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例1 如图,写出符合下列条件的角(图中所有的角都是指小于平角的角).
(1)能用一个大写字母表示的角有:
(2)以A为顶点的角有
(3)所有小于平角的角有
例1题图
(1)能用一个大写字母表示的角有:
∠B,∠C
;(2)以A为顶点的角有
∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB
;(3)所有小于平角的角有
∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB)
.例1题图
答案
(1) ∠B,∠C
(2) ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB
(3) ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB)
(2) ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB
(3) ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB)
解析
【分析】
解决本题需结合角的表示规则和计数方法逐步分析：
1. 第一问：首先明确单个大写字母表示角的前提：只有当某个顶点处仅存在1个小于平角的角时，才能用顶点的单个大写字母表示该角，据此观察各顶点的角的数量即可判断。
2. 第二问：找以A为顶点的角，只需固定顶点A，找出所有从A出发的两条射线组成的小于平角的角即可，注意不要遗漏由两个小角组合成的大角。
3. 第三问：按固定的顶点顺序（如C、A、B、D的顺序）逐一数出每个顶点处所有小于平角的角，避免漏数、多数。
【解析】
(1) 观察图形可知，顶点C、顶点B处都各只有1个小于平角的角，符合用单个大写字母表示角的要求，其余顶点处均有多个角，不能用单个大写字母表示。
(2) 以A为顶点的射线共有AC、AD、AB三条，两两组成的小于平角的角有：AC与AD组成的∠1（也可记作∠CAD），AD与AB组成的∠2（也可记作∠DAB），AC与AB组成的∠CAB，共3个。
(3) 按顶点顺序逐一计数小于平角的角：顶点C处的∠C；顶点A处的∠1、∠2、∠CAB；顶点B处的∠B；顶点D处的∠3（也可记作∠ADC）、∠4（也可记作∠ADB），以上全部符合要求。
【答案】
(1) ∠B,∠C
(2) ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB
(3) ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB)
【知识点】
角的表示方法，角的计数，平角的定义
【点评】
本题是角的基础概念考查题，解题的关键是掌握角的表示规则，计数角时按固定顺序查找即可避免漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.85
解决本题需结合角的表示规则和计数方法逐步分析：
1. 第一问：首先明确单个大写字母表示角的前提：只有当某个顶点处仅存在1个小于平角的角时，才能用顶点的单个大写字母表示该角，据此观察各顶点的角的数量即可判断。
2. 第二问：找以A为顶点的角，只需固定顶点A，找出所有从A出发的两条射线组成的小于平角的角即可，注意不要遗漏由两个小角组合成的大角。
3. 第三问：按固定的顶点顺序（如C、A、B、D的顺序）逐一数出每个顶点处所有小于平角的角，避免漏数、多数。
【解析】
(1) 观察图形可知，顶点C、顶点B处都各只有1个小于平角的角，符合用单个大写字母表示角的要求，其余顶点处均有多个角，不能用单个大写字母表示。
(2) 以A为顶点的射线共有AC、AD、AB三条，两两组成的小于平角的角有：AC与AD组成的∠1（也可记作∠CAD），AD与AB组成的∠2（也可记作∠DAB），AC与AB组成的∠CAB，共3个。
(3) 按顶点顺序逐一计数小于平角的角：顶点C处的∠C；顶点A处的∠1、∠2、∠CAB；顶点B处的∠B；顶点D处的∠3（也可记作∠ADC）、∠4（也可记作∠ADB），以上全部符合要求。
【答案】
(1) ∠B,∠C
(2) ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB
(3) ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB)
【知识点】
角的表示方法，角的计数，平角的定义
【点评】
本题是角的基础概念考查题，解题的关键是掌握角的表示规则，计数角时按固定顺序查找即可避免漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.85
1. 如图,图中所有的角都是指小于平角的角.
