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1.抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 + x +1$ 经平移后，不可能得到的抛物线是 （
A.$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2 -4$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2 +2021x -2022$
D.$y=-x^2 +x +1$
D
）A.$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2 -4$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2 +2021x -2022$
D.$y=-x^2 +x +1$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确抛物线平移的核心性质：抛物线的平移只会改变图象的位置，不会改变图象的形状和开口方向，而二次函数的形状和开口方向由二次项系数a决定，因此平移前后二次项系数a的取值完全相同。我们只需要对比各选项的二次项系数和原抛物线的二次项系数是否一致，不一致的就是无法通过平移得到的抛物线。
【解析】
首先确定原抛物线的二次项系数：原抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + x +1$的二次项系数$a=-\frac{1}{2}$。
根据抛物线平移的性质：平移前后抛物线的二次项系数$a$保持不变。
逐个分析选项：
A选项：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，和原系数一致，可以通过平移得到；
B选项：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 -4$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，和原系数一致，可以通过平移得到；
C选项：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +2021x -2022$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，和原系数一致，可以通过平移得到；
D选项：抛物线$y=-x^2 +x +1$的二次项系数为$-1$，和原系数$-\frac{1}{2}$不相等，因此不可能通过平移得到。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数平移相关的基础题，解题关键是掌握平移不改变二次项系数这一核心性质，无需计算平移方式即可快速判断，能有效考查对平移本质的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确抛物线平移的核心性质：抛物线的平移只会改变图象的位置，不会改变图象的形状和开口方向，而二次函数的形状和开口方向由二次项系数a决定，因此平移前后二次项系数a的取值完全相同。我们只需要对比各选项的二次项系数和原抛物线的二次项系数是否一致，不一致的就是无法通过平移得到的抛物线。
【解析】
首先确定原抛物线的二次项系数：原抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + x +1$的二次项系数$a=-\frac{1}{2}$。
根据抛物线平移的性质：平移前后抛物线的二次项系数$a$保持不变。
逐个分析选项：
A选项：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + x$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，和原系数一致，可以通过平移得到；
B选项：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 -4$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，和原系数一致，可以通过平移得到；
C选项：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +2021x -2022$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，和原系数一致，可以通过平移得到；
D选项：抛物线$y=-x^2 +x +1$的二次项系数为$-1$，和原系数$-\frac{1}{2}$不相等，因此不可能通过平移得到。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数平移相关的基础题，解题关键是掌握平移不改变二次项系数这一核心性质，无需计算平移方式即可快速判断，能有效考查对平移本质的理解。
【难度系数】
0.8
2.二次函数$y=(x+1)^2 -2$的图象大致是（
C
）答案
2.C
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可按步骤分析：第一步先根据二次项系数判断开口方向，排除不符合的选项；第二步根据顶点式确定抛物线的顶点坐标与对称轴，排除顶点位置不符的选项；第三步可通过计算抛物线与坐标轴的交点位置，进一步验证得到正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x+1)^2 -2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的A选项；
2. 确定顶点位置：该函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应顶点坐标为$(h,k)$，因此本题中抛物线顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$，顶点位于第三象限。B选项顶点在x轴正半轴下方，顶点横坐标为正，不符合特征，排除B选项；
