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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2, -1)，B(1, -2)，C(3, -3).
（1）将△ABC以原点O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A₁B₁C₁（点A₁，B₁，C₁分别与点A，B，C对应）；
（2）若△A₂B₂C₂与△ABC关于原点成中心对称，请写出点A的对应点A₂的坐标.
（1）将△ABC以原点O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A₁B₁C₁（点A₁，B₁，C₁分别与点A，B，C对应）；
（2）若△A₂B₂C₂与△ABC关于原点成中心对称，请写出点A的对应点A₂的坐标.
答案
20. 解 （1）如图，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
（2）因为$△ A_2B_2C_2$ 与 $△ ABC$ 关于原点成中心对称，且 $A(2,\ -1)$，
所以点 $A$ 的对应点 $A_2$ 的坐标为 $(-2,\ 1)$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1. 解决旋转作图问题：首先回忆点绕原点O逆时针旋转90°的坐标变化规律：点$(x,y)$逆时针旋转90°后对应点坐标为$(-y,x)$，先计算$△ ABC$三个顶点旋转后的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到旋转后的三角形。2. 解决中心对称点坐标问题：回忆关于原点成中心对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$，将点A的坐标代入规律即可直接求出$A_2$的坐标。
【解析】
（1）先计算三个顶点逆时针旋转90°后的坐标：
已知$A(2,-1)$，旋转后$A_1$的坐标为$(-(-1),2)$即$(1,2)$；
已知$B(1,-2)$，旋转后$B_1$的坐标为$(-(-2),1)$即$(2,1)$；
已知$C(3,-3)$，旋转后$C_1$的坐标为$(-(-3),3)$即$(3,3)$；
在平面直角坐标系中依次描出$A_1(1,2)$、$B_1(2,1)$、$C_1(3,3)$，顺次连接三点，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）因为关于原点成中心对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
已知点A的坐标为$(2,-1)$，所以其对应点$A_2$的坐标为$(-2, 1)$。
【答案】
（1）如图，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
（2）$(-2,\ 1)$
【知识点】
绕原点旋转的坐标变换，关于原点对称的点的坐标特征，坐标系作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的变换，属于基础题型，核心是掌握旋转和中心对称对应的坐标变化规律，作图时要注意描点准确，连线顺次，计算坐标时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：1. 解决旋转作图问题：首先回忆点绕原点O逆时针旋转90°的坐标变化规律：点$(x,y)$逆时针旋转90°后对应点坐标为$(-y,x)$，先计算$△ ABC$三个顶点旋转后的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到旋转后的三角形。2. 解决中心对称点坐标问题：回忆关于原点成中心对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$，将点A的坐标代入规律即可直接求出$A_2$的坐标。
【解析】
（1）先计算三个顶点逆时针旋转90°后的坐标：
已知$A(2,-1)$，旋转后$A_1$的坐标为$(-(-1),2)$即$(1,2)$；
已知$B(1,-2)$，旋转后$B_1$的坐标为$(-(-2),1)$即$(2,1)$；
已知$C(3,-3)$，旋转后$C_1$的坐标为$(-(-3),3)$即$(3,3)$；
在平面直角坐标系中依次描出$A_1(1,2)$、$B_1(2,1)$、$C_1(3,3)$，顺次连接三点，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）因为关于原点成中心对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
已知点A的坐标为$(2,-1)$，所以其对应点$A_2$的坐标为$(-2, 1)$。
【答案】
（1）如图，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
（2）$(-2,\ 1)$
【知识点】
绕原点旋转的坐标变换，关于原点对称的点的坐标特征，坐标系作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的变换，属于基础题型，核心是掌握旋转和中心对称对应的坐标变化规律，作图时要注意描点准确，连线顺次，计算坐标时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
21. 已知PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，$∠ OAB=30°$。
(1) 求$∠ APB$的度数；
(2) 当$OA=3$时，求$AP$的长.
(1) 求$∠ APB$的度数；
(2) 当$OA=3$时，求$AP$的长.
答案
21. 解 （1）在$△ OAB$ 中，$OA=OB$，$∠ OBA=∠ OAB=30°$，
所以$∠ AOB=180°-2×30°=120°$.
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，
所以 $OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$.
在四边形 $OAPB$ 中，
$∠ APB=360°-120°-90°-90°=60°$.
（2）如图，连接 $OP$.
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，
所以 $PO$ 平分 $∠ APB$，
即$∠ APO=\dfrac{1}{2}∠ APB=30°$.
又在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中，
$OA=3$，$∠ APO=30°$，所以 $OP=6$.
