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例1 如图,已知直角三角形两条直角边的长分别为1和2。
(1)以斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为$b$,则$b$满足什么条件?
(3)$b$是有理数吗?说说你的理由。
[点拨] 在等式$b^2=5$中,$b$既不是整数也不是分数,所以$b$不是有理数。
[解] (1)在直角三角形中,由勾股定理得
斜边$^2=1^2+2^2=5$,
所以以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5。
(2)$b^2=5$。
(3)$b$不是有理数。因为$1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,···$,整数的平方越来越大,所以$b$应在2和3之间,故$b$不可能是整数。因为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4},\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9},\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9},···$,两个相同的分数的乘积为分数,不可能是5,所以$b$不可能是分数。因为$b$既不是整数也不是分数,所以$b$不是有理数。
|变式训练1| 体积为3的正方体的棱长可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?请说明你的理由。
(1)以斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为$b$,则$b$满足什么条件?
(3)$b$是有理数吗?说说你的理由。
[点拨] 在等式$b^2=5$中,$b$既不是整数也不是分数,所以$b$不是有理数。
[解] (1)在直角三角形中,由勾股定理得
斜边$^2=1^2+2^2=5$,
所以以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5。
(2)$b^2=5$。
(3)$b$不是有理数。因为$1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,···$,整数的平方越来越大,所以$b$应在2和3之间,故$b$不可能是整数。因为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4},\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9},\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9},···$,两个相同的分数的乘积为分数,不可能是5,所以$b$不可能是分数。因为$b$既不是整数也不是分数,所以$b$不是有理数。
|变式训练1| 体积为3的正方体的棱长可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?请说明你的理由。
答案
解:设正方体的棱长为a。
因为正方体的体积为3,
所以$a^3=3$,
故体积为3的正方体的边长不可能是整数、分数、有理数。
因为正方体的体积为3,
所以$a^3=3$,
故体积为3的正方体的边长不可能是整数、分数、有理数。
解析
【分析】
解题首先回忆正方体体积公式：体积=棱长×棱长×棱长，我们先设棱长为a，结合体积为3得到关系式$a^3=3$。接下来按要求依次判断：①判断是否为整数：计算相邻整数的立方，看3是否落在两个相邻整数的立方之间，即可判断是否存在整数满足条件；②判断是否为分数：根据分数乘方的性质，分数的立方仍然是分数，不可能等于整数3；③判断是否为有理数：有理数仅包含整数和分数两类，若前两类都不满足，即可判断不是有理数。
【解析】
解：设正方体的棱长为$a$，
根据正方体体积公式可得：$a^3 = 3$。
1. 判断是否为整数：
因为$1^3=1$，$2^3=8$，且$1＜3＜8$，所以$1＜a＜2$，不存在整数$a$满足$a^3=3$，因此棱长不可能是整数。
2. 判断是否为分数：
任意分数的立方仍然是分数，不可能等于整数3，因此棱长不可能是分数。
3. 判断是否为有理数：
有理数只包括整数和分数，由于棱长既不是整数也不是分数，因此它不可能是有理数。
【答案】
设正方体的棱长为$a$。因为正方体的体积为3，所以$a^3=3$，故体积为3的正方体的边长不可能是整数、分数、有理数。
【知识点】
正方体体积计算；有理数的定义；立方运算
【点评】
本题结合正方体体积公式考查有理数的分类，解题时紧扣有理数仅包含整数和分数的定义，分别对两类情况逐一验证即可得出结论，能帮助大家理解无理数的存在性。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆正方体体积公式：体积=棱长×棱长×棱长，我们先设棱长为a，结合体积为3得到关系式$a^3=3$。接下来按要求依次判断：①判断是否为整数：计算相邻整数的立方，看3是否落在两个相邻整数的立方之间，即可判断是否存在整数满足条件；②判断是否为分数：根据分数乘方的性质，分数的立方仍然是分数，不可能等于整数3；③判断是否为有理数：有理数仅包含整数和分数两类，若前两类都不满足，即可判断不是有理数。
【解析】
解：设正方体的棱长为$a$，
根据正方体体积公式可得：$a^3 = 3$。
1. 判断是否为整数：
因为$1^3=1$，$2^3=8$，且$1＜3＜8$，所以$1＜a＜2$，不存在整数$a$满足$a^3=3$，因此棱长不可能是整数。
2. 判断是否为分数：
任意分数的立方仍然是分数，不可能等于整数3，因此棱长不可能是分数。
3. 判断是否为有理数：
有理数只包括整数和分数，由于棱长既不是整数也不是分数，因此它不可能是有理数。
【答案】
设正方体的棱长为$a$。因为正方体的体积为3，所以$a^3=3$，故体积为3的正方体的边长不可能是整数、分数、有理数。
【知识点】
正方体体积计算；有理数的定义；立方运算
【点评】
本题结合正方体体积公式考查有理数的分类，解题时紧扣有理数仅包含整数和分数的定义，分别对两类情况逐一验证即可得出结论，能帮助大家理解无理数的存在性。
【难度系数】
0.7
1.若$x^2=8$,则x（
A.是分数
B.是整数
C.是有理数
D.是无理数
D
）A.是分数
B.是整数
C.是有理数
D.是无理数
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先根据平方根的定义求出x的取值，再结合整数、分数、有理数、无理数的概念依次对各选项进行判断即可。首先，已知x的平方等于8，所以x是8的平方根，化简后可得x为±2√2；接下来回忆各类数的定义：整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数，而√2是开方开不尽的数，属于无理数，由此即可判断各选项正误。
【解析】
解：
∵$x^2=8$
∴$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
对各选项判断如下：
A. 分数属于有理数，可表示为两个整数的比值，$±2\sqrt{2}$不能表示为两个整数的比，不是分数，该选项错误；
B. 整数是正整数、零、负整数的统称，$±2\sqrt{2}$不属于整数，该选项错误；
C. 有理数是整数和分数的统称，$±2\sqrt{2}$既不是整数也不是分数，不属于有理数，该选项错误；
D. 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{2}$是开方开不尽的无限不循环小数，因此$±2\sqrt{2}$都是无理数，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题核心考查平方根的运算与实数的分类，需准确掌握不同类型数的定义，记住开方开不尽的数属于无理数这一常见类型，即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据平方根的定义求出x的取值，再结合整数、分数、有理数、无理数的概念依次对各选项进行判断即可。首先，已知x的平方等于8，所以x是8的平方根，化简后可得x为±2√2；接下来回忆各类数的定义：整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数，而√2是开方开不尽的数，属于无理数，由此即可判断各选项正误。
【解析】
解：
∵$x^2=8$
∴$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
对各选项判断如下：
A. 分数属于有理数，可表示为两个整数的比值，$±2\sqrt{2}$不能表示为两个整数的比，不是分数，该选项错误；
B. 整数是正整数、零、负整数的统称，$±2\sqrt{2}$不属于整数，该选项错误；
C. 有理数是整数和分数的统称，$±2\sqrt{2}$既不是整数也不是分数，不属于有理数，该选项错误；
D. 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{2}$是开方开不尽的无限不循环小数，因此$±2\sqrt{2}$都是无理数，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题核心考查平方根的运算与实数的分类，需准确掌握不同类型数的定义，记住开方开不尽的数属于无理数这一常见类型，即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
