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23. 为了探索函数 $y=x+\dfrac{1}{x}\ (x＞0)$ 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法.
列表如下.
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以对应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，如图①所示.
(1) 如图①，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2) 已知点 $(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)$ 在函数图象上，若 $0＜x_1＜x_2≤1$，则 $y_1$
(3) 某农户要建造一个长方体形无盖水池，如图②所示，其底面积为 $1\ \mathrm{m}^2$，深为 $1\ \mathrm{m}$. 已知底面造价为 $1\ 000$ 元/$\mathrm{m}^2$，侧面造价为 $500$ 元/$\mathrm{m}^2$. 设水池底面一边的长为 $x\ \mathrm{m}$，水池总造价为 $y$ 元.
①请写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
②若该农户预算不超过 $3\ 500$ 元，则水池底面一边的长 $x$ 应控制在什么范围内？
列表如下.
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以对应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，如图①所示.
(1) 如图①，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2) 已知点 $(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)$ 在函数图象上，若 $0＜x_1＜x_2≤1$，则 $y_1$
＞
$y_2$；若 $1＜x_1＜x_2$，则 $y_1$ ＜
$y_2$；若 $x_1· x_2=1$，则 $y_1$ =
$y_2$；（填“＞”“=”或“＜”）(3) 某农户要建造一个长方体形无盖水池，如图②所示，其底面积为 $1\ \mathrm{m}^2$，深为 $1\ \mathrm{m}$. 已知底面造价为 $1\ 000$ 元/$\mathrm{m}^2$，侧面造价为 $500$ 元/$\mathrm{m}^2$. 设水池底面一边的长为 $x\ \mathrm{m}$，水池总造价为 $y$ 元.
①请写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
②若该农户预算不超过 $3\ 500$ 元，则水池底面一边的长 $x$ 应控制在什么范围内？
答案
23. 解 （1）函数图象如图所示.
（2）$＞$ $＜$ $=$
（3）①由题意，得 $y=1\ 000+(2x+\dfrac{2}{x})×500=1\ 000(1+x+\dfrac{1}{x})\ (x＞0)$.
②由题意，得 $1+x+\dfrac{1}{x}≤3.5$.
因为 $x＞0$，所以 $2x^2-5x+2≤0$.
解得 $\dfrac{1}{2}≤ x≤2$. 所以水池底面一边的长 $x$ 应控制在 $\dfrac{1}{2}≤ x≤2$ 的范围内.
解析
【分析】
1. 第(1)问：按照描点法画函数图象的要求，将给出的点按横坐标从小到大的顺序，用光滑曲线顺次连接即可完成作图。
2. 第(2)问：观察函数图象的变化趋势判断增减性：0＜x≤1时y随x增大而减小，x＞1时y随x增大而增大，据此判断前两个空的大小关系；若x₁·x₂=1，将x₂=1/x₁代入函数解析式即可判断y₁和y₂的大小关系。
3. 第(3)问①：总造价=底面造价+侧面造价，先计算底面固定造价，再根据底面边长表示出侧面积，进而求出侧面造价，相加化简即可得到函数解析式。②：根据预算不超过3500元列不等式，结合x＞0将分式不等式转化为一元二次不等式求解，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 按照描点法画图象的规范，将所描的点顺次用光滑曲线连接，得到函数图象：
(2) 观察图象的增减性：
当0＜x≤1时，y随x的增大而减小，因此0＜x₁＜x₂≤1时，$y_1＞y_2$；
当x＞1时，y随x的增大而增大，因此1＜x₁＜x₂时，$y_1＜y_2$；
若$x_1·x_2=1$，则$x_2=\frac{1}{x_1}$，代入函数得$y_2=x_2+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1}+x_1=y_1$，因此$y_1=y_2$。
(3) ① 由题意得：底面造价为$1×1000=1000$元；
底面一边长为$x\ \mathrm{m}$，底面积为$1\ \mathrm{m}^2$，因此另一边长为$\frac{1}{x}\ \mathrm{m}$，侧面积为$2×(x·1+\frac{1}{x}·1)=2(x+\frac{1}{x})\ \mathrm{m}^2$，侧面造价为$2(x+\frac{1}{x})×500$元；
因此总造价$y=1000+2(x+\frac{1}{x})×500=1000(1+x+\frac{1}{x})\ (x＞0)$。
② 由预算不超过3500元，得$y≤3500$，代入解析式得：
$1000(1+x+\frac{1}{x})≤3500$
两边除以1000得$1+x+\frac{1}{x}≤3.5$，
因为x＞0，两边同乘2x得$2x+2x^2+2≤7x$，
整理得$2x^2-5x+2≤0$，因式分解得$(2x-1)(x-2)≤0$，
解得$\frac{1}{2}≤x≤2$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示.
