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例1 观察、思考与验证。
(1)图(1)是一个重要公式的几何解释，请写出这个公式：；
(2)如图(2)，已知△ABC≌△CDE，∠B=∠D=90°，且点B,C,D在同一条直线上，试说明∠ACE=90°；
(3)伽菲尔德利用(1)中的公式和图(2)证明了勾股定理，请写出验证过程。
[点拨] (1)由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果。
(2)由全等三角形的性质可得∠BAC=∠DCE，再由角的互余关系可得∠ACB+∠DCE=90°，从而得出结论。
(3)先证明四边形ABDE是梯形，再由四边形ABDE面积的两种计算方法得出结论。
本题考查完全平方公式、全等三角形的性质，正方形面积、梯形面积的计算方法，熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键。
[解] (1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)因为△ABC≌△CDE，
所以∠BAC=∠DCE。
又因为∠ACB+∠BAC=90°，
所以∠ACB+∠DCE=90°，
所以∠ACE=90°。
(3)因为∠B=∠D=90°，
所以∠B+∠D=180°，
所以AB//DE，
所以四边形ABDE是梯形。
$S_{梯形ABDE}=S_{△ ABC}+S_{△ ACE}+S_{△ CDE}$，
即$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$，
整理得$a^2+b^2=c^2$。
(1)图(1)是一个重要公式的几何解释，请写出这个公式：；
(2)如图(2)，已知△ABC≌△CDE，∠B=∠D=90°，且点B,C,D在同一条直线上，试说明∠ACE=90°；
(3)伽菲尔德利用(1)中的公式和图(2)证明了勾股定理，请写出验证过程。
[点拨] (1)由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果。
(2)由全等三角形的性质可得∠BAC=∠DCE，再由角的互余关系可得∠ACB+∠DCE=90°，从而得出结论。
(3)先证明四边形ABDE是梯形，再由四边形ABDE面积的两种计算方法得出结论。
本题考查完全平方公式、全等三角形的性质，正方形面积、梯形面积的计算方法，熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键。
[解] (1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)因为△ABC≌△CDE，
所以∠BAC=∠DCE。
又因为∠ACB+∠BAC=90°，
所以∠ACB+∠DCE=90°，
所以∠ACE=90°。
(3)因为∠B=∠D=90°，
所以∠B+∠D=180°，
所以AB//DE，
所以四边形ABDE是梯形。
$S_{梯形ABDE}=S_{△ ABC}+S_{△ ACE}+S_{△ CDE}$，
即$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$，
整理得$a^2+b^2=c^2$。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2) $\because △ ABC ≌ △ CDE$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DCE$。
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ BAC = 90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = 90°$。
又$\because$ 点B,C,D在同一条直线上，
$\therefore ∠ ACE = 180° - (∠ ACB + ∠ DCE) = 90°$。
(3) $\because ∠ B = ∠ D = 90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ D = 180°$，
$\therefore AB // DE$，
$\therefore$ 四边形ABDE是梯形。
由图形面积的和差关系可得：
$S_{\mathrm{梯形}ABDE} = S_{△ ABC} + S_{△ ACE} + S_{△ CDE}$
代入对应图形的面积公式：
$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab$
利用(1)中的完全平方公式展开左边，化简得：
$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2：
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$
消去等式两边的$2ab$，整理得：
$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理验证成立。
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2) $\because △ ABC ≌ △ CDE$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DCE$。
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ BAC = 90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = 90°$。
又$\because$ 点B,C,D在同一条直线上，
$\therefore ∠ ACE = 180° - (∠ ACB + ∠ DCE) = 90°$。
(3) $\because ∠ B = ∠ D = 90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ D = 180°$，
$\therefore AB // DE$，
$\therefore$ 四边形ABDE是梯形。
由图形面积的和差关系可得：
$S_{\mathrm{梯形}ABDE} = S_{△ ABC} + S_{△ ACE} + S_{△ CDE}$
代入对应图形的面积公式：
$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab$
利用(1)中的完全平方公式展开左边，化简得：
$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2：