(1)以点B为顶点的角有
(2)以射线BA为边的角有
(3)以D为顶点,DC为一边的角有
(1)以点B为顶点的角有
3
个,分别是∠ABC,∠ABD,∠DBC
.(2)以射线BA为边的角有
∠ABE,∠ABC
.(3)以D为顶点,DC为一边的角有
2
个,分别是∠BDC,∠EDC
.答案
(1) 3；∠ABC,∠ABD,∠DBC
(2) ∠ABE,∠ABC
(3) 2；∠BDC,∠EDC
(2) ∠ABE,∠ABC
(3) 2；∠BDC,∠EDC
解析
【分析】
解决这道题要按照“固定顶点/固定边”的顺序有序数角，全程注意题目要求所有角都是小于平角的角，避免重复、遗漏：
1. 数以某点为顶点的角时，先找出从该点出发的所有射线，再按顺序两两组合形成角；
2. 找以某条射线为边的角时，固定这条边，更换另一条边即可得到所有符合要求的角；
3. 数固定顶点和固定一边的角时，固定顶点和已知边，找出所有可作为另一边的射线，排除形成平角、优角的情况即可。
【解析】
(1) 从点B出发的射线有BA、BD、BC共3条，两两组合形成小于平角的角：相邻射线组成∠ABD、∠DBC，间隔的两条射线组成∠ABC，共3个。
(2) 固定射线BA为边，顶点为B，另一条边可以是射线BE、射线BC，组成的小于平角的角为∠ABE、∠ABC。
(3) 以D为顶点，DC为固定边，另一条边可以是射线DB、射线DE，组成的小于平角的角为∠BDC、∠EDC，共2个。
【答案】
(1) 3；∠ABC,∠ABD,∠DBC
(2) ∠ABE,∠ABC
(3) 2；∠BDC,∠EDC
【知识点】
角的计数；角的表示
【点评】
本题是角的基础概念题，解题核心是按固定顺序数角，避免漏数或多数，同时要注意题干对角度范围的限定条件。
【难度系数】
0.85
解决这道题要按照“固定顶点/固定边”的顺序有序数角，全程注意题目要求所有角都是小于平角的角，避免重复、遗漏：
1. 数以某点为顶点的角时，先找出从该点出发的所有射线，再按顺序两两组合形成角；
2. 找以某条射线为边的角时，固定这条边，更换另一条边即可得到所有符合要求的角；
3. 数固定顶点和固定一边的角时，固定顶点和已知边，找出所有可作为另一边的射线，排除形成平角、优角的情况即可。
【解析】
(1) 从点B出发的射线有BA、BD、BC共3条，两两组合形成小于平角的角：相邻射线组成∠ABD、∠DBC，间隔的两条射线组成∠ABC，共3个。
(2) 固定射线BA为边，顶点为B，另一条边可以是射线BE、射线BC，组成的小于平角的角为∠ABE、∠ABC。
(3) 以D为顶点，DC为固定边，另一条边可以是射线DB、射线DE，组成的小于平角的角为∠BDC、∠EDC，共2个。
【答案】
(1) 3；∠ABC,∠ABD,∠DBC
(2) ∠ABE,∠ABC
(3) 2；∠BDC,∠EDC
【知识点】
角的计数；角的表示
【点评】
本题是角的基础概念题，解题核心是按固定顺序数角，避免漏数或多数，同时要注意题干对角度范围的限定条件。
【难度系数】
0.85
1. 角的度量单位：
度
、分
、秒
。答案
1. 度 分 秒
解析
【分析】
这是一道基础概念识记类题目，解题时直接回忆角的度量相关基础知识点即可。角的常用度量单位是一套六十进制的单位，共有3个，直接对应三个空填写即可。
【解析】
根据角的度量相关基础知识，角的常用度量单位为度、分、秒，三者的换算关系为：$1{}^{\circ }=60{}^{\prime }$，$1{}^{\prime }=60{}^{\prime \prime }$，因此三个空依次填入度、分、秒。
【答案】
度 分 秒
【知识点】
角的度量单位
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考核学生对核心基础知识点的记忆掌握情况，是角的度量模块的入门考点。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记类题目，解题时直接回忆角的度量相关基础知识点即可。角的常用度量单位是一套六十进制的单位，共有3个，直接对应三个空填写即可。
【解析】
根据角的度量相关基础知识，角的常用度量单位为度、分、秒，三者的换算关系为：$1{}^{\circ }=60{}^{\prime }$，$1{}^{\prime }=60{}^{\prime \prime }$，因此三个空依次填入度、分、秒。
【答案】
度 分 秒
【知识点】
角的度量单位
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考核学生对核心基础知识点的记忆掌握情况，是角的度量模块的入门考点。
【难度系数】
0.9
2. 度、分、秒的换算：$1°=$
3. 1周角=
60
$'$，$1'=$60
$''$.3. 1周角=
360
$°$,1平角=180
$°$.答案
2. 60 60
3. 360 180
3. 360 180
解析
【分析】
第2题考查度分秒的单位进率，思考时需明确角的度量单位度、分、秒采用六十进制，相邻单位间进率为60，即可直接得出换算结果；第3题考查特殊角的度数，结合周角、平角的定义，周角是射线绕端点旋转一周形成的角，平角是旋转半周形成的角，对应度数可直接通过识记得到。
