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11. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB = BC，点E在$\overset{\frown}{AD}$上，连结DE，AE，CE。若CE为$\odot O$的直径，设$∠ ADE = α$，$∠ BCE = β$，则下列关于$α$与$β$的等量关系正确的是（
A.$β=2α$
B.$α+β=90°$
C.$2β-α=90°$
D.$2β+α=180°$
B
）A.$β=2α$
B.$α+β=90°$
C.$2β-α=90°$
D.$2β+α=180°$
答案
11. B
12. 如图,在圆内接四边形ABCD中,延长AB,DC交于点E,在DE上方作△EFG,使点F在线段DE上,且∠1=∠2,连结DG。
(1)若∠1=35°,B为$\overset{\frown}{AC}$的中点,求∠ADC的度数。
(2)连结BD,当∠BDG=∠BEG时。
①求证:四边形BEGD是平行四边形。
②若∠3=∠DAB,求证:BC=FG。
(1)若∠1=35°,B为$\overset{\frown}{AC}$的中点,求∠ADC的度数。
(2)连结BD,当∠BDG=∠BEG时。
①求证:四边形BEGD是平行四边形。
②若∠3=∠DAB,求证:BC=FG。
答案
12. (1)连结 $BD$,如图 1 所示。$\because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 1 = 35°, \therefore ∠ 2 = 35°$,由圆周角定理,得 $∠ CDB = ∠ 2 = 35°$。$\because$ 点 $B$ 为弧 $AC$ 的中点, $\therefore ∠ ADB = ∠ 2 = 35°, \therefore ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB = 70°$
(2) ①连结 $BD$,如图 2①所示。$\because ∠ CDB = ∠ 2, ∠ 1 = ∠ 2, \therefore ∠ CDB = ∠ 1, \therefore BD // CE$。$\because ∠ BDG = ∠ BEG, \therefore ∠ CDB + ∠ GDE = ∠ BED + ∠ 1$。$\because ∠ CDB = ∠ 1, \therefore ∠ GDE = ∠ BED, \therefore DG // BE$。又$\because BD // CE, \therefore$ 四边形 $BEGD$ 是平行四边形
②过点 $B$ 作 $BP // DE$ 交圆于点 $P$,连结 $PD, BD$,如图 2②所示, $\therefore ∠ CDB = ∠ PBD, \therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{PD}, \therefore BC = PD$。由圆周角定理得 $∠ P = ∠ DAB$。$\because ∠ 3 = ∠ DAB, \therefore ∠ P = ∠ 3$。$\because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ CDB = ∠ 2, ∠ CDB = ∠ PBD, \therefore ∠ PBD = ∠ 1$。$\because$ 四边形 $BEGD$ 是平行四边形, $\therefore BD = EG$,在$△ PBD$ 和 $△ FEG$ 中,$\begin{cases}∠ P = ∠ 3,\\∠ PBD = ∠ 1,\\BD = EG,\end{cases}$$\therefore △ PBD ≌ △ FEG (\mathrm{AAS}), \therefore PD = FG, \therefore BC = FG$。
解析
【分析】
（1）求∠ADC的度数可通过拆分角求解：先连接BD，利用圆周角定理可得∠CDB=∠2；再结合B是$\overset{\frown}{AC}$中点的性质，得到∠ADB=∠2，将两个角相加即可求出∠ADC。
（2）①证明平行四边形需证两组对边分别平行：首先由∠1=∠2和圆周角定理推出∠CDB=∠1，可证BD//EG；再结合已知∠BDG=∠BEG，推导得到∠GDE=∠BED，可证DG//BE，即可判定四边形BEGD为平行四边形。
②证明BC=FG可通过等量转化求解：先作BP//DE交圆于P，连接PD、BD，由平行得圆周角相等，进而推出$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{PD}$，即BC=PD；再结合已知角相等和平行四边形的性质，证明△PBD≌△FEG，得到PD=FG，即可等量代换得BC=FG。
【解析】
(1) 连结 $BD$，如图1所示。
$\because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 1 = 35°, \therefore ∠ 2 = 35°$，
由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得 $∠ CDB = ∠ 2 = 35°$。
$\because$ 点 $B$ 为$\overset{\frown}{AC}$ 的中点，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，对应的圆周角相等，即$∠ ADB = ∠ 2 = 35°$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB = 35°+35°=70°$。
(2) ①连结 $BD$，如图2①所示。
$\because$ 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CDB = ∠ 2$，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2, \therefore ∠ CDB = ∠ 1$，$\therefore BD // EG$（同位角相等，两直线平行）。
$\because ∠ BDG = ∠ BEG, \therefore ∠ CDB + ∠ GDE = ∠ BED + ∠ 1$，
又$\because ∠ CDB = ∠ 1, \therefore ∠ GDE = ∠ BED$，$\therefore DG // BE$（内错角相等，两直线平行）。
