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情境探究
有下列三个实际问题:
(1)小明家到学校的距离为3 km,他骑车到学校的平均速度是v km/h,所需要的时间是t h.
(2)一个矩形的面积为36 m²,该矩形的一边长为y m,其邻边长为x m.
(3)小亮买练习本共花了12元,练习本的价格是y元/本,所买的数量是x本.
问题1:请用适当的函数解析式表示上面三个实际问题中的两个变量之间的关系.
问题2:上述解析式都具有
知识梳理
一般地,形如
有下列三个实际问题:
(1)小明家到学校的距离为3 km,他骑车到学校的平均速度是v km/h,所需要的时间是t h.
(2)一个矩形的面积为36 m²,该矩形的一边长为y m,其邻边长为x m.
(3)小亮买练习本共花了12元,练习本的价格是y元/本,所买的数量是x本.
问题1:请用适当的函数解析式表示上面三个实际问题中的两个变量之间的关系.
问题2:上述解析式都具有
$y=\dfrac{k}{x}$
的形式,其中k是非零
常数.知识梳理
一般地,形如
$y=\dfrac{k}{x}$
(k为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数,其中x是自变量,其取值范围是不等于0的一切实数
.答案
问题1:(1)$v=\dfrac{3}{t}$.(2)$y=\dfrac{36}{x}$.(3)$y=\dfrac{12}{x}$.
问题2:$y=\dfrac{k}{x}$ 非零
知识梳理:$y=\dfrac{k}{x}$ 不等于0的一切实数
问题2:$y=\dfrac{k}{x}$ 非零
知识梳理:$y=\dfrac{k}{x}$ 不等于0的一切实数
解析
【分析】
解题时先从每个实际问题的基本数量关系入手：①路程问题中，路程=速度×时间，将已知量代入后变形即可得到v与t的函数关系；②矩形面积问题中，矩形面积=相邻两边长的乘积，代入已知面积变形可得y与x的函数关系；③总价问题中，总价=单价×数量，代入总花费变形可得y与x的函数关系。接着观察三个得到的函数解析式的共同特征，结合反比例函数的定义即可完成问题2和知识梳理的填空，注意反比例函数中分母不能为0，因此自变量x不能取0。
【解析】
问题1解答：
(1) 根据路程=速度×时间，可得$vt=3$，变形得$v=\dfrac{3}{t}$；
(2) 根据矩形面积=邻边长乘积，可得$xy=36$，变形得$y=\dfrac{36}{x}$；
(3) 根据总价=单价×数量，可得$xy=12$，变形得$y=\dfrac{12}{x}$。
问题2解答：
观察上述三个解析式，均符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中k分别为3、36、12，都是不等于0的非零常数。
知识梳理解答：
根据反比例函数的定义，一般地，形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫作反比例函数；由于x在分母位置，分母不能为0，因此x的取值范围是不等于0的一切实数。
【答案】
问题1:(1)$v=\dfrac{3}{t}$；(2)$y=\dfrac{36}{x}$；(3)$y=\dfrac{12}{x}$
问题2:$y=\dfrac{k}{x}$；非零
知识梳理:$y=\dfrac{k}{x}$；不等于0的一切实数
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 实际问题列函数解析式
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题侧重考查反比例函数的基础概念，要求学生能结合常见的数量关系列出对应的函数式，通过归纳解析式的共同特征理解反比例函数的形式和自变量取值要求，是巩固反比例函数基础定义的典型习题。
【难度系数】
0.85
解题时先从每个实际问题的基本数量关系入手：①路程问题中，路程=速度×时间，将已知量代入后变形即可得到v与t的函数关系；②矩形面积问题中，矩形面积=相邻两边长的乘积，代入已知面积变形可得y与x的函数关系；③总价问题中，总价=单价×数量，代入总花费变形可得y与x的函数关系。接着观察三个得到的函数解析式的共同特征，结合反比例函数的定义即可完成问题2和知识梳理的填空，注意反比例函数中分母不能为0，因此自变量x不能取0。
【解析】
问题1解答：
(1) 根据路程=速度×时间，可得$vt=3$，变形得$v=\dfrac{3}{t}$；
(2) 根据矩形面积=邻边长乘积，可得$xy=36$，变形得$y=\dfrac{36}{x}$；
(3) 根据总价=单价×数量，可得$xy=12$，变形得$y=\dfrac{12}{x}$。
问题2解答：
观察上述三个解析式，均符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中k分别为3、36、12，都是不等于0的非零常数。
知识梳理解答：
根据反比例函数的定义，一般地，形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫作反比例函数；由于x在分母位置，分母不能为0，因此x的取值范围是不等于0的一切实数。
【答案】
问题1:(1)$v=\dfrac{3}{t}$；(2)$y=\dfrac{36}{x}$；(3)$y=\dfrac{12}{x}$
问题2:$y=\dfrac{k}{x}$；非零
知识梳理:$y=\dfrac{k}{x}$；不等于0的一切实数
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 实际问题列函数解析式
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题侧重考查反比例函数的基础概念，要求学生能结合常见的数量关系列出对应的函数式，通过归纳解析式的共同特征理解反比例函数的形式和自变量取值要求，是巩固反比例函数基础定义的典型习题。
【难度系数】
0.85
【例1】下列哪些式子表示$y$是$x$的反比例函数？每一个反比例函数中相应的$k$值是多少？
(1)$y=\frac{5}{x}$；(2)$y=5x$；(3)$y=\frac{x}{5}$；(4)$y=\frac{1}{3x}$；
(5)$y=-3x^{-1}$；(6)$y=\frac{a}{x}$；(7)$y=\frac{2}{x+1}$。
解：
(1)$y=\frac{5}{x}$；(2)$y=5x$；(3)$y=\frac{x}{5}$；(4)$y=\frac{1}{3x}$；
(5)$y=-3x^{-1}$；(6)$y=\frac{a}{x}$；(7)$y=\frac{2}{x+1}$。
解：
答案
由反比例函数的定义可知，(1)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$5$；(4)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$\dfrac{1}{3}$；(5)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$-3$.
