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例 画出$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60°$后的$△ A'B'C'$（$A$，$B$，$C$的对应点分别是$A'$，$B'$，$C'$），则图中哪些角可以表示旋转角？并判断$△ BB'C$的形状。
归纳总结
（1）旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。
（2）旋转的特点：旋转前后的图形大小和形状不变，对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
即时测评
归纳总结
（1）旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。
（2）旋转的特点：旋转前后的图形大小和形状不变，对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
即时测评
答案
解：作图略。连接$BB'$，可以表示旋转角的是$∠ BCB'$，$∠ ACA'$。$△ BB'C$是等边三角形。
解析
【分析】
首先回忆旋转的相关概念和性质：①旋转作图需要先确定旋转中心、旋转方向、旋转角三要素，再依次确定各顶点的对应点，最后顺次连线得到旋转后的图形；②旋转角是任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角；③旋转前后对应点到旋转中心的距离相等。解题时先依据旋转作图规则画出旋转后的图形，再根据旋转角的定义找出符合要求的角，最后结合旋转的性质和等边三角形的判定定理判断$△ BB'C$的形状。
【解析】
1. 作图步骤：
① 以点$C$为顶点，将射线$CA$按顺时针方向作$60°$的角，在角的终边上截取$CA'=CA$，得到点$A$的对应点$A'$；
② 同理，以点$C$为顶点，将射线$CB$按顺时针方向作$60°$的角，在角的终边上截取$CB'=CB$，得到点$B$的对应点$B'$；
③ 旋转中心$C$的对应点$C'$与$C$重合，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，即可得到旋转后的$△ A'B'C'$。
2. 找旋转角：
根据旋转角的定义，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，$A$与$A'$、$B$与$B'$是对应点，因此$∠ ACA'$、$∠ BCB'$都可以表示旋转角。
3. 判断$△ BB'C$的形状：
由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，即$CB=CB'$，又因为旋转角$∠ BCB'=60°$，根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可判定$△ BB'C$是等边三角形。
【答案】
作图略。可以表示旋转角的是$∠ BCB'$，$∠ ACA'$；$△ BB'C$是等边三角形。
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 旋转角的识别
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题是旋转章节的基础典型题，既考查了旋转作图的基本方法，也考查了对旋转核心性质的理解和运用，要求能结合旋转的性质解决后续的三角形形状判定问题，掌握本题有助于夯实旋转相关的基础概念。
【难度系数】
0.8
首先回忆旋转的相关概念和性质：①旋转作图需要先确定旋转中心、旋转方向、旋转角三要素，再依次确定各顶点的对应点，最后顺次连线得到旋转后的图形；②旋转角是任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角；③旋转前后对应点到旋转中心的距离相等。解题时先依据旋转作图规则画出旋转后的图形，再根据旋转角的定义找出符合要求的角，最后结合旋转的性质和等边三角形的判定定理判断$△ BB'C$的形状。
【解析】
1. 作图步骤：
① 以点$C$为顶点，将射线$CA$按顺时针方向作$60°$的角，在角的终边上截取$CA'=CA$，得到点$A$的对应点$A'$；
② 同理，以点$C$为顶点，将射线$CB$按顺时针方向作$60°$的角，在角的终边上截取$CB'=CB$，得到点$B$的对应点$B'$；
③ 旋转中心$C$的对应点$C'$与$C$重合，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，即可得到旋转后的$△ A'B'C'$。
2. 找旋转角：
根据旋转角的定义，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，$A$与$A'$、$B$与$B'$是对应点，因此$∠ ACA'$、$∠ BCB'$都可以表示旋转角。
3. 判断$△ BB'C$的形状：
由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，即$CB=CB'$，又因为旋转角$∠ BCB'=60°$，根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可判定$△ BB'C$是等边三角形。
【答案】
作图略。可以表示旋转角的是$∠ BCB'$，$∠ ACA'$；$△ BB'C$是等边三角形。
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 旋转角的识别
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题是旋转章节的基础典型题，既考查了旋转作图的基本方法，也考查了对旋转核心性质的理解和运用，要求能结合旋转的性质解决后续的三角形形状判定问题，掌握本题有助于夯实旋转相关的基础概念。
【难度系数】
0.8
(1)画出左面小旗绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转 $ 90° $ 后的图形；
(2)画出右面小旗绕点 $ O $ 按逆时针方向旋转 $ 90° $ 后的图形。
任务二 旋转作图的综合运用
在平面直角坐标系中，$ △ ABC $ 的位置如图所示。(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)
