,···\}$；
(4)分数集合：$\{\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$。
【知识点】
有理数的分类；正负数识别；整数与分数定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握各类数的定义，需要特别注意0既不属于正数也不属于负数，无限不循环小数不属于分数，归类时要逐一核对避免漏错。
【难度系数】
0.8
7.如图，在等腰$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$BC=6$，底边$BC$的高为$h$，$h$可能是整数吗？可能是分数吗？为什么？
答案
7. 解:$h$既不是整数,也不是分数,理由略。
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形三线合一的性质，求出底边一半的长度，再在直角三角形中借助勾股定理算出高h的平方，接下来先判断h的取值范围确定它是否为整数，再结合有理数（整数、分数都属于有理数）的平方的特征，判断h是否为分数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一，D为BC的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，由勾股定理得：
$AB^2 = BD^2 + h^2$
∴$h^2 = AB^2 - BD^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$。
①判断h是否为整数：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，且h＞0，
∴$2＜h＜3$，介于2和3之间不存在整数，因此h不可能是整数。
②判断h是否为分数：
整数和分数统称为有理数，有理数的平方仍是整数或分数，不存在分数的平方等于7，因此h不可能是分数。
【答案】
h既不可能是整数，也不可能是分数。
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，有理数的概念
【点评】
本题将几何计算和数的分类知识相结合，解题的核心是先通过几何运算得到高的平方值，再结合有理数的特征进行判断，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等腰三角形三线合一的性质，求出底边一半的长度，再在直角三角形中借助勾股定理算出高h的平方，接下来先判断h的取值范围确定它是否为整数，再结合有理数（整数、分数都属于有理数）的平方的特征，判断h是否为分数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一，D为BC的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，由勾股定理得：
$AB^2 = BD^2 + h^2$
∴$h^2 = AB^2 - BD^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$。
①判断h是否为整数：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，且h＞0，
∴$2＜h＜3$，介于2和3之间不存在整数，因此h不可能是整数。
②判断h是否为分数：
整数和分数统称为有理数，有理数的平方仍是整数或分数，不存在分数的平方等于7，因此h不可能是分数。
【答案】
h既不可能是整数，也不可能是分数。
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，有理数的概念
【点评】
本题将几何计算和数的分类知识相结合，解题的核心是先通过几何运算得到高的平方值，再结合有理数的特征进行判断，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为2,任意连接这些小正方形的两个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段。
答案
解：
两条长度是有理数的线段示例：
1. 任意一个小正方形的边，长度为2，是有理数；
2. 沿网格边连接4×4网格最左侧上下两个顶点的线段，长度为$4×2=8$，是有理数。
三条长度不是有理数的线段示例：
1. 连接任意一个小正方形的对角线，由勾股定理得线段长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，不是有理数；
2. 连接横向水平间隔1格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，线段长为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，不是有理数；
3. 连接横向水平间隔2格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，线段长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，不是有理数。
注：本题答案不唯一，举出符合要求的线段即可。
两条长度是有理数的线段示例：
1. 任意一个小正方形的边，长度为2，是有理数；
2. 沿网格边连接4×4网格最左侧上下两个顶点的线段，长度为$4×2=8$，是有理数。
三条长度不是有理数的线段示例：
1. 连接任意一个小正方形的对角线，由勾股定理得线段长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，不是有理数；
2. 连接横向水平间隔1格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，线段长为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，不是有理数；
