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1.已知二次函数$y=a(x+h)^2+k$，若图象开口向上，则$a$的取值范围是
a＞0
；若图象的对称轴为直线$x=-1$，则$h=$1
；若图象的顶点坐标为$(-1,-2)$，则$k=$-2
。答案
1. a＞0 1 -2
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题时可逐个对应参数的几何意义求解：①首先回忆二次函数开口方向与二次项系数a的关系，开口向上对应a为正数；②再回忆顶点式的对称轴公式，结合给出的对称轴数值列等式即可求出h；③最后回忆顶点式的顶点坐标特征，直接对应顶点的纵坐标即可得到k的值。
【解析】
1. 对于二次函数$y=a(x+h)^2+k$，二次项系数$a$的符号决定开口方向：当$a＞0$时，图象开口向上，因此第一个空填$a＞0$；
2. 二次函数$y=a(x+h)^2+k$的对称轴为直线$x=-h$，已知图象对称轴为直线$x=-1$，因此$-h=-1$，解得$h=1$；
3. 二次函数$y=a(x+h)^2+k$的顶点坐标为$(-h,k)$，已知图象顶点坐标为$(-1,-2)$，因此顶点的纵坐标$k=-2$。
【答案】
$a＞0$；$1$；$-2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口方向判定；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，牢记顶点式的相关性质即可快速作答，是二次函数性质模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题时可逐个对应参数的几何意义求解：①首先回忆二次函数开口方向与二次项系数a的关系，开口向上对应a为正数；②再回忆顶点式的对称轴公式，结合给出的对称轴数值列等式即可求出h；③最后回忆顶点式的顶点坐标特征，直接对应顶点的纵坐标即可得到k的值。
【解析】
1. 对于二次函数$y=a(x+h)^2+k$，二次项系数$a$的符号决定开口方向：当$a＞0$时，图象开口向上，因此第一个空填$a＞0$；
2. 二次函数$y=a(x+h)^2+k$的对称轴为直线$x=-h$，已知图象对称轴为直线$x=-1$，因此$-h=-1$，解得$h=1$；
3. 二次函数$y=a(x+h)^2+k$的顶点坐标为$(-h,k)$，已知图象顶点坐标为$(-1,-2)$，因此顶点的纵坐标$k=-2$。
【答案】
$a＞0$；$1$；$-2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口方向判定；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，牢记顶点式的相关性质即可快速作答，是二次函数性质模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 新考向·开放性问题 当二次函数自变量$x=2$时，函数值$y$有最大值$-1$，则这样的二次函数关系式可以是
$y=-(x-2)^2-1$(答案不唯一)
.（填一个即可）答案
2. $y=-(x-2)^2-1$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先，当二次函数有最大值时，说明抛物线开口向下，二次项系数a＜0；其次，自变量x=2时取最大值-1，说明该二次函数的顶点坐标为(2,-1)。我们可以选用二次函数的顶点式来构造解析式，只需给a取任意小于0的数值，就能得到符合要求的函数关系式。
【解析】
1. 由题意得，二次函数的顶点坐标为(2, -1)，且存在最大值，因此抛物线开口向下，即二次项系数a＜0。
2. 设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，将$h=2$，$k=-1$代入，可得$y=a(x-2)^2-1$（$a＜0$）。
3. 取$a=-1$，即可得到一个符合条件的解析式：$y=-(x-2)^2-1$，a取其他负数也满足要求，因此答案不唯一。
【答案】
$y=-(x-2)^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值性质
【点评】
本题为开放性基础题，解题核心是根据函数最值确定二次函数的顶点坐标和开口方向，再结合顶点式即可快速写出符合要求的解析式，题目灵活度较高，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先，当二次函数有最大值时，说明抛物线开口向下，二次项系数a＜0；其次，自变量x=2时取最大值-1，说明该二次函数的顶点坐标为(2,-1)。我们可以选用二次函数的顶点式来构造解析式，只需给a取任意小于0的数值，就能得到符合要求的函数关系式。
【解析】
1. 由题意得，二次函数的顶点坐标为(2, -1)，且存在最大值，因此抛物线开口向下，即二次项系数a＜0。
2. 设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，将$h=2$，$k=-1$代入，可得$y=a(x-2)^2-1$（$a＜0$）。
3. 取$a=-1$，即可得到一个符合条件的解析式：$y=-(x-2)^2-1$，a取其他负数也满足要求，因此答案不唯一。
【答案】
$y=-(x-2)^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值性质
【点评】
本题为开放性基础题，解题核心是根据函数最值确定二次函数的顶点坐标和开口方向，再结合顶点式即可快速写出符合要求的解析式，题目灵活度较高，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 对于二次函数$y=-2(x-1)^2+3$，下列判断正确的是（
A.函数的最小值是3
B.图象的对称轴为直线$x=1$
C.图象的顶点坐标是$(-1,3)$
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
B
）A.函数的最小值是3
B.图象的对称轴为直线$x=1$
C.图象的顶点坐标是$(-1,3)$