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式。接下来我们逐个对照定义判断每个式子是否符合，判断时需注意三个要点：①比例系数$k$必须是不为0的常数；②分母只能是自变量$x$本身，不能含有其他常数项；③符合三种表达形式中的任意一种即可判定为反比例函数，再从中提取对应的$k$值即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可写为$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，我们逐个判断：
(1) $y=\frac{5}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$的形式，且$k=5≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，对应$k=5$；
(2) $y=5x$：是正比例函数，不符合反比例函数的形式，不是；
(3) $y=\frac{x}{5}$：可变形为$y=\frac{1}{5}x$，是正比例函数，不是；
(4) $y=\frac{1}{3x}$：可变形为$y=\frac{\frac{1}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，且$k=\frac{1}{3}≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，对应$k=\frac{1}{3}$；
(5) $y=-3x^{-1}$：可变形为$y=\frac{-3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，是$y$关于$x$的反比例函数，对应$k=-3$；
(6) $y=\frac{a}{x}$：未说明$a$是常数且$a≠0$，不符合反比例函数的定义，不是；
(7) $y=\frac{2}{x+1}$：分母为$x+1$，自变量不是$x$本身，不是$y$关于$x$的反比例函数。
【答案】
由反比例函数的定义可知，(1)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$5$；(4)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$\dfrac{1}{3}$；(5)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$-3$.
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的识别
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记反比例函数的三种表达形式，尤其要注意不要忽略反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，同时要明确反比例函数的分母只能是自变量$x$，不能含有其他常数项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式。接下来我们逐个对照定义判断每个式子是否符合，判断时需注意三个要点：①比例系数$k$必须是不为0的常数；②分母只能是自变量$x$本身，不能含有其他常数项；③符合三种表达形式中的任意一种即可判定为反比例函数，再从中提取对应的$k$值即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可写为$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，我们逐个判断：
(1) $y=\frac{5}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$的形式，且$k=5≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，对应$k=5$；
(2) $y=5x$：是正比例函数，不符合反比例函数的形式，不是；
(3) $y=\frac{x}{5}$：可变形为$y=\frac{1}{5}x$，是正比例函数，不是；
(4) $y=\frac{1}{3x}$：可变形为$y=\frac{\frac{1}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，且$k=\frac{1}{3}≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，对应$k=\frac{1}{3}$；
(5) $y=-3x^{-1}$：可变形为$y=\frac{-3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，是$y$关于$x$的反比例函数，对应$k=-3$；
(6) $y=\frac{a}{x}$：未说明$a$是常数且$a≠0$，不符合反比例函数的定义，不是；
(7) $y=\frac{2}{x+1}$：分母为$x+1$，自变量不是$x$本身，不是$y$关于$x$的反比例函数。
【答案】
由反比例函数的定义可知，(1)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$5$；(4)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$\dfrac{1}{3}$；(5)中$y$是$x$的反比例函数，$k$值是$-3$.
