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例1 在 4.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1),－0.333…,$\frac{2π}{3}$,$\frac{5}{2}$,3.141 5,2.101 010 10…(相邻两个1之间有1个0)中,无理数有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
[点拨] 常见的无理数:①无限不循环小数;②含π的数,如$2π$,$3+\frac{2}{π}$等;③无限有规律但不循环的数,如4.232 332 333 2…等。
[解] －0.333…是无限循环小数,是有理
数;$\frac{5}{2}$是分数,是有理数;3.141 5是有限小数,是有理数;2.101 010 10…(相邻两个1之间有1个0)是无限循环小数,是有理数;4.303 003 000 3…,$\frac{2π}{3}$是无限不循环小数,都是无理数,故选A。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
[点拨] 常见的无理数:①无限不循环小数;②含π的数,如$2π$,$3+\frac{2}{π}$等;③无限有规律但不循环的数,如4.232 332 333 2…等。
[解] －0.333…是无限循环小数,是有理
数;$\frac{5}{2}$是分数,是有理数;3.141 5是有限小数,是有理数;2.101 010 10…(相邻两个1之间有1个0)是无限循环小数,是有理数;4.303 003 000 3…,$\frac{2π}{3}$是无限不循环小数,都是无理数,故选A。
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确无理数、有理数的定义及常见类别，核心思路是逐个判断每个数的属性，排除有理数后统计无理数的数量即可。判断时可对照三类常见无理数：①无限不循环小数；②含π的数；③无限有规律但不循环的数，不属于这三类的均为有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数）。
【解析】
我们逐个分析所给的数：
1. 4.303 003 000 3…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）：属于无限有规律但不循环的小数，是无理数；
2. －0.333…：是无限循环小数，属于有理数；
3. $\frac{2π}{3}$：π是无限不循环小数，因此含π的该数是无理数；
4. $\frac{5}{2}$：属于分数，是有理数；
5. 3.141 5：是有限小数，属于有理数；
6. 2.101 010 10…（相邻两个1之间有1个0）：循环节为10，是无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题考查实数中有理数和无理数的区分，解题关键是熟记常见无理数的三类形式，易错点是误将无限循环小数、有限小数、分数判定为无理数，需注意含π的代数式（π不作分母消去的情况）一般都是无理数。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确无理数、有理数的定义及常见类别，核心思路是逐个判断每个数的属性，排除有理数后统计无理数的数量即可。判断时可对照三类常见无理数：①无限不循环小数；②含π的数；③无限有规律但不循环的数，不属于这三类的均为有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数）。
【解析】
我们逐个分析所给的数：
1. 4.303 003 000 3…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）：属于无限有规律但不循环的小数，是无理数；
2. －0.333…：是无限循环小数，属于有理数；
3. $\frac{2π}{3}$：π是无限不循环小数，因此含π的该数是无理数；
4. $\frac{5}{2}$：属于分数，是有理数；
5. 3.141 5：是有限小数，属于有理数；
6. 2.101 010 10…（相邻两个1之间有1个0）：循环节为10，是无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题考查实数中有理数和无理数的区分，解题关键是熟记常见无理数的三类形式，易错点是误将无限循环小数、有限小数、分数判定为无理数，需注意含π的代数式（π不作分母消去的情况）一般都是无理数。
【难度系数】
0.8
变式训练1 | 已知下列一组数：3.14，−π，3.232 332 333 2…（相邻两个2之间3的个数逐次加1），$\frac{15}{4}$，0.$\dot{2}$，其中无理数的个数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时先明确有理数的范围（整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数），再逐个判断给出的数是否属于无限不循环小数，统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. 3.14是有限小数，属于有理数；
2. $-π$：$π$是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. 3.232 332 333 2…（相邻两个2之间3的个数逐次加1）：是无限小数，且没有循环节，属于无限不循环小数，是无理数；
4. $\frac{15}{4}$是分数，所有分数都属于有理数；
