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5. (★★★)一个铝球的体积是$500\ \mathrm{cm}^3$,质量是$540\ \mathrm{g}$,请你试着用三种方法鉴别它是不是实心的。(已知$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
答案
方法一:铝球的密度为$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.08\ \mathrm{g/cm}^3$,因为$\rho_{\mathrm{球}}＜\rho_{\mathrm{铝}}$,所以铝球是空心的。
方法二:同体积铝的质量为$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}\ V_{\mathrm{铝}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=1350\ \mathrm{g}$,因为$m_{\mathrm{铝}}＞m_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。
方法三:铝球中铝的体积为$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{铝}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$,因为$V_{\mathrm{铝}}＜V_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。
方法二:同体积铝的质量为$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}\ V_{\mathrm{铝}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=1350\ \mathrm{g}$,因为$m_{\mathrm{铝}}＞m_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。
方法三:铝球中铝的体积为$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{铝}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$,因为$V_{\mathrm{铝}}＜V_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。
解析
【分析】要鉴别铝球是否实心，可利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形，从三个角度分析：①计算铝球的实际密度，与铝的密度对比；②计算与铝球同体积的实心铝球的质量，与铝球实际质量对比；③计算铝球质量对应的实心铝的体积，与铝球实际体积对比，若对应关系不符，则铝球为空心。计算时需统一单位，将铝的密度换算为$g/cm^3$方便计算。
【解析】已知$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，铝球质量$m_{\mathrm{球}}=540\ \mathrm{g}$，体积$V_{\mathrm{球}}=500\ \mathrm{cm}^3$。
方法一：计算铝球的实际密度：$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.08\ \mathrm{g/cm}^3$，因为$\rho_{\mathrm{球}}＜\rho_{\mathrm{铝}}$，所以铝球是空心的。
方法二：计算同体积实心铝的质量：$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}V_{\mathrm{球}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=1350\ \mathrm{g}$，因为$m_{\mathrm{铝}}＞m_{\mathrm{球}}$，所以铝球是空心的。
方法三：计算铝球中铝的体积：$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$，因为$V_{\mathrm{铝}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以铝球是空心的。
【答案】方法一:铝球的密度为$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.08\ \mathrm{g/cm}^3$,因为$\rho_{\mathrm{球}}＜\rho_{\mathrm{铝}}$,所以铝球是空心的。方法二:同体积铝的质量为$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}\ V_{\mathrm{球}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=1350\ \mathrm{g}$,因为$m_{\mathrm{铝}}＞m_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。方法三:铝球中铝的体积为$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$,因为$V_{\mathrm{铝}}＜V_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。
【知识点】密度公式应用，空心实心鉴别，物质密度
【点评】本题是密度知识在实际中的典型应用，核心是灵活运用密度公式及其变形，通过三种不同角度的计算鉴别空心，难度适中，能考查学生对密度概念的理解与运用能力。
【难度系数】0.6
【解析】已知$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，铝球质量$m_{\mathrm{球}}=540\ \mathrm{g}$，体积$V_{\mathrm{球}}=500\ \mathrm{cm}^3$。
方法一：计算铝球的实际密度：$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.08\ \mathrm{g/cm}^3$，因为$\rho_{\mathrm{球}}＜\rho_{\mathrm{铝}}$，所以铝球是空心的。
方法二：计算同体积实心铝的质量：$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}V_{\mathrm{球}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=1350\ \mathrm{g}$，因为$m_{\mathrm{铝}}＞m_{\mathrm{球}}$，所以铝球是空心的。
方法三：计算铝球中铝的体积：$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$，因为$V_{\mathrm{铝}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以铝球是空心的。
【答案】方法一:铝球的密度为$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.08\ \mathrm{g/cm}^3$,因为$\rho_{\mathrm{球}}＜\rho_{\mathrm{铝}}$,所以铝球是空心的。方法二:同体积铝的质量为$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}\ V_{\mathrm{球}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=1350\ \mathrm{g}$,因为$m_{\mathrm{铝}}＞m_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。方法三:铝球中铝的体积为$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$,因为$V_{\mathrm{铝}}＜V_{\mathrm{球}}$,所以铝球是空心的。
【知识点】密度公式应用，空心实心鉴别，物质密度
【点评】本题是密度知识在实际中的典型应用，核心是灵活运用密度公式及其变形，通过三种不同角度的计算鉴别空心，难度适中，能考查学生对密度概念的理解与运用能力。
【难度系数】0.6
6. (★★★)某市地标建筑为一花岗石打造的石像,石像体积约为53 m³,取一小块该石像同种材质的样品,测出它的质量为140 g,体积为50 cm³。一些物质的密度见下表。求:
(1)石像的密度是多少?
