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1.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+4y=8, \\ mx+(2m-1)y=7\end{cases}$的解也是二元一次方程$x-2y=1$的解，则$m$的值为（ ）
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
答案
1.A
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的同解问题，解题思路如下：首先明确三个方程（原方程组的两个方程和额外给出的二元一次方程）有公共解，因此可以先联立不含参数$m$的两个方程$3x+4y=8$和$x-2y=1$，求出$x$、$y$的公共解，再将求出的解代入含参数$m$的方程$mx+(2m-1)y=7$，即可求出$m$的值。
【解析】
因为方程组的解也是$x-2y=1$的解，所以先联立不含参数的两个方程：
$\begin{cases}3x+4y=8&①\\x-2y=1&②\end{cases}$
将②$×2$得：$2x-4y=2$ ③
①+③得：$5x=10$，解得$x=2$
把$x=2$代入②得：$2-2y=1$，解得$y=\frac{1}{2}$
将$x=2$，$y=\frac{1}{2}$代入$mx+(2m-1)y=7$得：
$2m + (2m-1)×\frac{1}{2}=7$
等式两边同乘2消去分母：$4m + 2m -1=14$
合并同类项得：$6m=15$
解得$m=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，参数求值
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的常考基础题型，解题核心是抓住同解的含义，先通过无参方程求出公共解，再代入含参方程求解参数，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
本题属于二元一次方程组的同解问题，解题思路如下：首先明确三个方程（原方程组的两个方程和额外给出的二元一次方程）有公共解，因此可以先联立不含参数$m$的两个方程$3x+4y=8$和$x-2y=1$，求出$x$、$y$的公共解，再将求出的解代入含参数$m$的方程$mx+(2m-1)y=7$，即可求出$m$的值。
【解析】
因为方程组的解也是$x-2y=1$的解，所以先联立不含参数的两个方程：
$\begin{cases}3x+4y=8&①\\x-2y=1&②\end{cases}$
将②$×2$得：$2x-4y=2$ ③
①+③得：$5x=10$，解得$x=2$
把$x=2$代入②得：$2-2y=1$，解得$y=\frac{1}{2}$
将$x=2$，$y=\frac{1}{2}$代入$mx+(2m-1)y=7$得：
$2m + (2m-1)×\frac{1}{2}=7$
等式两边同乘2消去分母：$4m + 2m -1=14$
合并同类项得：$6m=15$
解得$m=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，参数求值
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的常考基础题型，解题核心是抓住同解的含义，先通过无参方程求出公共解，再代入含参方程求解参数，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+y=6-2k, \\x+2y=2k-3\end{cases}$的解满足$2x-y=2k$，则$k$的值为（ ）
A.$\frac{7}{4}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{7}{4}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题要求参数$k$的值，解题思路为：先联立前两个关于$x,y$的方程，通过加减消元法用含$k$的代数式表示出$x$和$y$，再根据“方程组的解满足$2x-y=2k$”的条件，将表示出的$x,y$代入该等式，得到仅含$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
设$\begin{cases}2x+y=6-2k&①\\x+2y=2k-3&②\end{cases}$，已知方程组的解满足$2x-y=2k$ ③
先用加减消元法解由①②组成的方程组：
①$×2$，得 $4x+2y=12-4k$ ④
④$-$②，得 $3x=15-6k$，解得 $x=5-2k$
把$x=5-2k$代入①，得 $2(5-2k)+y=6-2k$
化简得：$10-4k+y=6-2k$，解得 $y=2k-4$
将$x=5-2k$，$y=2k-4$代入③，得：
$2(5-2k)-(2k-4)=2k$
展开左边：$10-4k-2k+4=2k$
合并同类项：$14-6k=2k$
移项整理得：$8k=14$
解得：$k=\frac{7}{4}$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组消元法，含参数方程组求解，方程解的应用
【点评】
