9. [与T7互为孪生题][2025·威海中考]已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2 +c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（）

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$

C

【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先分析二次函数的基本性质：该函数是顶点式，首先确定开口方向和对称轴。因为二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，c为常数不影响三个函数值的大小比较，无需代入计算。接下来先找到对称轴为直线x=2，再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可对应得到y值的大小关系。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=-(x-2)^2 +c$
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$
∵$1＜4＜5$
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题关键是明确开口方向和对称轴，利用点到对称轴的距离判断函数值大小，相比代入计算具体数值的方法更简便高效。
【难度系数】
0.8

10. [与T1互为孪生题]在平面直角坐标系中，
如果抛物线$y=2x^2$不动，而把x轴、y轴分
别向上、向右平移2个单位长度，那么在新平
面直角坐标系下抛物线对应的函数表达式是
（）

A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$

B

【分析】
解决这类问题的核心是理解坐标轴平移与函数图像平移的相对关系：坐标轴的平移方向，和函数图像相对于新坐标系的平移方向恰好相反。本题中x轴向上平移2个单位、y轴向右平移2个单位，等价于固定不动的抛物线相对于新坐标系向下平移2个单位、向左平移2个单位。之后再结合二次函数图像“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律，就能逐步推导得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
第一步：推导抛物线相对于新坐标系的平移方向：
y轴向右平移2个单位→抛物线相对于新y轴向左平移2个单位；
x轴向上平移2个单位→抛物线相对于新x轴向下平移2个单位。
第二步：结合二次函数平移规律计算新表达式：
原抛物线表达式为$y=2x^2$，
①向左平移2个单位，将自变量$x$替换为$x+2$，得$y=2(x+2)^2$；
②再向下平移2个单位，在表达式末尾减2，得$y=2(x+2)^2-2$。
综上，新坐标系下抛物线的函数表达式为$y=2(x+2)^2-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律、坐标平移的相对性
【点评】
本题是二次函数平移的典型变式题，易错点是容易混淆坐标轴平移和图像平移的方向，掌握二者的相对反向关系后，结合平移口诀即可快速求解。
【难度系数】
0.6

11.已知抛物线$y=-2(x-3)^2+m$与$x$轴交于点$A(5,0)$，顶点为$B$.
(1)试确定$m$的值，并写出点$B$的坐标；
(2)若抛物线$y=-2(x-3)^2+m$与$y$轴交于点$C$，$D$是该抛物线上与点$C$关于对称轴对称的点，求点$D$的坐标；
(3)说明该函数图象如何平移得到函数$y=-2x^2$的图象.

(1)$m=8$,点B的坐标为$(3,8)$。
(2)点D的坐标为$(6,-10)$。
(3)该函数图象先向左平移3个单位长度,再向下平移8个单位长度,可得到函数$y=-2x^2$的图象.(平移方式不唯一,合理即可)

【分析】
(1) 已知抛物线经过点$A(5,0)$，将点$A$的坐标代入抛物线解析式即可建立关于$m$的方程，求解得到$m$的值；抛物线为顶点式，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接写出顶点$B$的坐标。
(2) 抛物线与$y$轴交点$C$的横坐标为0，将$x=0$代入已求得的抛物线解析式即可求出$C$点坐标；抛物线的对称轴为直线$x=3$，关于对称轴对称的两点纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等，据此可计算出$D$点的横坐标，进而得到$D$点坐标。
(3) 二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比原抛物线和目标抛物线的顶点坐标，即可确定平移方式。
【解析】
(1) 将点$A(5,0)$代入$y=-2(x-3)^2+m$，得：
$0=-2×(5-3)^2+m$
$0=-8+m$
解得$m=8$
则抛物线解析式为$y=-2(x-3)^2+8$，顶点$B$的坐标为$(3,8)$。
(2) 令$x=0$，代入$y=-2(x-3)^2+8$，得：
$y=-2×(0-3)^2+8=-18+8=-10$
∴点$C$的坐标为$(0,-10)$
抛物线的对称轴为直线$x=3$，点$D$与点$C$关于对称轴对称，故$D$的纵坐标为$-10$，设$D$的横坐标为$x$，则$\frac{x+0}{2}=3$，解得$x=6$
∴点$D$的坐标为$(6,-10)$。
(3) 原抛物线的顶点坐标为$(3,8)$，函数$y=-2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，根据平移规律：
将抛物线$y=-2(x-3)^2+8$先向左平移3个单位长度，再向下平移8个单位长度，即可得到$y=-2x^2$的图象（平移方式不唯一，合理即可）。
【答案】
(1)$m=8$，点$B$的坐标为$(3,8)$；
(2)点$D$的坐标为$(6,-10)$；
(3)该函数图象先向左平移3个单位长度，再向下平移8个单位长度，可得到函数$y=-2x^2$的图象(平移方式不唯一,合理即可)。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性；二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，围绕顶点式的核心知识点展开考查，解题思路清晰直接，熟练掌握二次函数的基础性质就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8

12. 如图,已知抛物线$y=-(x+1)^2+4$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
(1)分别求出点A,B,C的坐标.
(2)抛物线上是否存在一点P,使得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)点A,B,C的坐标分别是$(-3,0),(1,0),(0,3)$。
(2)存在,点P的坐标为$(-2,3)$或$(3,-12)$。

