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4. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$，且$BE = CF$. 求证：$AD$是$∠ BAC$的平分线.
答案
4. 证明:
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ BD=CD.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上,即 AD 是∠BAC 的平分线.
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ BD=CD.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上,即 AD 是∠BAC 的平分线.
1. 如图，OP平分$∠ MON$，$PA ⊥ ON$于点A，点Q是射线OM上的一个动点. 若$PA=2$，则PQ的最小值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,以顶点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交边AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D.若$CD=4,AB=15$,则$△ ABD$的面积为 (
A.15
B.30
C.45
D.60
B
)A.15
B.30
C.45
D.60
答案
2. B
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=42°$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$E$是$BD$上一点,$EF ⊥ AB$于点$F$.若$ED=EF$,则$∠ AEC$的度数为 (
A.$60°$
B.$62°$
C.$64°$
D.$66°$
D
)A.$60°$
B.$62°$
C.$64°$
D.$66°$
答案
3. D
4. 如图，$AB=AC$，$BD=CD$，$DE ⊥ AB$交$AB$延长线于点$E$，$DF ⊥ AC$交$AC$延长线于点$F$. 求证:$DE=DF$.
答案
4. 证明:如解图,连接 AD.
∵ AB=AC,BD=CD,AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
∴ ∠BAD=∠CAD.
∴ AD 是∠EAF 的平分线.
又
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ DE=DF.
5. (教材练习第2题改编)如图，$BE=CF$，$BF ⊥ AC$于点$F$，$CE ⊥ AB$于点$E$，$BF$和$CE$交于点$D$。求证：$AD$平分$∠ BAC$。
答案
5. 证明:
∵ BF⊥AC,CE⊥AB，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases} ∠BDE=∠CDF, \\ ∠DEB=∠DFC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS).
∴ DE=DF.
又
∵ BF⊥AC,CE⊥AB，
∴ AD 平分∠BAC.
∵ BF⊥AC,CE⊥AB，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases} ∠BDE=∠CDF, \\ ∠DEB=∠DFC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS).
∴ DE=DF.
又
∵ BF⊥AC,CE⊥AB，
∴ AD 平分∠BAC.