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：$a$的正负决定抛物线开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向可判断函数的最值和增减性。接下来我们逐一分析每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-2(x-1)^2+3$，属于顶点式，其中$a=-2$，$h=1$，$k=3$：
1. 分析选项A：$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$函数有最大值3，不存在最小值，故A错误；
2. 分析选项B：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，代入$h=1$得对称轴为直线$x=1$，故B正确；
3. 分析选项C：二次函数顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(1,3)$，故C错误；
4. 分析选项D：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征、函数性质是快速解题的核心，需要注意顶点式中$h$的符号不要弄反。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：$a$的正负决定抛物线开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向可判断函数的最值和增减性。接下来我们逐一分析每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-2(x-1)^2+3$，属于顶点式，其中$a=-2$，$h=1$，$k=3$：
1. 分析选项A：$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$函数有最大值3，不存在最小值，故A错误；
2. 分析选项B：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，代入$h=1$得对称轴为直线$x=1$，故B正确；
3. 分析选项C：二次函数顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(1,3)$，故C错误；
4. 分析选项D：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征、函数性质是快速解题的核心，需要注意顶点式中$h$的符号不要弄反。
【难度系数】
0.8
4.将抛物线$y=-3x^2$先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为（
A.$y=-3(x-2)^2 -5$
B.$y=-3(x-2)^2 +5$
C.$y=-3(x+2)^2 -5$
D.$y=-3(x+2)^2 +5$
B
）A.$y=-3(x-2)^2 -5$
B.$y=-3(x-2)^2 +5$
C.$y=-3(x+2)^2 -5$
D.$y=-3(x+2)^2 +5$
答案
4. B
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移操作的对象：左右平移是对自变量x进行调整，向左平移时给x加平移单位，向右平移时给x减平移单位；上下平移是对整个函数表达式的常数项调整，向上平移加平移单位，向下平移减平移单位。我们按照先向右平移、再向上平移的顺序逐步变换原函数表达式即可。
【解析】
原抛物线的表达式为$y=-3x^2$：
1. 第一步，向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规则，将自变量$x$替换为$x-2$，得到平移后的表达式：$y=-3(x-2)^2$；
2. 第二步，向上平移5个单位长度，根据“上加下减”的规则，在表达式末尾加上5，得到最终的抛物线表达式：$y=-3(x-2)^2+5$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查对平移规则的理解与应用，易错点是混淆左右平移时的加减方向，牢记平移规则针对自变量x操作即可避免出错。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是掌握二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移操作的对象：左右平移是对自变量x进行调整，向左平移时给x加平移单位，向右平移时给x减平移单位；上下平移是对整个函数表达式的常数项调整，向上平移加平移单位，向下平移减平移单位。我们按照先向右平移、再向上平移的顺序逐步变换原函数表达式即可。
【解析】
原抛物线的表达式为$y=-3x^2$：
1. 第一步，向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规则，将自变量$x$替换为$x-2$，得到平移后的表达式：$y=-3(x-2)^2$；
2. 第二步，向上平移5个单位长度，根据“上加下减”的规则，在表达式末尾加上5，得到最终的抛物线表达式：$y=-3(x-2)^2+5$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查对平移规则的理解与应用，易错点是混淆左右平移时的加减方向，牢记平移规则针对自变量x操作即可避免出错。
【难度系数】
0.85
5.将二次函数$y=x^2 -4x +5$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为
$y=(x-2)^2+1$
。答案
5. $y=(x-2)^2+1$
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题时首先将二次项和一次项组合，本题二次项系数为1，只需在组合后的式子中加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证代数式的值不变，再将前三项写成完全平方的形式，最后合并常数项即可得到目标形式。
【解析】
解：对二次函数$y=x^2 -4x +5$进行配方：
1. 将含$x$的项组合：$y=(x^2 -4x) +5$
2. 括号内加减一次项系数一半的平方（一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$）：