探究1：将 $ △ ABC $ 沿 $ y $ 轴方向向下平移4个单位长度得到 $ △ A_1B_1C_1 $，画出 $ △ A_1B_1C_1 $，并写出点 $ C_1 $ 的坐标。
探究2：将 $ △ ABC $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转 $ 90° $，画出旋转后得到的 $ △ A_2B_2C_2 $，并写出点 $ C_2 $ 的坐标。
探究3：求线段 $ C_1C_2 $ 的长。
(2)画出右面小旗绕点 $ O $ 按逆时针方向旋转 $ 90° $ 后的图形。
任务二 旋转作图的综合运用
在平面直角坐标系中，$ △ ABC $ 的位置如图所示。(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)
探究1：将 $ △ ABC $ 沿 $ y $ 轴方向向下平移4个单位长度得到 $ △ A_1B_1C_1 $，画出 $ △ A_1B_1C_1 $，并写出点 $ C_1 $ 的坐标。
探究2：将 $ △ ABC $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转 $ 90° $，画出旋转后得到的 $ △ A_2B_2C_2 $，并写出点 $ C_2 $ 的坐标。
探究3：求线段 $ C_1C_2 $ 的长。
答案
1. 作图略
2. 作图略
探究1 作图略。点 $ C_1 $ 的坐标为(3，0)。
探究2 作图略。点 $ C_2 $ 的坐标为(-2，1)。
探究3 线段 $ C_1C_2 $ 的长为√26。
2. 作图略
探究1 作图略。点 $ C_1 $ 的坐标为(3，0)。
探究2 作图略。点 $ C_2 $ 的坐标为(-2，1)。
探究3 线段 $ C_1C_2 $ 的长为√26。
解析
【分析】
本题综合考查图形的平移、旋转变换及距离计算，解题思路如下：
1. 探究1：平移作图遵循“横坐标不变，纵坐标减4”的规律（沿y轴向下平移4个单位），先确定△ABC各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形，点C的坐标按规律直接计算即可。
2. 探究2：旋转作图需明确三要素：旋转中心为点A、旋转方向逆时针、旋转角度90°，根据旋转前后对应线段长度相等、夹角等于旋转角的性质，找到各顶点的旋转对应点，顺次连接得到旋转后图形，再确定对应点C₂的坐标。
3. 探究3：已知C₁、C₂两点坐标，可通过勾股定理推导的两点间距离公式计算线段长度。
【解析】
首先确定原△ABC中点C的坐标为(3,4)：
探究1：沿y轴向下平移4个单位时，各点横坐标不变，纵坐标减4，因此点C平移后C₁的坐标为(3,4-4)即(3,0)，将A、B两点按相同规则平移得到A₁、B₁，顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
探究2：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，根据旋转性质，分别作出点B、C绕点A逆时针旋转90°的对应点B₂、C₂，顺次连接A、B₂、C₂得到△A₂B₂C₂，经确定点C₂的坐标为(-2,1)。
探究3：已知C₁(3,0)、C₂(-2,1)，两点横坐标差为$3-(-2)=5$，纵坐标差为$0-1=-1$，根据勾股定理，线段$C_1C_2$的长为$\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$。
【答案】
1. 作图略
2. 作图略
探究1 作图略。点 $ C_1 $ 的坐标为(3，0)。
探究2 作图略。点 $ C_2 $ 的坐标为(-2，1)。
探究3 线段 $ C_1C_2 $ 的长为√26。
【知识点】
平移作图，旋转作图，两点间距离计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形变换的基础知识，既需要掌握平移、旋转的作图规则，也需要理解变换前后坐标的变化规律，计算部分难度较低，整体侧重对基础性质的应用和动手操作能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题综合考查图形的平移、旋转变换及距离计算，解题思路如下：
1. 探究1：平移作图遵循“横坐标不变，纵坐标减4”的规律（沿y轴向下平移4个单位），先确定△ABC各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形，点C的坐标按规律直接计算即可。
2. 探究2：旋转作图需明确三要素：旋转中心为点A、旋转方向逆时针、旋转角度90°，根据旋转前后对应线段长度相等、夹角等于旋转角的性质，找到各顶点的旋转对应点，顺次连接得到旋转后图形，再确定对应点C₂的坐标。
3. 探究3：已知C₁、C₂两点坐标，可通过勾股定理推导的两点间距离公式计算线段长度。
【解析】
首先确定原△ABC中点C的坐标为(3,4)：
探究1：沿y轴向下平移4个单位时，各点横坐标不变，纵坐标减4，因此点C平移后C₁的坐标为(3,4-4)即(3,0)，将A、B两点按相同规则平移得到A₁、B₁，顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
探究2：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，根据旋转性质，分别作出点B、C绕点A逆时针旋转90°的对应点B₂、C₂，顺次连接A、B₂、C₂得到△A₂B₂C₂，经确定点C₂的坐标为(-2,1)。
探究3：已知C₁(3,0)、C₂(-2,1)，两点横坐标差为$3-(-2)=5$，纵坐标差为$0-1=-1$，根据勾股定理，线段$C_1C_2$的长为$\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$。
【答案】
1. 作图略
2. 作图略
探究1 作图略。点 $ C_1 $ 的坐标为(3，0)。
探究2 作图略。点 $ C_2 $ 的坐标为(-2，1)。
探究3 线段 $ C_1C_2 $ 的长为√26。
【知识点】
平移作图，旋转作图，两点间距离计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形变换的基础知识，既需要掌握平移、旋转的作图规则，也需要理解变换前后坐标的变化规律，计算部分难度较低，整体侧重对基础性质的应用和动手操作能力的考查。
【难度系数】
0.7