本题是含参数二元一次方程组的常规题型，解题核心是先用消元法用参数表示出方程组的解，再结合已知等量关系建立关于参数的方程求解，熟练掌握消元法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题要求参数$k$的值，解题思路为：先联立前两个关于$x,y$的方程，通过加减消元法用含$k$的代数式表示出$x$和$y$，再根据“方程组的解满足$2x-y=2k$”的条件，将表示出的$x,y$代入该等式，得到仅含$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
设$\begin{cases}2x+y=6-2k&①\\x+2y=2k-3&②\end{cases}$，已知方程组的解满足$2x-y=2k$ ③
先用加减消元法解由①②组成的方程组：
①$×2$，得 $4x+2y=12-4k$ ④
④$-$②，得 $3x=15-6k$，解得 $x=5-2k$
把$x=5-2k$代入①，得 $2(5-2k)+y=6-2k$
化简得：$10-4k+y=6-2k$，解得 $y=2k-4$
将$x=5-2k$，$y=2k-4$代入③，得：
$2(5-2k)-(2k-4)=2k$
展开左边：$10-4k-2k+4=2k$
合并同类项：$14-6k=2k$
移项整理得：$8k=14$
解得：$k=\frac{7}{4}$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组消元法，含参数方程组求解，方程解的应用
【点评】
本题是含参数二元一次方程组的常规题型，解题核心是先用消元法用参数表示出方程组的解，再结合已知等量关系建立关于参数的方程求解，熟练掌握消元法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 若满足方程组$\begin{cases}x+3y=m+2, \\ x-y=-1\end{cases}$的$x,y$互为相反数，则$m$的值为 ______ 。
答案
3.$-1$
解析
【分析】
解题的关键是利用“x，y互为相反数”的条件得到隐含等式$x+y=0$，结合已知的方程$x-y=-1$，先联立这两个方程解出x、y的具体值，再将x、y代入含参数m的方程$x+3y=m+2$中，即可求出m的值。该方法计算简便，符合八年级阶段的解题要求。
【解析】
记原方程组$\begin{cases}x+3y=m+2&① \\ x-y=-1&②\end{cases}$
∵x，y互为相反数，
∴$x+y=0$ ③
联立②和③得方程组：$\begin{cases}x + y = 0 \\ x - y = -1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$
把$x=-\frac{1}{2}$代入③，得$-\frac{1}{2}+y=0$，解得$y=\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$、$y=\frac{1}{2}$代入①，得：
$-\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}=m+2$
化简左边得$1=m+2$，解得$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；代入法求参数
【点评】
本题是含参数二元一次方程组求参的基础题型，核心是挖掘题干中“互为相反数”的隐含条件，通过联立方程先求出未知数的值，再代入求参数，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题的关键是利用“x，y互为相反数”的条件得到隐含等式$x+y=0$，结合已知的方程$x-y=-1$，先联立这两个方程解出x、y的具体值，再将x、y代入含参数m的方程$x+3y=m+2$中，即可求出m的值。该方法计算简便，符合八年级阶段的解题要求。
【解析】
记原方程组$\begin{cases}x+3y=m+2&① \\ x-y=-1&②\end{cases}$
∵x，y互为相反数，
∴$x+y=0$ ③
联立②和③得方程组：$\begin{cases}x + y = 0 \\ x - y = -1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$
把$x=-\frac{1}{2}$代入③，得$-\frac{1}{2}+y=0$，解得$y=\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$、$y=\frac{1}{2}$代入①，得：
$-\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}=m+2$
化简左边得$1=m+2$，解得$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；代入法求参数
【点评】
本题是含参数二元一次方程组求参的基础题型，核心是挖掘题干中“互为相反数”的隐含条件，通过联立方程先求出未知数的值，再代入求参数，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
4.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+y=2a+1,\\x+2y=a-1\end{cases}$的解满足$x-y=4$，则$a$的值为 ______ .