【解析】
2. 角的度量单位度、分、秒为六十进制，相邻单位进率为60，因此$1°=60'$，$1'=60''$。
3. 根据周角、平角的定义，射线绕端点旋转一周形成的周角度数为$360°$，旋转半周形成的平角度数为$180°$，因此1周角=$360°$，1平角=$180°$。
【答案】
2. 60；60
3. 360；180
【知识点】
度分秒的换算；特殊角的度数
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察角度相关的基础概念，牢记角度单位进率和特殊角的度数即可快速作答。
【难度系数】
0.95
第2题考查度分秒的单位进率，思考时需明确角的度量单位度、分、秒采用六十进制，相邻单位间进率为60，即可直接得出换算结果；第3题考查特殊角的度数，结合周角、平角的定义，周角是射线绕端点旋转一周形成的角，平角是旋转半周形成的角，对应度数可直接通过识记得到。
【解析】
2. 角的度量单位度、分、秒为六十进制，相邻单位进率为60，因此$1°=60'$，$1'=60''$。
3. 根据周角、平角的定义，射线绕端点旋转一周形成的周角度数为$360°$，旋转半周形成的平角度数为$180°$，因此1周角=$360°$，1平角=$180°$。
【答案】
2. 60；60
3. 360；180
【知识点】
度分秒的换算；特殊角的度数
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察角度相关的基础概念，牢记角度单位进率和特殊角的度数即可快速作答。
【难度系数】
0.95
例2 (1)将$31.24°$化为用度、分、秒表示的形式：
(2)将$38° 37' 12''$化成以度为单位的形式：
$31°14'24''$
；(2)将$38° 37' 12''$化成以度为单位的形式：
$38.62°$
。答案
(1) $31°14'24''$
(2) $38.62°$
(2) $38.62°$
解析
【分析】
度、分、秒是60进制的单位，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$。（1）将用度表示的单名数转化为度分秒复名数时，先取整数部分作为度的数值，再将小数部分的度乘60得到分的数值，取分的整数部分作为分的数值，最后将分的小数部分乘60得到秒的数值；（2）将度分秒复名数转化为用度表示的单名数时，先将秒的数值除以60转化为分，和原有分的数值相加后，再除以60转化为度，最后和原有度的数值相加即可。
【解析】
(1) 先拆分$31.24°$的整数和小数部分：
整数部分为$31°$，剩余小数部分$0.24°$，
将$0.24°$换算为分：$0.24×60'=14.4'$，
取$14.4'$的整数部分为$14'$，剩余小数部分$0.4'$，
将$0.4'$换算为秒：$0.4×60''=24''$，
因此$31.24°=31°14'24''$。
(2) 先将秒换算为分：
$12''=(12÷60)'=0.2'$，
和原有分相加得：$37'+0.2'=37.2'$，
再将分换算为度：$37.2'=(37.2÷60)°=0.62°$，
和原有度相加得：$38°+0.62°=38.62°$，
因此$38°37'12''=38.62°$。
【答案】
(1) $31°14'24''$
(2) $38.62°$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 角度的60进制
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度、分、秒之间的60进率，注意大单位转化为小单位乘进率，小单位转化为大单位除以进率，计算时仔细即可避免出错。
【难度系数】
0.8
度、分、秒是60进制的单位，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$。（1）将用度表示的单名数转化为度分秒复名数时，先取整数部分作为度的数值，再将小数部分的度乘60得到分的数值，取分的整数部分作为分的数值，最后将分的小数部分乘60得到秒的数值；（2）将度分秒复名数转化为用度表示的单名数时，先将秒的数值除以60转化为分，和原有分的数值相加后，再除以60转化为度，最后和原有度的数值相加即可。
【解析】
(1) 先拆分$31.24°$的整数和小数部分：
整数部分为$31°$，剩余小数部分$0.24°$，
将$0.24°$换算为分：$0.24×60'=14.4'$，
取$14.4'$的整数部分为$14'$，剩余小数部分$0.4'$，
将$0.4'$换算为秒：$0.4×60''=24''$，
因此$31.24°=31°14'24''$。
(2) 先将秒换算为分：
$12''=(12÷60)'=0.2'$，
和原有分相加得：$37'+0.2'=37.2'$，
再将分换算为度：$37.2'=(37.2÷60)°=0.62°$，
和原有度相加得：$38°+0.62°=38.62°$，