(2)石像的质量约是多少?
(3)小明购买了当地文旅推出的该石像纪念币,他利用天平和量筒测出纪念币的质量是20.4 g,体积是2.3 cm³,请通过计算判断该纪念币可能是由什么材料制成的。
(1)石像的密度是多少?
(2)石像的质量约是多少?
(3)小明购买了当地文旅推出的该石像纪念币,他利用天平和量筒测出纪念币的质量是20.4 g,体积是2.3 cm³,请通过计算判断该纪念币可能是由什么材料制成的。
答案
(1)石像与样品材质相同,密度相同,则石像的密度$\rho_1=\frac{m_1}{V_1}=\frac{140\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=2.8\ \mathrm{g/cm}^3=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2)石像的质量$m_2=\rho_1 V_2=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×53\ \mathrm{m}^3=1.484×10^5\ \mathrm{kg}$。
(3)纪念币的密度$\rho_3=\frac{m_3}{V_3}=\frac{20.4\ \mathrm{g}}{2.3\ \mathrm{cm}^3}\approx8.87\ \mathrm{g/cm}^3=8.87×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。对照题表,纪念币的密度与铜的密度最接近,故该纪念币可能是由铜制成的。
(2)石像的质量$m_2=\rho_1 V_2=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×53\ \mathrm{m}^3=1.484×10^5\ \mathrm{kg}$。
(3)纪念币的密度$\rho_3=\frac{m_3}{V_3}=\frac{20.4\ \mathrm{g}}{2.3\ \mathrm{cm}^3}\approx8.87\ \mathrm{g/cm}^3=8.87×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。对照题表,纪念币的密度与铜的密度最接近,故该纪念币可能是由铜制成的。
解析
【分析】
本题解题思路：首先，同种物质的密度相同，因此石像的密度等于其样品的密度，需利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算样品密度，得到石像的密度；接着，根据密度公式的变形$m=\rho V$，代入石像的体积即可计算石像的质量；最后，计算纪念币的密度，将其与表格中各物质的密度对比，判断纪念币的制作材料。
【解析】
(1) 由于石像与样品为同种材质，密度相同。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，样品的质量$m_1=140\ \mathrm{g}$，体积$V_1=50\ \mathrm{cm}^3$，则石像的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{140\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=2.8\ \mathrm{g/cm}^3=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2) 已知石像体积$V_2=53\ \mathrm{m}^3$，由$m=\rho V$可得，石像的质量：
$m_2=\rho V_2=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×53\ \mathrm{m}^3=1.484×10^5\ \mathrm{kg}$。
(3) 纪念币的质量$m_3=20.4\ \mathrm{g}$，体积$V_3=2.3\ \mathrm{cm}^3$，其密度：
$\rho_3=\frac{m_3}{V_3}=\frac{20.4\ \mathrm{g}}{2.3\ \mathrm{cm}^3}\approx8.87\ \mathrm{g/cm}^3=8.87×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
对比表格中各物质密度，铜的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，与纪念币密度最接近，因此该纪念币可能由铜制成。
【答案】
(1) $2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(2) $1.484×10^5\ \mathrm{kg}$；(3) 铜
【知识点】
密度的计算、密度的应用
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的应用，利用同种物质密度相同的特性计算石像密度与质量，再通过密度鉴别纪念币材料，是密度知识在生活中的典型应用，难度适中，需灵活运用密度公式解决问题。
【难度系数】
0.6
本题解题思路：首先，同种物质的密度相同，因此石像的密度等于其样品的密度，需利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算样品密度，得到石像的密度；接着，根据密度公式的变形$m=\rho V$，代入石像的体积即可计算石像的质量；最后，计算纪念币的密度，将其与表格中各物质的密度对比，判断纪念币的制作材料。
【解析】