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$
消去等式两边的$2ab$，整理得：
$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理验证成立。
解析
【分析】
(1) 观察图(1)，大正方形边长为$a+b$，整体计算面积为$(a+b)^2$；分割计算时，大正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$宽为$b$的长方形组成，面积和为$a^2+2ab+b^2$，两种方式计算的面积相等，即可推出对应公式。
(2) 要证明$∠ ACE=90°$，先利用全等三角形对应角相等得$∠ BAC=∠ DCE$；再结合直角三角形两锐角互余，得$∠ ACB+∠ BAC=90°$，等量代换后得$∠ ACB+∠ DCE=90°$；最后根据$B、C、D$共线、平角为$180°$，用平角减去两角和即可求出$∠ ACE$的度数。
(3) 验证勾股定理时，先证明四边形$ABDE$是梯形：由$∠ B、∠ D$均为直角，同旁内角互补可得$AB// DE$，因此$ABDE$是直角梯形。再用两种方法计算梯形面积：一种直接用梯形面积公式计算，另一种是将梯形拆分为三个三角形计算面积和，令两个面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理结论。
【解析】
(1) 图(1)中大正方形的面积可表示为$(a+b)^2$，也可表示为四个小图形的面积和$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$，因此可得对应公式。
(2) $\because △ ABC ≌ △ CDE$，
$\therefore ∠BAC = ∠DCE$。
$\because ∠B=90°$，
$\therefore ∠ACB + ∠BAC = 90°$，
等量代换得$∠ACB + ∠DCE = 90°$。
又$\because$ 点$B,C,D$在同一条直线上，$∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠DCE) = 180°-90°=90°$。
(3) $\because ∠B = ∠D = 90°$，
$\therefore ∠B + ∠D = 180°$，
$\therefore AB // DE$，
$\therefore$ 四边形$ABDE$是直角梯形。
由面积和差关系得：$S_{\mathrm{梯形}ABDE} = S_{△ ABC} + S_{△ ACE} + S_{△ CDE}$，
代入各图形面积公式：
$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab$，
利用(1)的完全平方公式展开左边：$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，
等式两边同时乘2得：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，
消去两边的$2ab$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2) $\boldsymbol{∠ACE=90°}$，证明过程见解析
(3) 验证过程见解析，最终得$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$
【知识点】
完全平方公式，全等三角形的性质，勾股定理的证明
【点评】
本题以几何图形为载体，结合面积法验证代数公式与勾股定理，体现了数形结合的数学思想，既考查了基础公式、全等性质的掌握情况，也锻炼了用多种方法计算图形面积、推导结论的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图(1)，大正方形边长为$a+b$，整体计算面积为$(a+b)^2$；分割计算时，大正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$宽为$b$的长方形组成，面积和为$a^2+2ab+b^2$，两种方式计算的面积相等，即可推出对应公式。
(2) 要证明$∠ ACE=90°$，先利用全等三角形对应角相等得$∠ BAC=∠ DCE$；再结合直角三角形两锐角互余，得$∠ ACB+∠ BAC=90°$，等量代换后得$∠ ACB+∠ DCE=90°$；最后根据$B、C、D$共线、平角为$180°$，用平角减去两角和即可求出$∠ ACE$的度数。
(3) 验证勾股定理时，先证明四边形$ABDE$是梯形：由$∠ B、∠ D$均为直角，同旁内角互补可得$AB// DE$，因此$ABDE$是直角梯形。再用两种方法计算梯形面积：一种直接用梯形面积公式计算，另一种是将梯形拆分为三个三角形计算面积和，令两个面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理结论。
【解析】
(1) 图(1)中大正方形的面积可表示为$(a+b)^2$，也可表示为四个小图形的面积和$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$，因此可得对应公式。
(2) $\because △ ABC ≌ △ CDE$，
$\therefore ∠BAC = ∠DCE$。
$\because ∠B=90°$，
$\therefore ∠ACB + ∠BAC = 90°$，
等量代换得$∠ACB + ∠DCE = 90°$。
又$\because$ 点$B,C,D$在同一条直线上，$∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠DCE) = 180°-90°=90°$。
(3) $\because ∠B = ∠D = 90°$，
$\therefore ∠B + ∠D = 180°$，
$\therefore AB // DE$，
$\therefore$ 四边形$ABDE$是直角梯形。
由面积和差关系得：$S_{\mathrm{梯形}ABDE} = S_{△ ABC} + S_{△ ACE} + S_{△ CDE}$，
代入各图形面积公式：
$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab$，
利用(1)的完全平方公式展开左边：$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，
等式两边同时乘2得：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，
消去两边的$2ab$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2) $\boldsymbol{∠ACE=90°}$，证明过程见解析