3. 连接横向水平间隔2格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，线段长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，不是有理数。
注：本题答案不唯一，举出符合要求的线段即可。
解析
【分析】
解题时首先明确有理数的定义（整数和分数统称为有理数），要找长度为有理数的线段，优先考虑与网格线重合的线段，这类线段长度是小正方形边长2的整数倍，均为整数，属于有理数；要找长度不是有理数的线段，可找斜向线段，借助勾股定理计算线段长度：将斜向线段作为直角三角形的斜边，直角边分别为横向、纵向的间隔长度，若计算出的斜边长度是开方开不尽的数，就属于无理数，即长度不是有理数，据此举例即可，本题答案不唯一。
【解析】
长度是有理数的线段示例：
1. 任意一个小正方形的边，长度为2，2是整数，属于有理数；
2. 沿网格边连接4×4网格最左侧上下两个顶点的线段，总共有4个小格，长度为$4×2=8$，8是整数，属于有理数。
长度不是有理数的线段示例：
1. 连接任意一个小正方形的对角线，将其看作直角边均为2的直角三角形的斜边，由勾股定理得线段长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是开方开不尽的数，不属于有理数；
2. 连接横向水平间隔1格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，对应直角边长度分别为2和4，由勾股定理得线段长为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，不属于有理数；
3. 连接横向水平间隔2格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，对应直角边长度均为4，由勾股定理得线段长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，不属于有理数。
注：本题答案不唯一，举出符合要求的线段即可。
【答案】
两条长度是有理数的线段示例：①小正方形的边，长度为2；②4×4网格最左侧上下两个顶点的连线，长度为8。
三条长度不是有理数的线段示例：①小正方形的对角线，长度为$2\sqrt{2}$；②横向间隔1格、纵向间隔2格的两点连线，长度为$2\sqrt{5}$；③横向间隔2格、纵向间隔2格的两点连线，长度为$4\sqrt{2}$。（答案不唯一）
【知识点】
勾股定理；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题为开放性题目，结合网格场景考查勾股定理的应用和有理数、无理数的区分，难度不高，能够锻炼学生对知识的灵活运用能力，只要掌握网格内线段长度的计算方法，明确有理数和无理数的概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确有理数的定义（整数和分数统称为有理数），要找长度为有理数的线段，优先考虑与网格线重合的线段，这类线段长度是小正方形边长2的整数倍，均为整数，属于有理数；要找长度不是有理数的线段，可找斜向线段，借助勾股定理计算线段长度：将斜向线段作为直角三角形的斜边，直角边分别为横向、纵向的间隔长度，若计算出的斜边长度是开方开不尽的数，就属于无理数，即长度不是有理数，据此举例即可，本题答案不唯一。
【解析】
长度是有理数的线段示例：
1. 任意一个小正方形的边，长度为2，2是整数，属于有理数；
2. 沿网格边连接4×4网格最左侧上下两个顶点的线段，总共有4个小格，长度为$4×2=8$，8是整数，属于有理数。
长度不是有理数的线段示例：
1. 连接任意一个小正方形的对角线，将其看作直角边均为2的直角三角形的斜边，由勾股定理得线段长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是开方开不尽的数，不属于有理数；
2. 连接横向水平间隔1格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，对应直角边长度分别为2和4，由勾股定理得线段长为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，不属于有理数；
3. 连接横向水平间隔2格、纵向竖直间隔2格的两个顶点，对应直角边长度均为4，由勾股定理得线段长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，不属于有理数。
注：本题答案不唯一，举出符合要求的线段即可。
【答案】
两条长度是有理数的线段示例：①小正方形的边，长度为2；②4×4网格最左侧上下两个顶点的连线，长度为8。
三条长度不是有理数的线段示例：①小正方形的对角线，长度为$2\sqrt{2}$；②横向间隔1格、纵向间隔2格的两点连线，长度为$2\sqrt{5}$；③横向间隔2格、纵向间隔2格的两点连线，长度为$4\sqrt{2}$。（答案不唯一）
【知识点】
勾股定理；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题为开放性题目，结合网格场景考查勾股定理的应用和有理数、无理数的区分，难度不高，能够锻炼学生对知识的灵活运用能力，只要掌握网格内线段长度的计算方法，明确有理数和无理数的概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9.同一个长方形的边和对角线的长度可能都是整数吗？为什么？
答案
9. 解:可能都是整数,理由如下：
设长方形的边长分别为a和b,对角线的长度为c。
根据勾股定理得
$c^2=a^2+b^2$,
所以当a,b都是整数,且$a^2+b^2$的和是完全平方数时,对角线的长度也是整数。
设长方形的边长分别为a和b,对角线的长度为c。
根据勾股定理得
$c^2=a^2+b^2$,