5. $0.\dot{2}$是无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数有$-π$、3.232 332 333 2…共2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确区分有理数和无理数，注意不要将有排列规律但不循环的无限小数误认为是循环小数，含$π$的数通常都是无理数。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时先明确有理数的范围（整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数），再逐个判断给出的数是否属于无限不循环小数，统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. 3.14是有限小数，属于有理数；
2. $-π$：$π$是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. 3.232 332 333 2…（相邻两个2之间3的个数逐次加1）：是无限小数，且没有循环节，属于无限不循环小数，是无理数；
4. $\frac{15}{4}$是分数，所有分数都属于有理数；
5. $0.\dot{2}$是无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数有$-π$、3.232 332 333 2…共2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确区分有理数和无理数，注意不要将有排列规律但不循环的无限小数误认为是循环小数，含$π$的数通常都是无理数。
【难度系数】
0.8
例2 小涛同学家的客厅是面积为$28\ \mathrm{m}^2$的正方形，则这个正方形客厅的边长$x$是不是有理数？估计$x$的值（结果精确到十分位）。
[点拨] 根据无理数的定义及估算的方法可得答案。
[解] 因为$x^2=28$，
所以这个正方形客厅的边长$x$不是有理数。
$x\approx5.3$。
[点拨] 根据无理数的定义及估算的方法可得答案。
[解] 因为$x^2=28$，
所以这个正方形客厅的边长$x$不是有理数。
$x\approx5.3$。
答案
解：
由正方形面积公式可得$x^2=28$，不存在有理数的平方等于28，因此这个正方形客厅的边长$x$不是有理数。
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，
$\therefore 5＜x＜6$。
$\because 5.2^2=27.04$，$5.3^2=28.09$，
$\therefore 5.2＜x＜5.3$。
$\because 5.29^2=27.9841＜28$，
$\therefore x\approx5.3$。
答：这个正方形客厅的边长$x$不是有理数，精确到十分位时$x$的值约为$5.3\ \mathrm{m}$。
由正方形面积公式可得$x^2=28$，不存在有理数的平方等于28，因此这个正方形客厅的边长$x$不是有理数。
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，
$\therefore 5＜x＜6$。
$\because 5.2^2=27.04$，$5.3^2=28.09$，
$\therefore 5.2＜x＜5.3$。
$\because 5.29^2=27.9841＜28$，
$\therefore x\approx5.3$。
答：这个正方形客厅的边长$x$不是有理数，精确到十分位时$x$的值约为$5.3\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式推导出边长x满足的关系式$x^2=28$；接下来判断x是否为有理数：有理数包含整数和分数，验证可知不存在有理数的平方等于28，即可判定x不是有理数；最后估算x的数值，采用夹逼法，先确定x所在的整数范围，再逐步缩小范围到十分位区间，结合四舍五入规则得到符合精度要求的近似值。
【解析】
解：由正方形面积公式可得$x^2=28$，不存在有理数的平方等于28，因此这个正方形客厅的边长$x$不是有理数。
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，
$\therefore 5＜x＜6$。
$\because 5.2^2=27.04$，$5.3^2=28.09$，
$\therefore 5.2＜x＜5.3$。
$\because 5.29^2=27.9841＜28$，
$\therefore$ 精确到十分位时，$x\approx5.3$。
【答案】
这个正方形客厅的边长$x$不是有理数，精确到十分位时$x$的值约为$5.3\ \mathrm{m}$。
【知识点】
正方形面积计算；无理数的识别；无理数的估算
【点评】
本题结合生活实际考查无理数的判定与估算，核心是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，解题时要注意匹配题目要求的精度取近似值。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正方形面积公式推导出边长x满足的关系式$x^2=28$；接下来判断x是否为有理数：有理数包含整数和分数，验证可知不存在有理数的平方等于28，即可判定x不是有理数；最后估算x的数值，采用夹逼法，先确定x所在的整数范围，再逐步缩小范围到十分位区间，结合四舍五入规则得到符合精度要求的近似值。
【解析】
解：由正方形面积公式可得$x^2=28$，不存在有理数的平方等于28，因此这个正方形客厅的边长$x$不是有理数。
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，
$\therefore 5＜x＜6$。
$\because 5.2^2=27.04$，$5.3^2=28.09$，
$\therefore 5.2＜x＜5.3$。
$\because 5.29^2=27.9841＜28$，
$\therefore$ 精确到十分位时，$x\approx5.3$。
【答案】
这个正方形客厅的边长$x$不是有理数，精确到十分位时$x$的值约为$5.3\ \mathrm{m}$。
【知识点】
正方形面积计算；无理数的识别；无理数的估算
【点评】