因此$38°37'12''=38.62°$。
【答案】
(1) $31°14'24''$
(2) $38.62°$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 角度的60进制
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度、分、秒之间的60进率，注意大单位转化为小单位乘进率，小单位转化为大单位除以进率，计算时仔细即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. (1)用度、分、秒表示$36.62°$：______；
(2)把下列角转化成以度为单位的形式：
①$27°14'24''$：______；
②$33°24'36''$：______。
(2)把下列角转化成以度为单位的形式：
①$27°14'24''$：______；
②$33°24'36''$：______。
答案
(1) $36°37'12''$
(2) ① $27.24°$；② $33.41°$
(2) ① $27.24°$；② $33.41°$
解析
【分析】
要解决度与度分秒的换算问题，首先明确度、分、秒相邻单位的进率是60，即$1°=60'$，$1'=60''$。换算规则：大单位转化为小单位乘60，小单位转化为大单位除以60。(1)把小数形式的度数转化为度分秒时，先保留整数部分作为度数，将小数部分的度乘60得到分数，再将分的小数部分乘60得到秒数即可；(2)把度分秒转化为度数时，先把秒数除以60转化为分，和原有分数相加后再除以60转化为度，最后加上原有度数即可。
【解析】
(1) 换算$36.62°$：
整数部分为$36°$，剩余$0.62°$，
$0.62° = 0.62×60' = 37.2'$，
分的整数部分为$37'$，剩余$0.2'$，
$0.2' = 0.2×60'' = 12''$，
因此$36.62°=36°37'12''$。
(2) ① 换算$27°14'24''$：
先把秒换算成分：$24'' = (24÷60)' = 0.4'$，
和原有分相加：$14'+0.4'=14.4'$，
再把分换算成度：$14.4' = (14.4÷60)° = 0.24°$，
和原有度相加：$27°+0.24°=27.24°$。
② 换算$33°24'36''$：
先把秒换算成分：$36'' = (36÷60)' = 0.6'$，
和原有分相加：$24'+0.6'=24.6'$，
再把分换算成度：$24.6' = (24.6÷60)° = 0.41°$，
和原有度相加：$33°+0.41°=33.41°$。
【答案】
(1) $36°37'12''$
(2) ① $27.24°$；② $33.41°$
【知识点】
1. 度分秒的进率
2. 角度单位互化
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题关键是牢记度分秒相邻单位进率为60，注意区分大单位转小单位乘进率、小单位转大单位除以进率，避免误用十进制进率导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决度与度分秒的换算问题，首先明确度、分、秒相邻单位的进率是60，即$1°=60'$，$1'=60''$。换算规则：大单位转化为小单位乘60，小单位转化为大单位除以60。(1)把小数形式的度数转化为度分秒时，先保留整数部分作为度数，将小数部分的度乘60得到分数，再将分的小数部分乘60得到秒数即可；(2)把度分秒转化为度数时，先把秒数除以60转化为分，和原有分数相加后再除以60转化为度，最后加上原有度数即可。
【解析】
(1) 换算$36.62°$：
整数部分为$36°$，剩余$0.62°$，
$0.62° = 0.62×60' = 37.2'$，
分的整数部分为$37'$，剩余$0.2'$，
$0.2' = 0.2×60'' = 12''$，
因此$36.62°=36°37'12''$。
(2) ① 换算$27°14'24''$：
先把秒换算成分：$24'' = (24÷60)' = 0.4'$，
和原有分相加：$14'+0.4'=14.4'$，
再把分换算成度：$14.4' = (14.4÷60)° = 0.24°$，
和原有度相加：$27°+0.24°=27.24°$。
② 换算$33°24'36''$：
先把秒换算成分：$36'' = (36÷60)' = 0.6'$，
和原有分相加：$24'+0.6'=24.6'$，
再把分换算成度：$24.6' = (24.6÷60)° = 0.41°$，
和原有度相加：$33°+0.41°=33.41°$。
【答案】
(1) $36°37'12''$
(2) ① $27.24°$；② $33.41°$
【知识点】
1. 度分秒的进率
2. 角度单位互化
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题关键是牢记度分秒相邻单位进率为60，注意区分大单位转小单位乘进率、小单位转大单位除以进率，避免误用十进制进率导致计算错误。