$y=(x^2 -4x +4 -4) +5$
3. 整理完全平方式，合并常数项：
$y=(x^2 -4x +4) -4 +5$
$y=(x-2)^2 +1$
【答案】
$y=(x-2)^2+1$
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法在二次函数解析式变形中的应用，解题关键是注意配方时加减同一个数保证原式值不变，熟练掌握配方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题时首先将二次项和一次项组合，本题二次项系数为1，只需在组合后的式子中加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证代数式的值不变，再将前三项写成完全平方的形式，最后合并常数项即可得到目标形式。
【解析】
解：对二次函数$y=x^2 -4x +5$进行配方：
1. 将含$x$的项组合：$y=(x^2 -4x) +5$
2. 括号内加减一次项系数一半的平方（一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$）：
$y=(x^2 -4x +4 -4) +5$
3. 整理完全平方式，合并常数项：
$y=(x^2 -4x +4) -4 +5$
$y=(x-2)^2 +1$
【答案】
$y=(x-2)^2+1$
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法在二次函数解析式变形中的应用，解题关键是注意配方时加减同一个数保证原式值不变，熟练掌握配方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6.(1)二次函数$y=x^2+10x-5$的图象的对称轴是直线
(2)二次函数$y=-3x^2+6x+2$的图象的对称轴是直线
$x=-5$
，顶点坐标是$(-5,-30)$
。(2)二次函数$y=-3x^2+6x+2$的图象的对称轴是直线
$x=1$
，顶点坐标是$(1,5)$
，最大值是$5$
。答案
6.(1)$x=-5$ $(-5,-30)$ (2)$x=1$ $(1,5)$ 5
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式的图象性质，解题思路如下：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，首先明确其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点横坐标与对称轴横坐标一致，纵坐标可代入公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，也可将对称轴的$x$值代入原函数解析式求出$y$值；当$a＜0$时，二次函数开口向下，顶点处的$y$值就是函数的最大值。解题时先分别确定两小问中二次函数的$a、b、c$取值，再代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=x^2+10x-5$，其中$a=1$，$b=10$，$c=-5$：
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×1}=-5$；
将$x=-5$代入函数解析式，得$y=(-5)^2+10×(-5)-5=25-50-5=-30$，因此顶点坐标为$(-5,-30)$。
(2) 对于二次函数$y=-3x^2+6x+2$，其中$a=-3$，$b=6$，$c=2$：
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-3)}=1$；
将$x=1$代入函数解析式，得$y=-3×1^2+6×1+2=-3+6+2=5$，因此顶点坐标为$(1,5)$；
由于$a=-3＜0$，函数图象开口向下，顶点为最高点，因此函数的最大值为$5$。
【答案】
(1)$x=-5$；$(-5,-30)$ (2)$x=1$；$(1,5)$；$5$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点坐标求解；二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础题型，核心考查二次函数一般式下对称轴、顶点坐标、最值的计算方法，熟练掌握相关公式是解题的关键，该部分知识是解决二次函数综合类问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数一般式的图象性质，解题思路如下：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，首先明确其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点横坐标与对称轴横坐标一致，纵坐标可代入公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，也可将对称轴的$x$值代入原函数解析式求出$y$值；当$a＜0$时，二次函数开口向下，顶点处的$y$值就是函数的最大值。解题时先分别确定两小问中二次函数的$a、b、c$取值，再代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=x^2+10x-5$，其中$a=1$，$b=10$，$c=-5$：
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×1}=-5$；
将$x=-5$代入函数解析式，得$y=(-5)^2+10×(-5)-5=25-50-5=-30$，因此顶点坐标为$(-5,-30)$。
(2) 对于二次函数$y=-3x^2+6x+2$，其中$a=-3$，$b=6$，$c=2$：
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-3)}=1$；
将$x=1$代入函数解析式，得$y=-3×1^2+6×1+2=-3+6+2=5$，因此顶点坐标为$(1,5)$；
由于$a=-3＜0$，函数图象开口向下，顶点为最高点，因此函数的最大值为$5$。
【答案】