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的识别
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记反比例函数的三种表达形式，尤其要注意不要忽略反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，同时要明确反比例函数的分母只能是自变量$x$，不能含有其他常数项。
【难度系数】
0.8
1.下列 y 关于 x 的函数中,是反比例函数的是
（
A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=-\dfrac{1}{2x}$
C.$y=\dfrac{1}{2+x}$
D.$y=\dfrac{1}{x^2}$
（
B
）A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=-\dfrac{1}{2x}$
C.$y=\dfrac{1}{2+x}$
D.$y=\dfrac{1}{x^2}$
答案
1.B
解析
【分析】
解答本题首先要明确反比例函数的定义与判断标准：反比例函数的核心形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），需满足三个要求：1. 整体为分式形式，分子是不为0的常数，分母仅含自变量$x$；2. 自变量$x$的次数为1；3. 常数项$k≠0$。解题时我们用上述标准逐一排查每个选项即可得出正确结果。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$，是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
B. $y=-\frac{1}{2x}=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-\frac{1}{2}≠0$，属于反比例函数；
C. $y=\frac{1}{2+x}$的分母是$x+2$，不是仅含自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除；
D. $y=\frac{1}{x^2}$的分母是$x^2$，自变量次数为2，不符合反比例函数要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对反比例函数定义的掌握，解题的关键是牢记反比例函数的形式特点，注意区分自变量的位置、次数以及常数k的取值要求，避免混淆各类函数的定义。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确反比例函数的定义与判断标准：反比例函数的核心形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），需满足三个要求：1. 整体为分式形式，分子是不为0的常数，分母仅含自变量$x$；2. 自变量$x$的次数为1；3. 常数项$k≠0$。解题时我们用上述标准逐一排查每个选项即可得出正确结果。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$，是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
B. $y=-\frac{1}{2x}=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-\frac{1}{2}≠0$，属于反比例函数；
C. $y=\frac{1}{2+x}$的分母是$x+2$，不是仅含自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除；
D. $y=\frac{1}{x^2}$的分母是$x^2$，自变量次数为2，不符合反比例函数要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对反比例函数定义的掌握，解题的关键是牢记反比例函数的形式特点，注意区分自变量的位置、次数以及常数k的取值要求，避免混淆各类函数的定义。
【难度系数】
0.9
【例2】已知函数 $y=(m+1)x^{|2m|-3}$ 是反比例函数，求实数 $m$ 的值。
|思路分析|
思考1:根据反比例函数 $y=kx^{-1}$ 的定义，自变量 $x$ 的次数为
字母的方程.
思考2:在反比例函数 $y=kx^{-1}$ 中，$k$ 不能为
解:
【规律方法】
由反比例函数的概念求字母取值的条件
(1)$y=kx^n$ 是反比例函数的条件是 $n=-1$，且 $k≠0$.
(2)$y=\frac{k}{x^n}$ 是反比例函数的条件是 $n=1$，且 $k≠0$.
|思路分析|
思考1:根据反比例函数 $y=kx^{-1}$ 的定义，自变量 $x$ 的次数为
$-1$
，由此得到关于所求字母的方程.
思考2:在反比例函数 $y=kx^{-1}$ 中，$k$ 不能为
$0$
，故可得到关于所求字母的不等式，结合思考1可得所求字母的值.解:
【规律方法】
由反比例函数的概念求字母取值的条件
(1)$y=kx^n$ 是反比例函数的条件是 $n=-1$，且 $k≠0$.
(2)$y=\frac{k}{x^n}$ 是反比例函数的条件是 $n=1$，且 $k≠0$.
答案
思考1:$-1$
思考2:$0$
解:$m=1$.
思考2:$0$
解:$m=1$.
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣反比例函数的定义分步思考：第一步，反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此自变量$x$的次数必须为$-1$，据此可列出关于$m$的绝对值方程，求出$m$的所有可能取值；第二步，反比例函数的比例系数$k$不能为0，据此列出关于$m$的不等式，排除不符合条件的$m$值，最终得到正确结果。
【解析】
首先填写思考问题：
思考1：根据反比例函数$y=kx^{-1}$的定义，自变量$x$的次数为$-1$；
思考2：在反比例函数$y=kx^{-1}$中，$k$不能为$0$。
正式求解过程：
∵ 函数$y=(m+1)x^{|2m|-3}$是反比例函数
∴ 需同时满足两个条件：
1. 自变量$x$的次数为$-1$，即$|2m| - 3 = -1$
解该方程：$|2m|=2$，则$2m=2$或$2m=-2$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 比例系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上，舍去不符合条件的$m=-1$，得$m=1$
【答案】
思考1：$-1$；思考2：$0$；$m=1$
【知识点】
反比例函数的定义，绝对值方程求解，一元一次不等式应用
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记反比例函数需要同时满足“自变量次数为-1”和“比例系数不为0”两个条件，切勿遗漏第二个条件导致出现增根。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣反比例函数的定义分步思考：第一步，反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此自变量$x$的次数必须为$-1$，据此可列出关于$m$的绝对值方程，求出$m$的所有可能取值；第二步，反比例函数的比例系数$k$不能为0，据此列出关于$m$的不等式，排除不符合条件的$m$值，最终得到正确结果。
【解析】
首先填写思考问题：
思考1：根据反比例函数$y=kx^{-1}$的定义，自变量$x$的次数为$-1$；
思考2：在反比例函数$y=kx^{-1}$中，$k$不能为$0$。
正式求解过程：
∵ 函数$y=(m+1)x^{|2m|-3}$是反比例函数
∴ 需同时满足两个条件：
1. 自变量$x$的次数为$-1$，即$|2m| - 3 = -1$
解该方程：$|2m|=2$，则$2m=2$或$2m=-2$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 比例系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上，舍去不符合条件的$m=-1$，得$m=1$
【答案】
思考1：$-1$；思考2：$0$；$m=1$
【知识点】
反比例函数的定义，绝对值方程求解，一元一次不等式应用
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记反比例函数需要同时满足“自变量次数为-1”和“比例系数不为0”两个条件，切勿遗漏第二个条件导致出现增根。
【难度系数】
0.7