【难度系数】
0.8
知识点三 表示方向的角
知识梳理
在航行、测绘等工作中经常用到一种角，它是表示方向的角，通常以
知识梳理
在航行、测绘等工作中经常用到一种角，它是表示方向的角，通常以
正北
、正南
方向为基准，描述物体运动的方向。答案
正北 正南
解析
【分析】
这是一道基础概念识记题，考查方向角的基本规定，解题时只需回忆课本中关于表示方向的角的相关定义即可。方向角是用于描述物体方位的角，课本明确规定了这类角的基准方向，直接对应填写对应内容即可。
【解析】
根据方向角的定义：在航行、测绘等工作中使用的表示方向的角，通常以正北、正南方向为基准，再结合偏东或偏西的角度来描述物体运动的方向，因此两个空依次填正北、正南。
【答案】
正北 正南
【知识点】
方向角的概念
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对方向角基础定义的记忆，掌握课本相关基础概念就能快速答对。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记题，考查方向角的基本规定，解题时只需回忆课本中关于表示方向的角的相关定义即可。方向角是用于描述物体方位的角，课本明确规定了这类角的基准方向，直接对应填写对应内容即可。
【解析】
根据方向角的定义：在航行、测绘等工作中使用的表示方向的角，通常以正北、正南方向为基准，再结合偏东或偏西的角度来描述物体运动的方向，因此两个空依次填正北、正南。
【答案】
正北 正南
【知识点】
方向角的概念
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对方向角基础定义的记忆，掌握课本相关基础概念就能快速答对。
【难度系数】
0.9
例3如图,标有A,B,C三个城市的地图被损坏了一部分,城市C的具体位置看不清楚了,但知道城市C在A的北偏东$30°$方向上,在B的南偏东$45°$方向上,请你帮忙确定城市C的
位置.
解:
位置.
解:
答案
在点A处作北偏东30°方向的射线,在点B处作南偏东45°方向的射线,两射线的交点即为城市C的位置,如解图所示。
解析
【分析】
要确定城市C的位置，首先明确：仅用一个方向条件只能确定点在某条射线上，要唯一确定平面内一个点的位置，需要两个约束条件。本题中C同时满足“在A的北偏东30°方向”和“在B的南偏东45°方向”两个条件，因此我们可以利用方向角的含义，分别以A、B为顶点作出对应方向的射线，两条射线的公共交点就是同时满足两个条件的C点。具体思考步骤：第一步牢记方向角判定的基本规则“上北下南，左西右东”，第二步分别从A、B两点出发画出符合角度要求的方向射线，第三步两条射线的交点即为所求的C点。
【解析】
1. 根据“上北下南、左西右东”的方向规则，在点A处建立方向标，以A为顶点，正北方向为始边，向东旋转30°画出一条射线，该射线上的所有点都满足在A的北偏东30°方向上；
2. 在点B处建立方向标，以B为顶点，正南方向为始边，向东旋转45°画出另一条射线，该射线上的所有点都满足在B的南偏东45°方向上；
3. 两条射线的交点，就是同时满足两个方向条件的城市C的位置。
【答案】
在点A处作北偏东30°方向的射线,在点B处作南偏东45°方向的射线,两射线的交点即为城市C的位置,如解图所示。
【知识点】
方向角，位置确定，射线作图
【点评】
本题结合生活实际考查方向角的应用，需要理解平面内确定一个点的位置至少需要两个独立条件，通过作对应方向射线找交点的方法即可求解，注重对动手作图能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定城市C的位置，首先明确：仅用一个方向条件只能确定点在某条射线上，要唯一确定平面内一个点的位置，需要两个约束条件。本题中C同时满足“在A的北偏东30°方向”和“在B的南偏东45°方向”两个条件，因此我们可以利用方向角的含义，分别以A、B为顶点作出对应方向的射线，两条射线的公共交点就是同时满足两个条件的C点。具体思考步骤：第一步牢记方向角判定的基本规则“上北下南，左西右东”，第二步分别从A、B两点出发画出符合角度要求的方向射线，第三步两条射线的交点即为所求的C点。
【解析】
1. 根据“上北下南、左西右东”的方向规则，在点A处建立方向标，以A为顶点，正北方向为始边，向东旋转30°画出一条射线，该射线上的所有点都满足在A的北偏东30°方向上；
2. 在点B处建立方向标，以B为顶点，正南方向为始边，向东旋转45°画出另一条射线，该射线上的所有点都满足在B的南偏东45°方向上；
3. 两条射线的交点，就是同时满足两个方向条件的城市C的位置。
【答案】
在点A处作北偏东30°方向的射线,在点B处作南偏东45°方向的射线,两射线的交点即为城市C的位置,如解图所示。
【知识点】
方向角，位置确定，射线作图
【点评】
本题结合生活实际考查方向角的应用，需要理解平面内确定一个点的位置至少需要两个独立条件，通过作对应方向射线找交点的方法即可求解，注重对动手作图能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