(1)$x=-5$；$(-5,-30)$ (2)$x=1$；$(1,5)$；$5$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点坐标求解；二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础题型，核心考查二次函数一般式下对称轴、顶点坐标、最值的计算方法，熟练掌握相关公式是解题的关键，该部分知识是解决二次函数综合类问题的基础。
【难度系数】
0.8
7.(1)将抛物线$y=-2x^2+3x$先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为
(2)将抛物线$y=x^2+2x+3$先向
$y=-2x^2 -x -2$
。(2)将抛物线$y=x^2+2x+3$先向
右(或下)
平移1(或2)
个单位长度，再向下(或右)
平移2(或1)
个单位长度，可得抛物线$y=x^2$。答案
7.(1)$y=-2x^2 -x -2$ (2)右(或下) 1(或2) 下(或右) 2(或1)
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移相关知识，解题核心是牢记平移规则“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”，也可通过对比平移前后抛物线的顶点坐标变化求解。(1)问直接套用平移规则，先将自变量x替换为x+1（向左平移1个单位），再整体减3（向下平移3个单位），展开化简即可得到结果；(2)问先将原抛物线配方为顶点式，得到平移前后两个抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移方向和距离即可确定抛物线的平移方式，注意平移顺序可互换，对应平移参数也会调整。
【解析】
(1) 根据二次函数平移规则：向左平移1个单位，将原式中x替换为$x+1$；再向下平移3个单位，整体减去3，可得平移后的表达式为：
$\begin{aligned}y&=-2(x+1)^2+3(x+1)-3\\&=-2(x^2+2x+1)+3x+3-3\\&=-2x^2-4x-2+3x\\&=-2x^2 -x -2\end{aligned}$
(2) 先将抛物线$y=x^2+2x+3$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x+3\\&=(x^2+2x+1)+2\\&=(x+1)^2+2\end{aligned}$
原抛物线顶点为$(-1,2)$，目标抛物线$y=x^2$的顶点为$(0,0)$：
方法一：顶点横坐标从$-1$到$0$，需向右平移1个单位；纵坐标从$2$到$0$，需向下平移2个单位，即先右移1个单位，再下移2个单位。
方法二：顶点纵坐标先从$2$到$0$，向下平移2个单位；横坐标再从$-1$到$0$，向右平移1个单位，即先下移2个单位，再右移1个单位。
【答案】
(1)$y=-2x^2 -x -2$ (2)右(或下) 1(或2) 下(或右) 2(或1)
【知识点】
1.二次函数图象平移规律 2.配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握平移规则，也可通过顶点坐标的变化确定平移方式，易错点是容易混淆自变量平移的加减方向，熟记规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移相关知识，解题核心是牢记平移规则“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”，也可通过对比平移前后抛物线的顶点坐标变化求解。(1)问直接套用平移规则，先将自变量x替换为x+1（向左平移1个单位），再整体减3（向下平移3个单位），展开化简即可得到结果；(2)问先将原抛物线配方为顶点式，得到平移前后两个抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移方向和距离即可确定抛物线的平移方式，注意平移顺序可互换，对应平移参数也会调整。
【解析】
(1) 根据二次函数平移规则：向左平移1个单位，将原式中x替换为$x+1$；再向下平移3个单位，整体减去3，可得平移后的表达式为：
$\begin{aligned}y&=-2(x+1)^2+3(x+1)-3\\&=-2(x^2+2x+1)+3x+3-3\\&=-2x^2-4x-2+3x\\&=-2x^2 -x -2\end{aligned}$
(2) 先将抛物线$y=x^2+2x+3$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x+3\\&=(x^2+2x+1)+2\\&=(x+1)^2+2\end{aligned}$
原抛物线顶点为$(-1,2)$，目标抛物线$y=x^2$的顶点为$(0,0)$：
方法一：顶点横坐标从$-1$到$0$，需向右平移1个单位；纵坐标从$2$到$0$，需向下平移2个单位，即先右移1个单位，再下移2个单位。
方法二：顶点纵坐标先从$2$到$0$，向下平移2个单位；横坐标再从$-1$到$0$，向右平移1个单位，即先下移2个单位，再右移1个单位。
【答案】
(1)$y=-2x^2 -x -2$ (2)右(或下) 1(或2) 下(或右) 2(或1)
【知识点】
1.二次函数图象平移规律 2.配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握平移规则，也可通过顶点坐标的变化确定平移方式，易错点是容易混淆自变量平移的加减方向，熟记规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的$x,y$的部分对应值如下表：
则该函数图象的对称轴是 （
A.直线$x=-3$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=-1$
D.直线$x=0$
则该函数图象的对称轴是 （
B
）A.直线$x=-3$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=-1$
D.直线$x=0$
答案
8. B
解析
【分析】
要确定二次函数图象的对称轴，可优先利用二次函数的轴对称性求解，该方法更简便：二次函数图象上纵坐标相等的两个点是关于对称轴对称的，对称轴为两点横坐标的平均值。也可以选取表格中三个点的坐标代入解析式求出a、b、c的值，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，不过该方法计算量稍大。