(3) 验证过程见解析，最终得$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$
【知识点】
完全平方公式，全等三角形的性质，勾股定理的证明
【点评】
本题以几何图形为载体，结合面积法验证代数公式与勾股定理，体现了数形结合的数学思想，既考查了基础公式、全等性质的掌握情况，也锻炼了用多种方法计算图形面积、推导结论的能力。
【难度系数】
0.7
|变式训练1| 如图，用图(1)中四个完全一样的直角三角形可以拼成如图(2)所示的大正方形。
(1)请用含$a,b,c$的代数式表示大正方形的面积。
方法1：
方法2：
(2)结合(1)，利用图形的面积关系推导$a,b,c$之间满足的关系式。
(3)如果大正方形的面积是25，且$(a+b)^2=49$，求小正方形的面积。
(1)请用含$a,b,c$的代数式表示大正方形的面积。
方法1：
$(a-b)^2+4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$
；方法2：
$c^2$
。(2)结合(1)，利用图形的面积关系推导$a,b,c$之间满足的关系式。
(3)如果大正方形的面积是25，且$(a+b)^2=49$，求小正方形的面积。
答案
解:(1)方法 1:大正方形的面积=$(a-b)^2+4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$。方法 2:大正方形的面积=$c^2$。(2)因为大正方形的面积相等，所以$a^2+b^2=c^2$。(3)由(2)知$a^2+b^2=c^2$。因为$(a+b)^2=49$，所以$2ab=49-(a^2+b^2)=49-c^2=49-25=24$。所以小正方形的面积=$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$$=49-48=1$。
解析
【分析】
(1) 求大正方形面积可从两个角度思考：①拆分法：大正方形由1个边长为$(a-b)$的小正方形和4个直角边为$a、b$的直角三角形组成，分别计算各部分面积求和即可；②直接法：大正方形边长为直角三角形的斜边$c$，直接用正方形面积公式计算。
(2) 两种方法计算的是同一个大正方形的面积，因此结果相等，化简后即可得到$a、b、c$的关系式。
(3) 已知大正方形面积可得$c^2$的值，即$a^2+b^2$的值，结合$(a+b)^2=49$利用完全平方公式先求出$ab$的值，再对小正方形面积的表达式变形后代入计算即可。
【解析】
(1) 方法1：大正方形面积=中间小正方形面积+4个直角三角形的面积
小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此：
$S=(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$
方法2：大正方形边长为直角三角形的斜边$c$，因此面积为$S=c^2$。
(2) 由于两种方法表示的是同一个大正方形的面积，因此面积相等，可得：
$a^2 +b^2 = c^2$
(3) 由(2)的结论可知$a^2 +b^2 =c^2$，已知大正方形面积为25，因此$c^2=25$，即$a^2 +b^2=25$。
已知$(a+b)^2=49$，根据完全平方公式展开得：$(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2=49$
将$a^2 +b^2=25$代入上式，得$25 +2ab=49$，解得$2ab=24$，即$4ab=48$。
小正方形的面积为$(a-b)^2$，变形得$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$，代入数值计算：
$(a-b)^2=49 -48=1$
【答案】
(1) $\boxed{a^2 +b^2}$；$\boxed{c^2}$
(2) $\boxed{a^2 +b^2 =c^2}$
(3) $\boxed{1}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 面积法验证勾股定理
3. 代数式表示图形面积
【点评】
本题通过拼图的形式考查数形结合思想的应用，既需要掌握用不同形式表示图形面积的方法，又需要熟练运用完全平方公式进行代数变形计算，有助于加深对勾股定理推导过程的理解。
【难度系数】
0.7
(1) 求大正方形面积可从两个角度思考：①拆分法：大正方形由1个边长为$(a-b)$的小正方形和4个直角边为$a、b$的直角三角形组成，分别计算各部分面积求和即可；②直接法：大正方形边长为直角三角形的斜边$c$，直接用正方形面积公式计算。
(2) 两种方法计算的是同一个大正方形的面积，因此结果相等，化简后即可得到$a、b、c$的关系式。
(3) 已知大正方形面积可得$c^2$的值，即$a^2+b^2$的值，结合$(a+b)^2=49$利用完全平方公式先求出$ab$的值，再对小正方形面积的表达式变形后代入计算即可。
【解析】
(1) 方法1：大正方形面积=中间小正方形面积+4个直角三角形的面积
小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此：
$S=(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$
方法2：大正方形边长为直角三角形的斜边$c$，因此面积为$S=c^2$。
(2) 由于两种方法表示的是同一个大正方形的面积，因此面积相等，可得：
$a^2 +b^2 = c^2$
(3) 由(2)的结论可知$a^2 +b^2 =c^2$，已知大正方形面积为25，因此$c^2=25$，即$a^2 +b^2=25$。
已知$(a+b)^2=49$，根据完全平方公式展开得：$(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2=49$
将$a^2 +b^2=25$代入上式，得$25 +2ab=49$，解得$2ab=24$，即$4ab=48$。
小正方形的面积为$(a-b)^2$，变形得$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$，代入数值计算：
$(a-b)^2=49 -48=1$
【答案】
(1) $\boxed{a^2 +b^2}$；$\boxed{c^2}$
(2) $\boxed{a^2 +b^2 =c^2}$
(3) $\boxed{1}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 面积法验证勾股定理
3. 代数式表示图形面积
【点评】
本题通过拼图的形式考查数形结合思想的应用，既需要掌握用不同形式表示图形面积的方法，又需要熟练运用完全平方公式进行代数变形计算，有助于加深对勾股定理推导过程的理解。
【难度系数】
0.7
