知识点二 数轴上两点间的距离
知识梳理
在数轴上,点A,B分别表示数a,b. 利用有理数的减法,可得A,B两点之间的距离为AB=或.

$|a-b|$ $|b-a|$

【分析】
解题时首先要明确数轴上两点的距离是非负数，不能为负。我们可以通过举例辅助理解：比如数轴上表示2和5的两个点，距离是3，用5-2=3，用2-5=-3，取绝对值后也等于3。因为我们不知道a和b的大小关系，直接相减可能得到负数，不符合距离的定义，所以要给减法结果加绝对值保证结果非负。又因为互为相反数的两个数绝对值相等，所以a减b的绝对值和b减a的绝对值结果完全相同，两种写法都符合要求。
【解析】
1. 数轴上两点之间的距离是正实数或0，不存在负的距离。
2. 当a≥b时，A、B两点的距离为a-b；当a＜b时，A、B两点的距离为b-a。
3. 为了统一所有情况的表达式，给减法结果加上绝对值即可，即$AB=|a-b|$。
4. 因为互为相反数的两个数绝对值相等，即$|a-b|=|b-a|$，所以距离也可以写成$AB=|b-a|$。
【答案】
$|a-b|$；$|b-a|$
【知识点】
数轴两点间距离；绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考察对距离非负性的理解，结合绝对值的性质就能顺利推导结论，是后续数轴相关计算的重要基础。
【难度系数】
0.9

例2 如图,在数轴上有四个点A,B,C,D,请回答:
(1)A,C两点之间的距离是多少?
(2)B,D两点之间的距离是多少?
解:

【规律方法】
数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数与左边的点表示的数的差,也可用两数差的绝对值表示。

解：
由数轴可知，点A表示的数是$-4$，点B表示的数是$-2$，点D表示的数是$\frac{1}{2}$，点C表示的数是$3$。
(1) 根据数轴上两点间距离公式，A,C两点之间的距离为：
$|3 - (-4)| = |3 + 4| = 7$
(2) B,D两点之间的距离为：
$\left|\frac{1}{2} - (-2)\right| = \left|\frac{1}{2} + 2\right| = \frac{5}{2}$

【分析】
解题时首先需要从数轴上准确读出各点对应的有理数，再根据数轴上两点间距离的计算规则：两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，分别将对应点的数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
观察数轴可知，点A表示的数是$-4$，点B表示的数是$-2$，点D表示的数是$\frac{1}{2}$，点C表示的数是$3$。
(1) 根据数轴上两点间距离公式，A、C两点之间的距离为：
$|3 - (-4)| = |3 + 4| = 7$
(2) B、D两点之间的距离为：
$\left|\frac{1}{2} - (-2)\right| = \left|\frac{1}{2} + 2\right| = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
数轴读数，数轴两点距离计算，绝对值运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查数轴的基础应用和两点间距离的计算方法，熟练掌握距离公式即可快速求解，是数轴相关应用的基础内容。
【难度系数】
0.9

3. 在数轴上，点A，B分别表示数-2024和1，则点A，B之间的距离是.

3. 2 025

【分析】
要计算数轴上两点之间的距离，首先回忆对应知识点：数轴上任意两点的距离等于两点所表示的数的差的绝对值，也可以用位置靠右的点表示的数减去靠左的点表示的数（因为数轴上右边的数始终大于左边的数）。本题中点B表示的1在点A表示的-2024的右侧，所以可以直接用1减去-2024计算距离，也可以通过计算两数差的绝对值求解，再按照有理数减法法则计算即可。
【解析】
方法1：根据数轴上两点距离公式，若两点分别表示数a、b，则两点距离为$\vert a - b \vert$。
已知点A表示-2024，点B表示1，代入得：
$\vert -2024 - 1 \vert = \vert -2025 \vert = 2025$
方法2：因为数轴上右边的数大于左边的数，$1 ＞ -2024$，所以两点距离为：
$1 - (-2024) = 1 + 2024 = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
1. 数轴两点距离计算
2. 有理数减法运算
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考察数轴上两点距离的计算方法和有理数减法的运算规则，熟练掌握相关基础概念即可快速求解，是有理数运算章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9

例3 一名足球守门员练习折返跑,从球门线出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下(单位:m):+5,-3,+7,-8,+12,-4,-7.
请你通过计算说明:
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置?
(2)在练习过程中,守门员离开球门线最远的距离是多少米?
(3)全部练习结束,他共跑了多少米?
解:

(1) 守门员最后没有回到球门线的位置；(2) 守门员离开球门线最远的距离是13 m；(3) 他共跑了46 m.

【分析】
（1）要判断守门员是否回到球门线，只需将所有记录的数值相加，正负代表相对于球门线的位移，若总和为0则回到球门线，否则没有。
（2）求离开球门线的最远距离，需要依次计算每次运动后守门员相对于球门线的位置，计算每次位置的绝对值，比较所有绝对值的大小，最大的就是最远距离。
（3）求总跑步路程时，路程与运动方向无关，因此计算所有记录数值的绝对值之和即可，绝对值代表每次跑的实际长度，相加就是总路程。
【解析】
(1) 计算所有记录的和：
$\begin{aligned}&(+5)+(-3)+(+7)+(-8)+(+12)+(-4)+(-7)\\=&5-3+7-8+12-4-7\\=&2(\mathrm{m})\end{aligned}$
因为结果为2m，不为0，所以守门员最后没有回到球门线的位置。
(2) 依次计算每次运动后守门员相对于球门线的距离：
第1次运动后：$|+5|=5$m；
第2次运动后：$|+5+(-3)|=|2|=2$m；
第3次运动后：$|2+(+7)|=|9|=9$m；
第4次运动后：$|9+(-8)|=|1|=1$m；
第5次运动后：$|1+(+12)|=|13|=13$m；
第6次运动后：$|13+(-4)|=|9|=9$m；
第7次运动后：$|9+(-7)|=|2|=2$m；
比较得最大距离为13m，即守门员离开球门线最远的距离是13m。
(3) 计算所有记录的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+5|+|-3|+|+7|+|-8|+|+12|+|-4|+|-7|\\=&5+3+7+8+12+4+7\\=&46(\mathrm{m})\end{aligned}$
因此全部练习结束他共跑了46m。
【答案】
(1) 守门员最后没有回到球门线的位置；(2) 守门员离开球门线最远的距离是13 m；(3) 他共跑了46 m.
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减混合运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活场景考查有理数相关知识，解题时需注意区分位移与路程的差异：位移有方向可正可负，路程无方向均为非负数，计算时要仔细核对每一步运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75

4. 某探险队从海拔-300 m 的位置出发，沿路先上行了 700 m，由于雨雪天气，被迫下降200 m停留在一个山洞避雪，这个山洞位于海拔多少米的位置？

4. 解:这个山洞位于海拔200 m的位置.

【分析】
解题时首先要明确海拔变化对应的运算规则：海拔上行即海拔升高，对应加法运算，海拔下降即海拔降低，对应减法运算。我们以初始海拔为基础，先加上上行的高度，再减去下降的高度，就能得到山洞的海拔高度。
【解析】
解：已知初始海拔为-300 m，上行了700 m，又下降了200 m，可列算式计算最终海拔：
$\begin{aligned}-300 + 700 - 200&= 400 - 200\\&=200\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
这个山洞位于海拔200 m的位置。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减混合运算
【点评】
本题属于生活场景类的基础运算题，核心是理清海拔变化和加减运算的对应关系，运算时注意有理数加减的符号规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9