1. 观察下列各式:
第1个等式:$4×1×4+9=(2+3)^2$；
第2个等式:$4×2×5+9=(4+3)^2$；
第3个等式:$4×3×6+9=(6+3)^2$；
…
类比上面这组等式,试着完成下列问题:
(1)第4个等式:；
(2)第7个等式:；
(3)第$n$个等式的左边可以用含$n$的式子表示为,右边可以用含$n$的式子表示为,猜想第$n$个等式为；
(4)①利用因式分解验证你的猜想,
②根据你猜想的规律,直接写出$4×1011×1014+9$是的平方；
(5)利用前面的规律,直接对多项式$4(\frac{1}{2}x^2 -2x)(\frac{1}{2}x^2 -2x+3)+9$进行因式分解.

(1)$4×4×7+9=(8+3)^2$；
(2)$4×7×10+9=(14+3)^2$；
(3)$4n(n+3)+9$,$(2n+3)^2$,$4n(n+3)+9=(2n+3)^2$；
(4)①利用因式分解验证如下：
等式左边$=4n(n+3)+9$
$=4n^2+12n+9$
$=(2n)^2+2·2n·3+3^2$
$=(2n+3)^2$,
∴等式左边=等式右边,猜想成立.
②2025 【解法提示】$4×1011×1014+9=(1011×2+3)^2=2025^2$,
∴$4×1011×1014+9$是2025的平方.
(5)根据规律$4n(n+3)+9=(2n+3)^2$,
∴$4(\frac{1}{2}x^2 -2x)(\frac{1}{2}x^2 -2x+3)+9$
$=[2(\frac{1}{2}x^2 -2x)+3]^2$
$=(x^2-4x+3)^2$
$=(x-1)^2(x-3)^2$.

把多项式因式分解,给字母赋值算出各因式数值,称为因式码,把所有因式码从小到大依次拼接,即可组合成一串数字密码.例:$x^2y - 4y = y(x+2)(x-2)$,取$x=15,y=12$,因式码从小到大排序为12,13,17,故密码为121317.
(1)分解$16p^4 - q^4$,取$p=10,q=5$,求对应密码.
(2)多项式$16p^4 - q^4$,$p$和$q$取正整数,生成密码;若密码的前两个因式码为5,15,求第三个因式码.
(3)自主写多项式,按规则生成一组密码.

(1)生成的密码是1525425.
(2)由$16p^4 - q^4=(2p-q)(2p+q)(4p^2+q^2)$,可得因式$2p-q,2p+q$的值分别为5,15,通过解方程组得$p=5$,$q=5$,进而求得第三个因式码为125.
(3)若所写多项式为$x^3-25x$,$x^3-25x=x(x^2-25)=x(x-5)(x+5)$,取$x=6$,则$x-5=1$,$x+5=11$,可形成密码1611.