【分析】
(1) 求抛物线与坐标轴交点时，与x轴交点令y=0，解一元二次方程即可得到A、B坐标；与y轴交点令x=0，代入解析式直接计算就能得到C坐标。
(2) 先计算△ABC的面积，得出△PBC需要满足的面积值，再求出直线BC的解析式，利用三角形面积公式将面积条件转化为点P坐标满足的方程，结合抛物线解析式求解，根据方程解的情况判断点P是否存在并得到对应坐标。
【解析】
(1) 求解点A、B、C的坐标：
① 求x轴交点：令$y=0$，代入抛物线解析式$y=-(x+1)^2+4$，得：
$0=-(x+1)^2+4$
整理得$(x+1)^2=4$
开方得$x+1=±2$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$
因此A点坐标为$(-3,0)$，B点坐标为$(1,0)$。
② 求y轴交点：令$x=0$，代入解析式得：
$y=-(0+1)^2+4=3$
因此C点坐标为$(0,3)$。
(2) 判断是否存在点P并求坐标：
首先计算$S_{△ ABC}$：
AB的长度为$1-(-3)=4$，AB边上的高为C点纵坐标3，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×y_C=\frac{1}{2}×4×3=6$
由题意得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=3$。
求直线BC的解析式：设直线BC为$y=kx+b$，代入$B(1,0)$、$C(0,3)$得：
$\begin{cases}k+b=0\\b=3\end{cases}$
解得$k=-3,b=3$，即直线BC解析式为$y=-3x+3$，整理为一般式$3x+y-3=0$。
BC的长度为$\sqrt{(1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$。
设点P坐标为$(t, -(t+1)^2+4)$，即$P(t,-t^2-2t+3)$，点P到直线BC的距离为：
$d=\frac{|3t + (-t^2-2t+3)-3|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|t-t^2|}{\sqrt{10}}$
则$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×BC×d=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\frac{|t-t^2|}{\sqrt{10}}=\frac{|t-t^2|}{2}$
令$\frac{|t-t^2|}{2}=3$，即$|t^2-t|=6$，分两种情况讨论：
① $t^2-t=6$，整理得$t^2-t-6=0$，解得$t_1=3,t_2=-2$；
② $t^2-t=-6$，整理得$t^2-t+6=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×6=-23＜0$，无实根。
将t代入抛物线解析式：
当$t=-2$时，$y=-(-2+1)^2+4=3$，得$P(-2,3)$；
当$t=3$时，$y=-(3+1)^2+4=-12$，得$P(3,-12)$。
因此存在满足条件的点P。
【答案】
(1) $A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,3)$
(2) 存在，点P的坐标为$(-2,3)$或$(3,-12)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，三角形面积计算，二次函数与几何综合
【点评】
本题考查二次函数与三角形结合的应用，核心是掌握坐标轴交点的求解方法，能将面积条件转化为方程求解，注意解绝对值方程时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

13. [2024·合肥蜀山区期中]如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-2,0)$,$B(-2,2)$,$C(0,2)$,当抛物线$y=2(x-a)^2+2a$与四边形OABC的边有交点时,$a$的取值范围是 ()


A.$-1≤ a≤ 0$
B.$\dfrac{-5-\sqrt{13}}{2}≤ a≤ \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
C.$-4≤ a≤ \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}≤ a≤ \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

B

【分析】
首先明确四边形OABC是矩形，四条边的解析式及坐标范围分别为：OA边$y=0$（$-2≤x≤0$）、AB边$x=-2$（$0≤y≤2$）、BC边$y=2$（$-2≤x≤0$）、OC边$x=0$（$0≤y≤2$）。抛物线$y=2(x-a)^2+2a$开口向上，顶点为$(a,2a)$，随$a$变化平移。要找$a$的取值范围，只需分别求出抛物线与四边形有交点时$a$的最大值和最小值：最大值为抛物线刚好经过OC边上的点时的最大$a$，最小值为抛物线刚好经过AB边上的点时的最小$a$，分别代入边界条件解方程即可得到范围。
【解析】
1. 求$a$的最大值：
将OC边$x=0$代入抛物线解析式，得$y=2a^2+2a$，OC边$y$的取值范围是$0≤y≤2$，取边界$y=2$求解最大$a$：
$2a^2+2a=2$，化简得$a^2+a-1=0$，
由一元二次方程求根公式得$a=\frac{-1±\sqrt{1^2+4×1×1}}{2}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
取较大的根得$a_{max}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
2. 求$a$的最小值：
将AB边$x=-2$代入抛物线解析式，得$y=2(-2-a)^2+2a$，AB边$y$的取值范围是$0≤y≤2$，取边界$y=2$求解最小$a$：
$2(-2-a)^2+2a=2$，两边除以2得$(a+2)^2+a=1$，
展开化简得$a^2+5a+3=0$，
由求根公式得$a=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×3}}{2}=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}$，
取较小的根得$a_{min}=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{-5-\sqrt{13}}{2}≤ a≤ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质,二次函数交点问题,一元二次方程求解
【点评】
本题考查二次函数平移与几何交点问题，核心是结合图形边界的坐标特征代入抛物线解析式求解临界值，注意对根的合理性进行取舍。
【难度系数】
0.4