(2) $\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{=}$
(3) ① $\boldsymbol{y=1000(1+x+\dfrac{1}{x})\ (x＞0)}$
② 水池底面一边的长$x$应控制在$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}≤ x≤ 2}$的范围内。
【知识点】
函数图象与性质；不等式求解；函数实际应用
【点评】
本题结合函数探究过程和生活实际问题，既考查了学生通过图象归纳函数性质的能力，又考查了学生运用函数、不等式知识解决实际问题的能力，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：按照描点法画函数图象的要求，将给出的点按横坐标从小到大的顺序，用光滑曲线顺次连接即可完成作图。
2. 第(2)问：观察函数图象的变化趋势判断增减性：0＜x≤1时y随x增大而减小，x＞1时y随x增大而增大，据此判断前两个空的大小关系；若x₁·x₂=1，将x₂=1/x₁代入函数解析式即可判断y₁和y₂的大小关系。
3. 第(3)问①：总造价=底面造价+侧面造价，先计算底面固定造价，再根据底面边长表示出侧面积，进而求出侧面造价，相加化简即可得到函数解析式。②：根据预算不超过3500元列不等式，结合x＞0将分式不等式转化为一元二次不等式求解，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 按照描点法画图象的规范，将所描的点顺次用光滑曲线连接，得到函数图象：
(2) 观察图象的增减性：
当0＜x≤1时，y随x的增大而减小，因此0＜x₁＜x₂≤1时，$y_1＞y_2$；
当x＞1时，y随x的增大而增大，因此1＜x₁＜x₂时，$y_1＜y_2$；
若$x_1·x_2=1$，则$x_2=\frac{1}{x_1}$，代入函数得$y_2=x_2+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1}+x_1=y_1$，因此$y_1=y_2$。
(3) ① 由题意得：底面造价为$1×1000=1000$元；
底面一边长为$x\ \mathrm{m}$，底面积为$1\ \mathrm{m}^2$，因此另一边长为$\frac{1}{x}\ \mathrm{m}$，侧面积为$2×(x·1+\frac{1}{x}·1)=2(x+\frac{1}{x})\ \mathrm{m}^2$，侧面造价为$2(x+\frac{1}{x})×500$元；
因此总造价$y=1000+2(x+\frac{1}{x})×500=1000(1+x+\frac{1}{x})\ (x＞0)$。
② 由预算不超过3500元，得$y≤3500$，代入解析式得：
$1000(1+x+\frac{1}{x})≤3500$
两边除以1000得$1+x+\frac{1}{x}≤3.5$，
因为x＞0，两边同乘2x得$2x+2x^2+2≤7x$，
整理得$2x^2-5x+2≤0$，因式分解得$(2x-1)(x-2)≤0$，
解得$\frac{1}{2}≤x≤2$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示.
(2) $\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{=}$
(3) ① $\boldsymbol{y=1000(1+x+\dfrac{1}{x})\ (x＞0)}$
② 水池底面一边的长$x$应控制在$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}≤ x≤ 2}$的范围内。
【知识点】
函数图象与性质；不等式求解；函数实际应用
【点评】
本题结合函数探究过程和生活实际问题，既考查了学生通过图象归纳函数性质的能力，又考查了学生运用函数、不等式知识解决实际问题的能力，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.65