由勾股定理，得 $AP=3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）求解∠APB的度数时，首先结合切线的性质，可得切线垂直于过切点的半径，即OA⊥PA、OB⊥PB，两个角均为90°，只需先求出圆心角∠AOB的度数，再利用四边形内角和为360°即可算出∠APB。已知OA、OB都是圆的半径，二者相等，△OAB为等腰三角形，已知底角∠OAB=30°，可直接求出顶角∠AOB的度数。
（2）求解AP的长度时，已知OA=3且OA⊥PA，△OAP为直角三角形，已知一条直角边的长度，只需要得到其中一个锐角的度数即可求出其余边长。根据切线长定理，圆外一点到圆心的连线平分该点引两条切线的夹角，因此连接OP后可得到∠APO的度数，利用直角三角形30°角的性质求出斜边OP长度，再用勾股定理即可求出AP的长。
【解析】
（1）在$△ OAB$ 中，$OA=OB$，$∠ OBA=∠ OAB=30°$，
所以$∠ AOB=180°-2×30°=120°$。
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，
所以 $OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在四边形 $OAPB$ 中，
$∠ APB=360°-120°-90°-90°=60°$。
（2）如图，连接 $OP$。
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，
所以 $PO$ 平分 $∠ APB$，
即$∠ APO=\dfrac{1}{2}∠ APB=30°$。
又在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中，
$OA=3$，$∠ APO=30°$，所以 $OP=6$。
由勾股定理，得 $AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$∠ APB=60°$；（2）$AP=3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础常考题，解题核心是熟练运用切线垂直半径、切线长定理等性质，结合三角形、四边形内角和以及直角三角形的性质转化边角关系，要掌握此类题的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠APB的度数时，首先结合切线的性质，可得切线垂直于过切点的半径，即OA⊥PA、OB⊥PB，两个角均为90°，只需先求出圆心角∠AOB的度数，再利用四边形内角和为360°即可算出∠APB。已知OA、OB都是圆的半径，二者相等，△OAB为等腰三角形，已知底角∠OAB=30°，可直接求出顶角∠AOB的度数。
（2）求解AP的长度时，已知OA=3且OA⊥PA，△OAP为直角三角形，已知一条直角边的长度，只需要得到其中一个锐角的度数即可求出其余边长。根据切线长定理，圆外一点到圆心的连线平分该点引两条切线的夹角，因此连接OP后可得到∠APO的度数，利用直角三角形30°角的性质求出斜边OP长度，再用勾股定理即可求出AP的长。
【解析】
（1）在$△ OAB$ 中，$OA=OB$，$∠ OBA=∠ OAB=30°$，
所以$∠ AOB=180°-2×30°=120°$。
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，
所以 $OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在四边形 $OAPB$ 中，
$∠ APB=360°-120°-90°-90°=60°$。
（2）如图，连接 $OP$。
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，
所以 $PO$ 平分 $∠ APB$，
即$∠ APO=\dfrac{1}{2}∠ APB=30°$。
又在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中，
$OA=3$，$∠ APO=30°$，所以 $OP=6$。
由勾股定理，得 $AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$∠ APB=60°$；（2）$AP=3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础常考题，解题核心是熟练运用切线垂直半径、切线长定理等性质，结合三角形、四边形内角和以及直角三角形的性质转化边角关系，要掌握此类题的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.8
22. 根据以下材料，探究完成问题.
小瑞去研学旅游时看到一种古代远程攻击武器——投石车. 经了解，它平地发射射程为200 m，发射高度最高可达25 m. 将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分. 若在攻城时将投石车置于点O处，以O为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，A处是一座城池的城墙，其竖直截面为ABCD，CD与x轴平行，墙宽CD=2 m，垂直距离AD=9 m.
（1）求石块飞行轨迹所在抛物线的函数解析式；
（2）若外墙AD到投石车的距离AO约为170 m，攻城时，用投石车将火球发射出去，则火球是否会落在城墙内？请说明理由.
小瑞去研学旅游时看到一种古代远程攻击武器——投石车. 经了解，它平地发射射程为200 m，发射高度最高可达25 m. 将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分. 若在攻城时将投石车置于点O处，以O为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，A处是一座城池的城墙，其竖直截面为ABCD，CD与x轴平行，墙宽CD=2 m，垂直距离AD=9 m.
（1）求石块飞行轨迹所在抛物线的函数解析式；
（2）若外墙AD到投石车的距离AO约为170 m，攻城时，用投石车将火球发射出去，则火球是否会落在城墙内？请说明理由.
答案
22. 解 （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为 $(100,\ 25)$.
设抛物线的函数解析式为 $y=a(x-100)^2+25$.
则 $a(0-100)^2+25=0$.
解得 $a=-\dfrac{1}{400}$.
所以 $y=-\dfrac{1}{400}(x-100)^2+25\ (0≤ x≤ 200)$.
（2）火球会落在城墙内. 理由如下：
城墙其竖直截面为 $ABCD$，$CD$ 与 $x$ 轴平行，墙宽 $CD=2\ \mathrm{m}$，垂直距离 $AD=9\ \mathrm{m}$，则石块发射距离 $x$ 的取值范围为 $170≤ x≤172$.