3. 验证与坐标轴交点：
① 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=(0+1)^2-2=-1$，即抛物线与y轴交于$(0,-1)$，在y轴负半轴；
② 求与x轴交点：令$y=0$，得$(x+1)^2-2=0$，解得$x=-1±\sqrt{2}$，其中$-1+\sqrt{2}＞0$，$-1-\sqrt{2}＜0$，即抛物线与x轴的两个交点，一个在x轴正半轴，一个在x轴负半轴。D选项两个交点均在x轴负半轴，不符合特征，排除D选项。
综上，只有C选项符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，只需依次分析开口方向、顶点位置、与坐标轴交点这几个核心特征，即可快速排除错误选项得到答案，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可按步骤分析：第一步先根据二次项系数判断开口方向，排除不符合的选项；第二步根据顶点式确定抛物线的顶点坐标与对称轴，排除顶点位置不符的选项；第三步可通过计算抛物线与坐标轴的交点位置，进一步验证得到正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x+1)^2 -2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的A选项；
2. 确定顶点位置：该函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应顶点坐标为$(h,k)$，因此本题中抛物线顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$，顶点位于第三象限。B选项顶点在x轴正半轴下方，顶点横坐标为正，不符合特征，排除B选项；
3. 验证与坐标轴交点：
① 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=(0+1)^2-2=-1$，即抛物线与y轴交于$(0,-1)$，在y轴负半轴；
② 求与x轴交点：令$y=0$，得$(x+1)^2-2=0$，解得$x=-1±\sqrt{2}$，其中$-1+\sqrt{2}＞0$，$-1-\sqrt{2}＜0$，即抛物线与x轴的两个交点，一个在x轴正半轴，一个在x轴负半轴。D选项两个交点均在x轴负半轴，不符合特征，排除D选项。
综上，只有C选项符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，只需依次分析开口方向、顶点位置、与坐标轴交点这几个核心特征，即可快速排除错误选项得到答案，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.在平面直角坐标系中,将二次函数$y=(x-1)^2+1$的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的表达式为（
A.$y=(x-2)^2-1$
B.$y=(x-2)^2+3$
C.$y=x^2+1$
D.$y=x^2-1$
D
）A.$y=(x-2)^2-1$
B.$y=(x-2)^2+3$
C.$y=x^2+1$
D.$y=x^2-1$
答案
3.D
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”：①左右平移是针对自变量x进行变化，向左平移m个单位，就把原式中的x替换为x+m；向右平移m个单位，就把原式中的x替换为x-m。②上下平移是针对函数整体进行变化，向上平移n个单位，就在整个表达式后加n；向下平移n个单位，就在整个表达式后减n。我们可以按照题目的平移顺序逐步代入计算，也可以通过平移顶点坐标的方法得到新函数的顶点式。
【解析】
方法一：用平移规律直接计算
原二次函数表达式为$y=(x-1)^2+1$
第一步：向左平移1个单位长度，将x替换为$x+1$，得：
$y=(x+1-1)^2+1 = x^2 + 1$
第二步：再向下平移2个单位长度，在表达式整体后减2，得：
$y=x^2 +1 -2 = x^2 -1$
方法二：平移顶点坐标计算
原二次函数$y=(x-1)^2+1$是顶点式，顶点坐标为$(1,1)$
将顶点向左平移1个单位长度，横坐标变为$1-1=0$；再向下平移2个单位长度，纵坐标变为$1-2=-1$
即平移后新抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$，代入顶点式$y=(x-h)^2 +k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得$y=x^2 -1$
【答案】D
【知识点】二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】本题是二次函数平移的基础题型，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，无论是直接变换表达式还是通过顶点平移计算，都能快速得出正确结果。
【难度系数】0.8
解决这道题的核心是掌握二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”：①左右平移是针对自变量x进行变化，向左平移m个单位，就把原式中的x替换为x+m；向右平移m个单位，就把原式中的x替换为x-m。②上下平移是针对函数整体进行变化，向上平移n个单位，就在整个表达式后加n；向下平移n个单位，就在整个表达式后减n。我们可以按照题目的平移顺序逐步代入计算，也可以通过平移顶点坐标的方法得到新函数的顶点式。
【解析】
方法一：用平移规律直接计算
原二次函数表达式为$y=(x-1)^2+1$
第一步：向左平移1个单位长度，将x替换为$x+1$，得：
$y=(x+1-1)^2+1 = x^2 + 1$
第二步：再向下平移2个单位长度，在表达式整体后减2，得：
$y=x^2 +1 -2 = x^2 -1$
方法二：平移顶点坐标计算
原二次函数$y=(x-1)^2+1$是顶点式，顶点坐标为$(1,1)$
将顶点向左平移1个单位长度，横坐标变为$1-1=0$；再向下平移2个单位长度，纵坐标变为$1-2=-1$