$\because BD // EG$且$DG // BE$，$\therefore$ 四边形 $BEGD$ 是平行四边形。
②过点 $B$ 作 $BP // DE$ 交圆于点 $P$，连结 $PD, BD$，如图2②所示，
$\because BP // DE, \therefore ∠ CDB = ∠ PBD$，相等的圆周角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{PD}$，
由等弧对等弦得$BC = PD$。
由圆周角定理得 $∠ P = ∠ DAB$，$\because ∠ 3 = ∠ DAB, \therefore ∠ P = ∠ 3$。
$\because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ CDB = ∠ 2, ∠ CDB = ∠ PBD, \therefore ∠ PBD = ∠ 1$。
$\because$ 四边形 $BEGD$ 是平行四边形，$\therefore BD = EG$，
在$△ PBD$ 和 $△ FEG$ 中，
$\begin{cases}∠ P = ∠ 3,\\∠ PBD = ∠ 1,\\BD = EG,\end{cases}$
$\therefore △ PBD ≌ △ FEG (\mathrm{AAS}), \therefore PD = FG$，
又$\because BC = PD, \therefore BC = FG$。
【答案】
12. (1) $\boxed{70°}$
(2) ①证明见上述解析；②证明见上述解析
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为圆与四边形的综合题，融合了圆的基本性质、平行四边形判定、全等三角形的应用等考点，解题的关键是合理添加辅助线，完成角、弧、边之间的关系转化，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）求∠ADC的度数可通过拆分角求解：先连接BD，利用圆周角定理可得∠CDB=∠2；再结合B是$\overset{\frown}{AC}$中点的性质，得到∠ADB=∠2，将两个角相加即可求出∠ADC。
（2）①证明平行四边形需证两组对边分别平行：首先由∠1=∠2和圆周角定理推出∠CDB=∠1，可证BD//EG；再结合已知∠BDG=∠BEG，推导得到∠GDE=∠BED，可证DG//BE，即可判定四边形BEGD为平行四边形。
②证明BC=FG可通过等量转化求解：先作BP//DE交圆于P，连接PD、BD，由平行得圆周角相等，进而推出$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{PD}$，即BC=PD；再结合已知角相等和平行四边形的性质，证明△PBD≌△FEG，得到PD=FG，即可等量代换得BC=FG。
【解析】
(1) 连结 $BD$，如图1所示。
$\because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 1 = 35°, \therefore ∠ 2 = 35°$，
由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得 $∠ CDB = ∠ 2 = 35°$。
$\because$ 点 $B$ 为$\overset{\frown}{AC}$ 的中点，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，对应的圆周角相等，即$∠ ADB = ∠ 2 = 35°$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB = 35°+35°=70°$。
(2) ①连结 $BD$，如图2①所示。
$\because$ 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CDB = ∠ 2$，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2, \therefore ∠ CDB = ∠ 1$，$\therefore BD // EG$（同位角相等，两直线平行）。
$\because ∠ BDG = ∠ BEG, \therefore ∠ CDB + ∠ GDE = ∠ BED + ∠ 1$，
又$\because ∠ CDB = ∠ 1, \therefore ∠ GDE = ∠ BED$，$\therefore DG // BE$（内错角相等，两直线平行）。
$\because BD // EG$且$DG // BE$，$\therefore$ 四边形 $BEGD$ 是平行四边形。
②过点 $B$ 作 $BP // DE$ 交圆于点 $P$，连结 $PD, BD$，如图2②所示，
$\because BP // DE, \therefore ∠ CDB = ∠ PBD$，相等的圆周角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{PD}$，
由等弧对等弦得$BC = PD$。
由圆周角定理得 $∠ P = ∠ DAB$，$\because ∠ 3 = ∠ DAB, \therefore ∠ P = ∠ 3$。
$\because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ CDB = ∠ 2, ∠ CDB = ∠ PBD, \therefore ∠ PBD = ∠ 1$。
$\because$ 四边形 $BEGD$ 是平行四边形，$\therefore BD = EG$，
在$△ PBD$ 和 $△ FEG$ 中，
$\begin{cases}∠ P = ∠ 3,\\∠ PBD = ∠ 1,\\BD = EG,\end{cases}$
$\therefore △ PBD ≌ △ FEG (\mathrm{AAS}), \therefore PD = FG$，
又$\because BC = PD, \therefore BC = FG$。
【答案】
12. (1) $\boxed{70°}$
(2) ①证明见上述解析；②证明见上述解析
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为圆与四边形的综合题，融合了圆的基本性质、平行四边形判定、全等三角形的应用等考点，解题的关键是合理添加辅助线，完成角、弧、边之间的关系转化，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