所以当a,b都是整数,且$a^2+b^2$的和是完全平方数时,对角线的长度也是整数。
解析
【分析】
首先思考长方形的基本性质：长方形的四个内角都是直角，因此相邻的两条边和对角线恰好可以组成直角三角形，两条边为直角边，对角线为斜边，自然可以联系勾股定理建立三者的数量关系。接下来问题转化为：是否存在三个正整数满足勾股定理的等式，我们熟知的勾股数（如3、4、5）就满足这个条件，因此可以判断结论是可能的，再结合勾股定理清晰说明理由即可。
【解析】
解：可能都是整数，理由如下：
设长方形的边长分别为a和b，对角线的长度为c。
因为长方形的内角为直角，所以a、b、c符合直角三角形的三边关系，根据勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2$
当a、b都取整数值，且$a^2+b^2$的和是完全平方数时，c的数值也为整数。
例如取a=3，b=4，可得$c^2=3^2+4^2=25$，即c=5，此时边长3、4和对角线5均为整数，满足要求。
【答案】
可能都是整数，理由如下：设长方形的边长分别为a和b，对角线的长度为c。根据勾股定理得$c^2=a^2+b^2$，所以当a,b都是整数，且$a^2+b^2$的和是完全平方数时，对角线的长度也是整数。
【知识点】
勾股定理、长方形的性质、完全平方数
【点评】
本题结合几何图形特征与整数运算知识，考查对勾股定理的灵活运用能力，解题核心是建立长方形边长和对角线的数量关系，引导学生建立数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
首先思考长方形的基本性质：长方形的四个内角都是直角，因此相邻的两条边和对角线恰好可以组成直角三角形，两条边为直角边，对角线为斜边，自然可以联系勾股定理建立三者的数量关系。接下来问题转化为：是否存在三个正整数满足勾股定理的等式，我们熟知的勾股数（如3、4、5）就满足这个条件，因此可以判断结论是可能的，再结合勾股定理清晰说明理由即可。
【解析】
解：可能都是整数，理由如下：
设长方形的边长分别为a和b，对角线的长度为c。
因为长方形的内角为直角，所以a、b、c符合直角三角形的三边关系，根据勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2$
当a、b都取整数值，且$a^2+b^2$的和是完全平方数时，c的数值也为整数。
例如取a=3，b=4，可得$c^2=3^2+4^2=25$，即c=5，此时边长3、4和对角线5均为整数，满足要求。
【答案】
可能都是整数，理由如下：设长方形的边长分别为a和b，对角线的长度为c。根据勾股定理得$c^2=a^2+b^2$，所以当a,b都是整数，且$a^2+b^2$的和是完全平方数时，对角线的长度也是整数。
【知识点】
勾股定理、长方形的性质、完全平方数
【点评】
本题结合几何图形特征与整数运算知识，考查对勾股定理的灵活运用能力，解题核心是建立长方形边长和对角线的数量关系，引导学生建立数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
10.若一个正方形的面积增加9 cm²，则与一边长为4 cm的正方形的面积相等，求原正方形的面积，并判断其边长是不是有理数。
答案
10. 解:原正方形的面积是$4^2-9=7(\mathrm{cm}^2)$,其边长不是有理数。
解析
【分析】
解题时首先从题目给出的等量关系入手：原正方形面积增加9cm²后等于边长为4cm的正方形面积。第一步先计算边长为4cm的正方形的面积，再用该面积减去9就能得到原正方形的面积；接下来根据正方形边长是面积的算术平方根求出原正方形的边长，最后结合有理数的定义判断边长是否为有理数即可。
【解析】
解：首先计算边长为4cm的正方形的面积：
$4^2=16(\mathrm{cm}^2)$
根据题意，原正方形的面积为：
$16-9=7(\mathrm{cm}^2)$
正方形的边长为面积的算术平方根，因此原正方形的边长为$\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
整数和分数统称为有理数，$\sqrt{7}$是无限不循环小数，既不属于整数也不属于分数，因此它不是有理数。
【答案】
原正方形的面积是$7\mathrm{cm}^2$，其边长不是有理数。
【知识点】
正方形面积计算；有理数的概念；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是找准题干中的等量关系求出原正方形的面积，再结合算术平方根的性质和有理数的定义判断边长的属性，注重对基础概念和简单等量运算的考察。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目给出的等量关系入手：原正方形面积增加9cm²后等于边长为4cm的正方形面积。第一步先计算边长为4cm的正方形的面积，再用该面积减去9就能得到原正方形的面积；接下来根据正方形边长是面积的算术平方根求出原正方形的边长，最后结合有理数的定义判断边长是否为有理数即可。
【解析】
解：首先计算边长为4cm的正方形的面积：
$4^2=16(\mathrm{cm}^2)$
根据题意，原正方形的面积为：
$16-9=7(\mathrm{cm}^2)$
正方形的边长为面积的算术平方根，因此原正方形的边长为$\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
整数和分数统称为有理数，$\sqrt{7}$是无限不循环小数，既不属于整数也不属于分数，因此它不是有理数。
【答案】
原正方形的面积是$7\mathrm{cm}^2$，其边长不是有理数。
【知识点】
正方形面积计算；有理数的概念；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是找准题干中的等量关系求出原正方形的面积，再结合算术平方根的性质和有理数的定义判断边长的属性，注重对基础概念和简单等量运算的考察。
【难度系数】
0.8