(1) 由于石像与样品为同种材质，密度相同。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，样品的质量$m_1=140\ \mathrm{g}$，体积$V_1=50\ \mathrm{cm}^3$，则石像的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{140\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=2.8\ \mathrm{g/cm}^3=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2) 已知石像体积$V_2=53\ \mathrm{m}^3$，由$m=\rho V$可得，石像的质量：
$m_2=\rho V_2=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×53\ \mathrm{m}^3=1.484×10^5\ \mathrm{kg}$。
(3) 纪念币的质量$m_3=20.4\ \mathrm{g}$，体积$V_3=2.3\ \mathrm{cm}^3$，其密度：
$\rho_3=\frac{m_3}{V_3}=\frac{20.4\ \mathrm{g}}{2.3\ \mathrm{cm}^3}\approx8.87\ \mathrm{g/cm}^3=8.87×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
对比表格中各物质密度，铜的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，与纪念币密度最接近，因此该纪念币可能由铜制成。
【答案】
(1) $2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(2) $1.484×10^5\ \mathrm{kg}$；(3) 铜
【知识点】
密度的计算、密度的应用
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的应用，利用同种物质密度相同的特性计算石像密度与质量，再通过密度鉴别纪念币材料，是密度知识在生活中的典型应用，难度适中，需灵活运用密度公式解决问题。
【难度系数】
0.6
7. (★★★)如图6.4-2所示为新一代智能自行车,在保留经典外形设计的同时,仅更换了车身的金属材料,使得自行车整体轻量化。若一辆新一代智能自行车的总质量为15.58 kg,其所使用的钪合金质量为10.64 kg,钪合金密度为$2.8×10^3 kg/m^3$,其中橡胶和钪合金各占自行车总体积的一半。请计算:
(1)这辆自行车所用钪合金的体积。
(2)自行车所使用橡胶的密度。
(3)新一代智能自行车与外形相同的老款自行车相比,质量减轻了9.88 kg,则老款自行车所使用的金属材料的密度约为多少?
图6.4-2
(1)这辆自行车所用钪合金的体积。
(2)自行车所使用橡胶的密度。
(3)新一代智能自行车与外形相同的老款自行车相比,质量减轻了9.88 kg,则老款自行车所使用的金属材料的密度约为多少?
图6.4-2
答案
(1)由$\rho=\frac{m}{V}$可得,自行车所用钪合金的体积为$V_{\mathrm{钪}}=\frac{m_{\mathrm{钪}}}{\rho_{\mathrm{钪}}}=\frac{10.64\ \mathrm{kg}}{2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2)自行车所使用橡胶的质量为$m_1=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{钪}}=15.58\ \mathrm{kg}-10.64\ \mathrm{kg}=4.94\ \mathrm{kg}$,由题意可知,自行车所使用橡胶的体积为$V_1=V_{\mathrm{钪}}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则橡胶的密度为$\rho_{\mathrm{橡胶}}=\frac{m_1}{V_1}=\frac{4.94\ \mathrm{kg}}{3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3)由题意可知,新一代智能自行车与老款自行车所使用的金属材料的体积是相同的,则老款自行车金属材料的体积为$V_2=V_{\mathrm{钪}}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。新一代智能自行车的质量减轻了9.88 kg,故老款自行车所使用的金属材料的质量为$m_2=m_{\mathrm{钪}}+m_0=10.64\ \mathrm{kg}+9.88\ \mathrm{kg}=20.52\ \mathrm{kg}$,所以老款自行车所使用的金属材料的密度为$\rho_{\mathrm{金属}}=\frac{m_2}{V_2}=\frac{20.52\ \mathrm{kg}}{3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=5.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
本题围绕密度公式的应用展开，解题时需明确各部分的质量、体积关系：(1)求钪合金体积，直接利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$，代入钪合金的质量和密度即可；(2)求橡胶密度，先通过总质量减去钪合金质量得到橡胶质量，再根据“橡胶和钪合金体积相等”的条件，结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算；(3)老款金属材料体积与钪合金体积相同，老款金属质量为钪合金质量加上减轻的质量，再用密度公式计算其密度。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得钪合金的体积：
$V_{\mathrm{钪}}=\frac{m_{\mathrm{钪}}}{\rho_{\mathrm{钪}}}=\frac{10.64\ \mathrm{kg}}{2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 橡胶的质量：