即平移后新抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$，代入顶点式$y=(x-h)^2 +k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得$y=x^2 -1$
【答案】D
【知识点】二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】本题是二次函数平移的基础题型，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，无论是直接变换表达式还是通过顶点平移计算，都能快速得出正确结果。
【难度系数】0.8
抛物线$y=2(x+9)^2 - 3$的顶点坐标是
(-9,-3)
.答案
4.(-9,-3)
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先明确二次函数顶点式的标准形式，再将题中所给解析式与标准形式对应，重点注意括号内x的运算符号与标准式中减号的转换，即可确定顶点的横、纵坐标，得到最终结果。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$，$a$、$h$、$k$为常数），该形式对应的抛物线顶点坐标为$(h,k)$。
将题中解析式$y=2(x+9)^2-3$变形为符合顶点式标准的形式：$y=2[x-(-9)]^2+(-3)$，对应可得$h=-9$，$k=-3$，因此抛物线的顶点坐标为$(-9,-3)$。
【答案】
$(-9,-3)$
【知识点】
二次函数的顶点式、二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式结构的掌握，解题的易错点是容易忽略标准式中$h$前为减号，错将顶点横坐标写为9，只要熟记顶点式的对应规律，仔细核对符号即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先明确二次函数顶点式的标准形式，再将题中所给解析式与标准形式对应，重点注意括号内x的运算符号与标准式中减号的转换，即可确定顶点的横、纵坐标，得到最终结果。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$，$a$、$h$、$k$为常数），该形式对应的抛物线顶点坐标为$(h,k)$。
将题中解析式$y=2(x+9)^2-3$变形为符合顶点式标准的形式：$y=2[x-(-9)]^2+(-3)$，对应可得$h=-9$，$k=-3$，因此抛物线的顶点坐标为$(-9,-3)$。
【答案】
$(-9,-3)$
【知识点】
二次函数的顶点式、二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式结构的掌握，解题的易错点是容易忽略标准式中$h$前为减号，错将顶点横坐标写为9，只要熟记顶点式的对应规律，仔细核对符号即可得分。
【难度系数】
0.9
5.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是
$y=2x^2-1$(答案不唯一)
.答案
5.$y=2x^2-1$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时优先利用二次函数顶点式求解：已知顶点坐标时，可设顶点式为$ y=a(x-h)^2 + k $（$ a≠0 $，$(h,k)$为顶点坐标），代入题目给出的顶点坐标$(0,-1)$可简化解析式形式；再结合“图象开口向上”的条件，得到二次项系数$a＞0$，任取一个大于0的$a$值，即可得到符合要求的二次函数表达式，答案不唯一。
【解析】
解：设该二次函数的表达式为顶点式$ y = a(x-h)^2 + k $（$ a ≠ 0 $），
∵ 二次函数的顶点坐标为$ (0,-1) $，
∴ $ h=0 $，$ k=-1 $，代入顶点式得$ y = ax^2 -1 $，
又
∵ 二次函数图象开口向上，
∴ $ a＞0 $，
取$ a=2 $，可得二次函数表达式为$ y=2x^2 -1 $，
注：只要满足$ a＞0 $的表达式都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$ y=2x^2-1 $（答案不唯一）
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数图象性质
3.待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的应用，解题关键是掌握顶点式中各参数的意义，结合开口方向对二次项系数的限制即可求解，解题时注意答案不唯一，只要满足条件即可。
【难度系数】
0.85
解题时优先利用二次函数顶点式求解：已知顶点坐标时，可设顶点式为$ y=a(x-h)^2 + k $（$ a≠0 $，$(h,k)$为顶点坐标），代入题目给出的顶点坐标$(0,-1)$可简化解析式形式；再结合“图象开口向上”的条件，得到二次项系数$a＞0$，任取一个大于0的$a$值，即可得到符合要求的二次函数表达式，答案不唯一。
【解析】
解：设该二次函数的表达式为顶点式$ y = a(x-h)^2 + k $（$ a ≠ 0 $），
∵ 二次函数的顶点坐标为$ (0,-1) $，
∴ $ h=0 $，$ k=-1 $，代入顶点式得$ y = ax^2 -1 $，
又
∵ 二次函数图象开口向上，
∴ $ a＞0 $，
取$ a=2 $，可得二次函数表达式为$ y=2x^2 -1 $，
注：只要满足$ a＞0 $的表达式都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$ y=2x^2-1 $（答案不唯一）
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数图象性质
3.待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的应用，解题关键是掌握顶点式中各参数的意义，结合开口方向对二次项系数的限制即可求解，解题时注意答案不唯一，只要满足条件即可。
【难度系数】
0.85
6.在平面直角坐标系中,抛物线的函数表达式为$y=ax^2+2bx+2b-a(a≠0)$.