【解析】
方法一：观察表格数据可知，当$x=-3$和$x=-1$时，对应的$y$值都为$-3$，即点$(-3,-3)$和$(-1,-3)$是抛物线上的一对对称点。
根据二次函数的对称性，对称轴为过两点中点且垂直于x轴的直线，因此对称轴的横坐标为$\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，即对称轴是直线$x=-2$。
方法二：选取表格中三个点代入解析式验证：
当$x=0$时，$y=-6$，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=-6$；
将$(-2,-2)$、$(-1,-3)$代入$y=ax^2+bx-6$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b-6=-2\\a-b-6=-3\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=-4$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，即对称轴为直线$x=-2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法中利用对称点求解更高效，掌握二次函数的轴对称特性能大幅提升此类题的解题速度。
【难度系数】
0.85
要确定二次函数图象的对称轴，可优先利用二次函数的轴对称性求解，该方法更简便：二次函数图象上纵坐标相等的两个点是关于对称轴对称的，对称轴为两点横坐标的平均值。也可以选取表格中三个点的坐标代入解析式求出a、b、c的值，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，不过该方法计算量稍大。
【解析】
方法一：观察表格数据可知，当$x=-3$和$x=-1$时，对应的$y$值都为$-3$，即点$(-3,-3)$和$(-1,-3)$是抛物线上的一对对称点。
根据二次函数的对称性，对称轴为过两点中点且垂直于x轴的直线，因此对称轴的横坐标为$\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，即对称轴是直线$x=-2$。
方法二：选取表格中三个点代入解析式验证：
当$x=0$时，$y=-6$，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=-6$；
将$(-2,-2)$、$(-1,-3)$代入$y=ax^2+bx-6$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b-6=-2\\a-b-6=-3\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=-4$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，即对称轴为直线$x=-2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法中利用对称点求解更高效，掌握二次函数的轴对称特性能大幅提升此类题的解题速度。
【难度系数】
0.85
9. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则（
A.$a＞0,b＞0,c＞0$
B.$a＞0,b＜0,c＜0$
C.$a＜0,b＞0,c＜0$
D.$a＜0,b＜0,c＜0$
C
）A.$a＞0,b＞0,c＞0$
B.$a＞0,b＜0,c＜0$
C.$a＜0,b＞0,c＜0$
D.$a＜0,b＜0,c＜0$
答案
9. C
解析
【分析】
要判断二次函数系数a、b、c的符号，可按三步分析：1. 看图像开口方向判断a的符号；2. 看对称轴位置，结合对称轴公式和a的符号判断b的符号；3. 看图像与y轴的交点位置判断c的符号，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 判断a的符号：二次函数图象开口向下，因此$a＜0$；
2. 判断b的符号：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，则$2a＜0$，要使分式结果为正，分子需为负，即$-b＜0$，解得$b＞0$；
3. 判断c的符号：当$x=0$时，$y=c$，即图象与y轴的交点为$(0,c)$，由图可知交点在y轴负半轴，因此$c＜0$。
综上，$a＜0,b＞0,c＜0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数的对称轴
3. 二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规题型，解题核心是掌握图象特征与系数的对应关系，牢记“开口定a，对称轴结合a定b，与y轴交点定c”的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数系数a、b、c的符号，可按三步分析：1. 看图像开口方向判断a的符号；2. 看对称轴位置，结合对称轴公式和a的符号判断b的符号；3. 看图像与y轴的交点位置判断c的符号，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 判断a的符号：二次函数图象开口向下，因此$a＜0$；
2. 判断b的符号：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，则$2a＜0$，要使分式结果为正，分子需为负，即$-b＜0$，解得$b＞0$；
3. 判断c的符号：当$x=0$时，$y=c$，即图象与y轴的交点为$(0,c)$，由图可知交点在y轴负半轴，因此$c＜0$。
综上，$a＜0,b＞0,c＜0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数的对称轴
3. 二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规题型，解题核心是掌握图象特征与系数的对应关系，牢记“开口定a，对称轴结合a定b，与y轴交点定c”的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.已知二次函数$y=-x^2+2x+3$.