$m_{\mathrm{橡胶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{钪}}=15.58\ \mathrm{kg}-10.64\ \mathrm{kg}=4.94\ \mathrm{kg}$，
由题意知，橡胶体积等于钪合金体积，即$V_{\mathrm{橡胶}}=V_{\mathrm{钪}}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
则橡胶的密度：
$\rho_{\mathrm{橡胶}}=\frac{m_{\mathrm{橡胶}}}{V_{\mathrm{橡胶}}}=\frac{4.94\ \mathrm{kg}}{3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 老款自行车金属材料的体积与钪合金体积相同，即$V_{\mathrm{金属}}=V_{\mathrm{钪}}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
老款金属材料的质量：
$m_{\mathrm{金属}}=m_{\mathrm{钪}}+\Delta m=10.64\ \mathrm{kg}+9.88\ \mathrm{kg}=20.52\ \mathrm{kg}$，
则老款金属材料的密度：
$\rho_{\mathrm{金属}}=\frac{m_{\mathrm{金属}}}{V_{\mathrm{金属}}}=\frac{20.52\ \mathrm{kg}}{3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=5.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；(2) $1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $5.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用，质量体积计算，物质密度求解
【点评】
本题是密度公式的典型应用题目，需准确把握各物质间的质量、体积关系，逐步代入公式计算，考查学生对密度公式的灵活运用能力，属于中等难度的计算题。
【难度系数】
0.5
本题围绕密度公式的应用展开，解题时需明确各部分的质量、体积关系：(1)求钪合金体积，直接利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$，代入钪合金的质量和密度即可；(2)求橡胶密度，先通过总质量减去钪合金质量得到橡胶质量，再根据“橡胶和钪合金体积相等”的条件，结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算；(3)老款金属材料体积与钪合金体积相同，老款金属质量为钪合金质量加上减轻的质量，再用密度公式计算其密度。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得钪合金的体积：
$V_{\mathrm{钪}}=\frac{m_{\mathrm{钪}}}{\rho_{\mathrm{钪}}}=\frac{10.64\ \mathrm{kg}}{2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 橡胶的质量：
$m_{\mathrm{橡胶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{钪}}=15.58\ \mathrm{kg}-10.64\ \mathrm{kg}=4.94\ \mathrm{kg}$，
由题意知，橡胶体积等于钪合金体积，即$V_{\mathrm{橡胶}}=V_{\mathrm{钪}}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
则橡胶的密度：
$\rho_{\mathrm{橡胶}}=\frac{m_{\mathrm{橡胶}}}{V_{\mathrm{橡胶}}}=\frac{4.94\ \mathrm{kg}}{3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 老款自行车金属材料的体积与钪合金体积相同，即$V_{\mathrm{金属}}=V_{\mathrm{钪}}=3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
老款金属材料的质量：
$m_{\mathrm{金属}}=m_{\mathrm{钪}}+\Delta m=10.64\ \mathrm{kg}+9.88\ \mathrm{kg}=20.52\ \mathrm{kg}$，
则老款金属材料的密度：
$\rho_{\mathrm{金属}}=\frac{m_{\mathrm{金属}}}{V_{\mathrm{金属}}}=\frac{20.52\ \mathrm{kg}}{3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=5.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $3.8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；(2) $1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $5.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用，质量体积计算，物质密度求解
【点评】
本题是密度公式的典型应用题目，需准确把握各物质间的质量、体积关系，逐步代入公式计算，考查学生对密度公式的灵活运用能力，属于中等难度的计算题。
【难度系数】
0.5