(1)当$x=-1$时,求$y$的值.
(2)将抛物线向左平移2个单位长度后,恰经过点$(-1,0)$,求$b$的值.
(1)当$x=-1$时,求$y$的值.
(2)将抛物线向左平移2个单位长度后,恰经过点$(-1,0)$,求$b$的值.
答案
6.解:(1)当$x=-1$时,$y=a-2b+2b-a=0$.
(2)
∵将抛物线向左平移2个单位后,恰经过点$(-1,0)$,
∴原抛物线经过$(1,0)$,把$(1,0)$代入解析式,得$0=a+2b+2b-a$,
∴$b=0$.
(2)
∵将抛物线向左平移2个单位后,恰经过点$(-1,0)$,
∴原抛物线经过$(1,0)$,把$(1,0)$代入解析式,得$0=a+2b+2b-a$,
∴$b=0$.
解析
【分析】
(1) 第一问求x=-1对应的y值，思路很直接：将x=-1代入给定的抛物线解析式，合并同类项化简就能得到结果。
(2) 第二问考查二次函数平移规律，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则。已知平移后的抛物线过点(-1,0)，可以逆向推导：向左平移2个单位得到新抛物线，反过来原抛物线就经过将点(-1,0)向右平移2个单位得到的点(1,0)，再把(1,0)代入原解析式，消去参数a就能求出b的值。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入$y=ax^2+2bx+2b-a$中，计算得：
$\begin{aligned}y&=a×(-1)^2 + 2b×(-1) + 2b - a\\&=a - 2b + 2b - a\\&=0\end{aligned}$
(2)
∵抛物线向左平移2个单位后经过点$(-1,0)$，
∴原抛物线经过点$(-1+2,0)$，即$(1,0)$，
将$x=1,y=0$代入抛物线解析式得：
$\begin{aligned}0&=a×1^2 + 2b×1 + 2b - a\\0&=a + 4b - a\\0&=4b\end{aligned}$
解得$b=0$。
【答案】
(1) $y=0$；(2) $b=0$
【知识点】
二次函数代入求值；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数基础题，第一问侧重基础代入运算能力的考查，第二问既可以用平移逆向推导的方法求解，也可以正向写出平移后的解析式再代入点坐标计算，两种方法都围绕二次函数平移的核心概念，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问求x=-1对应的y值，思路很直接：将x=-1代入给定的抛物线解析式，合并同类项化简就能得到结果。
(2) 第二问考查二次函数平移规律，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则。已知平移后的抛物线过点(-1,0)，可以逆向推导：向左平移2个单位得到新抛物线，反过来原抛物线就经过将点(-1,0)向右平移2个单位得到的点(1,0)，再把(1,0)代入原解析式，消去参数a就能求出b的值。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入$y=ax^2+2bx+2b-a$中，计算得：
$\begin{aligned}y&=a×(-1)^2 + 2b×(-1) + 2b - a\\&=a - 2b + 2b - a\\&=0\end{aligned}$
(2)
∵抛物线向左平移2个单位后经过点$(-1,0)$，
∴原抛物线经过点$(-1+2,0)$，即$(1,0)$，
将$x=1,y=0$代入抛物线解析式得：
$\begin{aligned}0&=a×1^2 + 2b×1 + 2b - a\\0&=a + 4b - a\\0&=4b\end{aligned}$
解得$b=0$。
【答案】
(1) $y=0$；(2) $b=0$
【知识点】
二次函数代入求值；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数基础题，第一问侧重基础代入运算能力的考查，第二问既可以用平移逆向推导的方法求解，也可以正向写出平移后的解析式再代入点坐标计算，两种方法都围绕二次函数平移的核心概念，难度较低。
【难度系数】
0.8
