活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
活动目标
1. 通过计算与观察,归纳个位数字为5的两位数的平方的规律;
2. 用代数表达式抽象运算规律,并运用因式分解和整式乘法进行证明;
3. 体会“具体→抽象→证明”的数学探究过程,提升逻辑推理能力.
活动导引
数学活动课上,老师给出下列一组等式:
15×15=225=1×2×100+25;
25×25=625=2×3×100+25;
35×35=1 225=3×4×100+25;
…
组织学生以小组为单位,通过计算观察个位数字为5的两位数的平方,探究它们是否存在一些有趣的规律.
内容探究
任务一:补全表格,并观察规律.
| 原数 | 十位数字(n) | 原数的平方 | 表达式 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 15 | 1 | 225 | 1×2×100+25 |
| 25 | 2 | 625 | 2×3×100+25 |
| 35 | 3 | 1225 | 3×4×100+25 |
| 45 | | | |
| 55 | | | |
发现:个位数字为5的两位数平方的结果后两位数字等于,前几位等于.
任务二:设原数是十位数字为n,个位数字为5的两位数,即两位数为$10n+5$,猜想出表达式为:
$(10n+5)^2=$.
猜想验证:等式左边展开为:$(10n+5)^2=100n^2+$$+25$;
等式右边展开为:,左边=右边,即猜想规律成立.
规律总结:个位数字为5的两位数平方的结果等于.
任务三:(1)快速计算$75^2,95^2$,看谁算的又快又准!
(2)个位数字为5的三位数(如105,115)平方的结果是否有类似规律?尝试计算并总结.
(3)若个位数字不是5(如个位为4或6),平方的结果是否也有特殊规律?尝试举例说明.

任务一补全表格如下：
| 原数 | 十位数字(n) | 原数的平方 | 表达式 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 45 | 4 | 2 025 | 4×5×100+25 |
| 55 | 5 | 3 025 | 5×6×100+25 |
发现:25;十位数字n与比它大1的数(n+1)的乘积
任务二:$n(n+1)×100+25$
猜想验证:$100n$;$n(n+1)×100+25=100n^2+100n+25$
规律总结:十位数字n乘以比它大1的数(n+1)再乘以100,最后加25
任务三:(1)$75^2=7×8×100+25=5625$,
$95^2=9×10×100+25=9025$.
(2)有类似规律,$105^2=10×11×100+25=11025$,$115^2=11×12×100+25=13225$,$125^2=12×13×100+25=15625$.规律总结:百位和十位上的数字n乘以比它大1的数(n+1),再乘以100,最后加25.
(3)也有特殊规律,例$13^2=100+10×2×3+3^2=169$,$14^2=100+10×2×4+4^2=196$,$16^2=100+10×2×6+6^2=256$.