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1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,BD是$∠ ABC$的平分线,若$AC=6\ \mathrm{cm}$,$AD:CD=2:1$,则点D到AB的距离是 (
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
A
)A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
1. A
2. 如图，P为∠AOB的平分线OD上一点，且OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N。求证：PM=PN。
答案
2. 证明:如解图.
∵ OD 平分∠AOB，
∴ ∠1=∠2.
在△OBD 和△OAD 中，
$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠1=∠2, \\ OD=OD, \end{cases}$
∴ △OBD≌△OAD(SAS).
∴ ∠3=∠4.
∴ DO 是∠ADB 的平分线.
又
∵ PM⊥BD,PN⊥AD，
∴ PM=PN.
例2 如图，D为锐角∠ABC内一点，点M在BA上，点N在BC上，且DM = DN，∠BMD + ∠BND = 180°。
求证：BD平分∠ABC。
证明：
求证：BD平分∠ABC。
证明：
答案
证明:如解图,过点 D 分别作 AB,BC 的垂线，垂足分别为 E,F.
∵ ∠BMD+∠BND=180°,∠BMD+∠EMD=180°,
∴ ∠EMD=∠BND.
在△DEM 和△DFN 中，
$\begin{cases} ∠DEM=∠DFN=90°, \\ ∠EMD=∠FND, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴ △DEM≌△DFN(AAS).
∴ DE=DF.
∴ BD 平分∠ABC.
(交换条件和结论)例2中把条件“$∠ BMD + ∠ BND = 180°$”和结论“$BD$平分$∠ ABC$”互换
后,再进行证明.
【规律方法】
证明角的平分线的“两种方法”
(1)定义法:应用角的平分线的定义.
(2)定理法:应用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角的平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.
变式训练
后,再进行证明.
【规律方法】
证明角的平分线的“两种方法”
(1)定义法:应用角的平分线的定义.
(2)定理法:应用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角的平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.
变式训练
答案
证明:如解图,过点 D 分别作 AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F.
∵ BD 平分∠ABC，
∴ DE=DF.
在Rt△DEM 和Rt△DFN 中，
$\begin{cases} DM=DN, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△DEM≌Rt△DFN(HL).
∴ ∠EMD=∠BND.
∵ ∠BMD+∠EMD=180°,
∴ ∠BMD+∠BND=180°.
3. 如图，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，且CD=CB，则点C在
∠DAB的平分线
上. 答案
3. ∠DAB 的平分线