(1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数的图象.
(2)当$-1＜x＜4$时,直接写出$y$的取值范围.
(1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数的图象.
(2)当$-1＜x＜4$时,直接写出$y$的取值范围.
答案
10. 解:(1)
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴函数图象的顶点坐标为$(1,4)$.图象略.(2)当$-1＜x＜4$时,$y$的取值范围是$-5＜y≤4$.
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴函数图象的顶点坐标为$(1,4)$.图象略.(2)当$-1＜x＜4$时,$y$的取值范围是$-5＜y≤4$.
解析
【分析】
对于（1），求二次函数顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；画函数图象时，先确定顶点、与坐标轴的交点等关键坐标点，再描点连线即可。对于（2），先明确二次函数的开口方向、对称轴，结合自变量的取值范围，找到区间内函数的最大值和边界处的函数值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
(1) 对二次函数解析式进行配方：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+4$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
画图象时，可先求函数与$x$轴交点：令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，得交点$(-1,0),(3,0)$；与$y$轴交点：令$x=0$，得$y=3$，即交点$(0,3)$，再结合顶点$(1,4)$，描点后用平滑曲线连接即可，图象略。
(2) 由$y=-(x-1)^2+4$可知，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，在$x=1$处函数取得最大值4。
分别计算区间端点对应的函数值：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=-4^2+2×4+3=-5$。
因为$-1＜x＜4$，$x=4$不在取值区间内，且开口向下时离对称轴越远函数值越小，所以区间内函数最小值大于-5，最大值为4，故$y$的取值范围是$-5＜y≤4$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,4)$，图象略；(2) $-5＜y≤4$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法、二次函数图象性质、二次函数区间取值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的应用和二次函数性质的理解，解题时结合图象分析区间内的函数取值会更直观，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
对于（1），求二次函数顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；画函数图象时，先确定顶点、与坐标轴的交点等关键坐标点，再描点连线即可。对于（2），先明确二次函数的开口方向、对称轴，结合自变量的取值范围，找到区间内函数的最大值和边界处的函数值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
(1) 对二次函数解析式进行配方：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+4$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
画图象时，可先求函数与$x$轴交点：令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，得交点$(-1,0),(3,0)$；与$y$轴交点：令$x=0$，得$y=3$，即交点$(0,3)$，再结合顶点$(1,4)$，描点后用平滑曲线连接即可，图象略。
(2) 由$y=-(x-1)^2+4$可知，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，在$x=1$处函数取得最大值4。
分别计算区间端点对应的函数值：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=-4^2+2×4+3=-5$。
因为$-1＜x＜4$，$x=4$不在取值区间内，且开口向下时离对称轴越远函数值越小，所以区间内函数最小值大于-5，最大值为4，故$y$的取值范围是$-5＜y≤4$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,4)$，图象略；(2) $-5＜y≤4$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法、二次函数图象性质、二次函数区间取值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的应用和二次函数性质的理解，解题时结合图象分析区间内的函数取值会更直观，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