本题结合生活实际考查无理数的判定与估算，核心是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，解题时要注意匹配题目要求的精度取近似值。
【难度系数】
0.8
| 变式训练2 | 如图，每个小正方形的边长均为1。
(1)阴影部分(正方形)的面积是多少？
(2)阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间？
(3)估计阴影部分(正方形)边长的值。(结果精确到百分位)
(1)阴影部分(正方形)的面积是多少？
(2)阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间？
(3)估计阴影部分(正方形)边长的值。(结果精确到百分位)
答案
(1)$S_{阴影}=2×2+4×\frac{1}{2}×1×3=4+6=10$。
(2)因为$9＜10＜16$，
所以$3^2＜10＜4^2$，
所以阴影部分(正方形)的边长在3与4之间。
(3)因为$3.161^2=9.991921,3.162^2=9.998244$，
$3.163^2=10.004569,9.998244＜10＜10.004569$，
所以$3.162^2＜10＜3.163^2$，
所以阴影部分(正方形)的边长约为3.16。
(2)因为$9＜10＜16$，
所以$3^2＜10＜4^2$，
所以阴影部分(正方形)的边长在3与4之间。
(3)因为$3.161^2=9.991921,3.162^2=9.998244$，
$3.163^2=10.004569,9.998244＜10＜10.004569$，
所以$3.162^2＜10＜3.163^2$，
所以阴影部分(正方形)的边长约为3.16。
解析
【分析】
(1) 求网格中阴影正方形的面积，直接计算边长较困难，可采用割补法：观察图形可知阴影部分可看作4个全等的直角三角形加中间小正方形，能快速算出面积；
(2) 已知正方形面积，边长是面积的算术平方根，即边长为$\sqrt{10}$，只需找到两个相邻整数，它们的平方分别小于10和大于10，即可确定边长的整数范围；
(3) 要把边长精确到百分位，需用夹逼法逐步计算接近$\sqrt{10}$的数的平方，直到确定千分位的数值，再按四舍五入规则得到精确到百分位的近似值。
【解析】
(1) 观察图形，阴影正方形周围的4个直角三角形全等，直角边长分别为1和3，中间小正方形的边长为$3-1=2$。
阴影部分面积 = 4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积
即$S_{阴影}=4×\frac{1}{2}×1×3 + 2×2=6+4=10$。
(2) 设阴影正方形的边长为$a(a＞0)$，由正方形面积公式得$a^2=10$。
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3^2＜a^2＜4^2$，即$3＜a＜4$，因此阴影正方形的边长在3与4之间。
(3) 要估算$a=\sqrt{10}$的大小，逐步计算：
$3.161^2=9.991921$，$3.162^2=9.998244$，$3.163^2=10.004569$
因为$9.998244＜10＜10.004569$，所以$3.162＜\sqrt{10}＜3.163$，精确到百分位时，根据四舍五入规则得$\sqrt{10}≈3.16$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) 阴影部分的边长在$\boxed{3}$和$\boxed{4}$之间
(3) 约为$\boxed{3.16}$
【知识点】
割补法求面积；算术平方根；无理数的估算
【点评】
本题结合网格图形，综合考查了面积计算和无理数估算的相关知识，核心是灵活运用割补法得到阴影面积，再通过夹逼法估算无理数的大小，有助于锻炼数形结合的思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求网格中阴影正方形的面积，直接计算边长较困难，可采用割补法：观察图形可知阴影部分可看作4个全等的直角三角形加中间小正方形，能快速算出面积；
(2) 已知正方形面积，边长是面积的算术平方根，即边长为$\sqrt{10}$，只需找到两个相邻整数，它们的平方分别小于10和大于10，即可确定边长的整数范围；
(3) 要把边长精确到百分位，需用夹逼法逐步计算接近$\sqrt{10}$的数的平方，直到确定千分位的数值，再按四舍五入规则得到精确到百分位的近似值。
【解析】
(1) 观察图形，阴影正方形周围的4个直角三角形全等，直角边长分别为1和3，中间小正方形的边长为$3-1=2$。
阴影部分面积 = 4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积
即$S_{阴影}=4×\frac{1}{2}×1×3 + 2×2=6+4=10$。
(2) 设阴影正方形的边长为$a(a＞0)$，由正方形面积公式得$a^2=10$。
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3^2＜a^2＜4^2$，即$3＜a＜4$，因此阴影正方形的边长在3与4之间。
(3) 要估算$a=\sqrt{10}$的大小，逐步计算：
$3.161^2=9.991921$，$3.162^2=9.998244$，$3.163^2=10.004569$
因为$9.998244＜10＜10.004569$，所以$3.162＜\sqrt{10}＜3.163$，精确到百分位时，根据四舍五入规则得$\sqrt{10}≈3.16$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) 阴影部分的边长在$\boxed{3}$和$\boxed{4}$之间
(3) 约为$\boxed{3.16}$
【知识点】
割补法求面积；算术平方根；无理数的估算
【点评】
本题结合网格图形，综合考查了面积计算和无理数估算的相关知识，核心是灵活运用割补法得到阴影面积，再通过夹逼法估算无理数的大小，有助于锻炼数形结合的思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