当 $x=170$ 时，$y=-\dfrac{1}{400}(170-100)^2+25=12.75＞9$；当 $x=172$ 时，$y=-\dfrac{1}{400}(172-100)^2+25=12.04＞9$.
所以石块高度均高于城墙，即火球会落在城墙内.
设抛物线的函数解析式为 $y=a(x-100)^2+25$.
则 $a(0-100)^2+25=0$.
解得 $a=-\dfrac{1}{400}$.
所以 $y=-\dfrac{1}{400}(x-100)^2+25\ (0≤ x≤ 200)$.
（2）火球会落在城墙内. 理由如下：
城墙其竖直截面为 $ABCD$，$CD$ 与 $x$ 轴平行，墙宽 $CD=2\ \mathrm{m}$，垂直距离 $AD=9\ \mathrm{m}$，则石块发射距离 $x$ 的取值范围为 $170≤ x≤172$.
当 $x=170$ 时，$y=-\dfrac{1}{400}(170-100)^2+25=12.75＞9$；当 $x=172$ 时，$y=-\dfrac{1}{400}(172-100)^2+25=12.04＞9$.
所以石块高度均高于城墙，即火球会落在城墙内.
解析
【分析】
（1）求解抛物线解析式首先要确定已知条件：由石块射程200m可知抛物线过$(0,0)$和$(200,0)$两点，最高高度为25m，因此抛物线顶点横坐标为射程中点100，顶点坐标为$(100,25)$，选择顶点式设抛物线解析式，代入点$(0,0)$即可求出未知系数，同时要标注自变量的取值范围。
（2）判断火球是否落在城墙内，首先明确城墙对应的横坐标范围是$170≤ x≤172$，城墙高度为9m：若该区间内抛物线对应的y值均大于9m，说明石块飞过城墙，会落在城墙内，因此只需计算区间端点对应的y值，和9比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）根据题意，抛物线顶点坐标为$(100,25)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-100)^2+25$，将$(0,0)$代入得：
$a(0-100)^2+25=0$
解得$a=-\dfrac{1}{400}$
因此石块飞行轨迹的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{400}(x-100)^2+25\quad(0≤ x≤200)$。
（2）火球会落在城墙内，理由如下：
由题意得城墙对应的横坐标范围为$170≤ x≤172$，城墙高度为9m。
当$x=170$时，$y=-\dfrac{1}{400}×(170-100)^2+25=12.75＞9$；
当$x=172$时，$y=-\dfrac{1}{400}×(172-100)^2+25=12.04＞9$。
可知在城墙对应的横坐标范围内，石块飞行高度均高于城墙高度，因此石块会飞过城墙落在城墙内。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{400}(x-100)^2+25\quad(0≤ x≤200)$
（2）火球会落在城墙内，理由见解析。
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题结合古代投石车的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题转化为数学问题，准确提取题干信息确定抛物线的关键坐标，再通过代入计算比较数值大小得到结论，能够锻炼学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解抛物线解析式首先要确定已知条件：由石块射程200m可知抛物线过$(0,0)$和$(200,0)$两点，最高高度为25m，因此抛物线顶点横坐标为射程中点100，顶点坐标为$(100,25)$，选择顶点式设抛物线解析式，代入点$(0,0)$即可求出未知系数，同时要标注自变量的取值范围。
（2）判断火球是否落在城墙内，首先明确城墙对应的横坐标范围是$170≤ x≤172$，城墙高度为9m：若该区间内抛物线对应的y值均大于9m，说明石块飞过城墙，会落在城墙内，因此只需计算区间端点对应的y值，和9比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）根据题意，抛物线顶点坐标为$(100,25)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-100)^2+25$，将$(0,0)$代入得：
$a(0-100)^2+25=0$
解得$a=-\dfrac{1}{400}$
因此石块飞行轨迹的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{400}(x-100)^2+25\quad(0≤ x≤200)$。
（2）火球会落在城墙内，理由如下：
由题意得城墙对应的横坐标范围为$170≤ x≤172$，城墙高度为9m。
当$x=170$时，$y=-\dfrac{1}{400}×(170-100)^2+25=12.75＞9$；
当$x=172$时，$y=-\dfrac{1}{400}×(172-100)^2+25=12.04＞9$。
可知在城墙对应的横坐标范围内，石块飞行高度均高于城墙高度，因此石块会飞过城墙落在城墙内。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{400}(x-100)^2+25\quad(0≤ x≤200)$
（2）火球会落在城墙内，理由见解析。
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题结合古代投石车的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题转化为数学问题，准确提取题干信息确定抛物线的关键坐标，再通过代入计算比较数值大小得到结论，能够锻炼学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