答案
4.2
解析
【分析】
观察方程组中两个方程的系数特征，可将两个方程直接相减，得到用含a的代数式表示x-y的式子，再结合已知x-y=4的条件，即可建立关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值；也可先解方程组，用a表示出x、y后代入x-y=4计算，前者方法更简便。
【解析】
解：记$\begin{cases}2x+y=2a+1&①\\x+2y=a-1&②\end{cases}$
用①减去②，可得：
$\begin{aligned}(2x+y)-(x+2y)&=(2a+1)-(a-1)\\x-y&=a+2\end{aligned}$
已知$x-y=4$，因此有：
$a+2=4$
解得$a=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是含参数的二元一次方程组求参数的典型基础题，解题时优先观察方程系数特点，选择整体运算的方法可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察方程组中两个方程的系数特征，可将两个方程直接相减，得到用含a的代数式表示x-y的式子，再结合已知x-y=4的条件，即可建立关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值；也可先解方程组，用a表示出x、y后代入x-y=4计算，前者方法更简便。
【解析】
解：记$\begin{cases}2x+y=2a+1&①\\x+2y=a-1&②\end{cases}$
用①减去②，可得：
$\begin{aligned}(2x+y)-(x+2y)&=(2a+1)-(a-1)\\x-y&=a+2\end{aligned}$
已知$x-y=4$，因此有：
$a+2=4$
解得$a=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是含参数的二元一次方程组求参数的典型基础题，解题时优先观察方程系数特点，选择整体运算的方法可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}4x+3y=11, \\ax+by=-2\end{cases}$ 和 $\begin{cases}3x-5y=1, \\bx-ay=6\end{cases}$ 的解相同，则 $(a+b)^{2025}$ 的值为 ______ .
答案
5.0
解析
【分析】
两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程。解题思路如下：第一步，先把不含参数a、b的两个方程联立，组成新的二元一次方程组，求解得到x、y的公共解；第二步，将求得的x、y的值代入含参数的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，把a、b的值代入$(a+b)^{2025}$计算结果即可。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}4x+3y=11 ① \\3x-5y=1 ②\end{cases}$
①×5，得$20x+15y=55$ ③
②×3，得$9x-15y=3$ ④
③+④，得$29x=58$，解得$x=2$
把$x=2$代入①，得$4×2+3y=11$，解得$y=1$
将$x=2,y=1$代入$\begin{cases}ax+by=-2 \\bx-ay=6\end{cases}$，得：
$\begin{cases}2a + b = -2 ⑤ \\2b - a = 6 ⑥\end{cases}$
由⑥变形得$a=2b-6$，代入⑤：
$2(2b-6)+b=-2$
$4b-12 + b = -2$
$5b=10$，解得$b=2$
把$b=2$代入$a=2b-6$，得$a=2×2 -6 = -2$
所以$a+b=-2+2=0$，则$(a+b)^{2025}=0^{2025}=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题的核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，先求公共解再求参数是这类问题的常规解题思路，计算时注意消元法的正确运用。
【难度系数】
0.7
两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程。解题思路如下：第一步，先把不含参数a、b的两个方程联立，组成新的二元一次方程组，求解得到x、y的公共解；第二步，将求得的x、y的值代入含参数的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，把a、b的值代入$(a+b)^{2025}$计算结果即可。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}4x+3y=11 ① \\3x-5y=1 ②\end{cases}$
①×5，得$20x+15y=55$ ③
②×3，得$9x-15y=3$ ④
③+④，得$29x=58$，解得$x=2$
把$x=2$代入①，得$4×2+3y=11$，解得$y=1$
将$x=2,y=1$代入$\begin{cases}ax+by=-2 \\bx-ay=6\end{cases}$，得：
$\begin{cases}2a + b = -2 ⑤ \\2b - a = 6 ⑥\end{cases}$
由⑥变形得$a=2b-6$，代入⑤：
$2(2b-6)+b=-2$
$4b-12 + b = -2$
$5b=10$，解得$b=2$
把$b=2$代入$a=2b-6$，得$a=2×2 -6 = -2$
所以$a+b=-2+2=0$，则$(a+b)^{2025}=0^{2025}=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题的核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，先求公共解再求参数是这类问题的常规解题思路，计算时注意消元法的正确运用。
【难度系数】
0.7
6. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + 3y = -5, ① \\2x - by = 14, ②\end{cases}$并请小方和小龙两位同学到黑板上板演. 可是小方同学看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=2;\end{cases}$小龙同学看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=-2, \\y=-1.\end{cases}$你能按正确的$a,b$值求出方程组的解吗？请试一试.
答案
6. 解: 将 $\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$ 代入②, 得 $6 - 2b = 14$, 解得 $b = - 4$. 将$\begin{cases}x=-2,\\y=-1\end{cases}$代入①,得$-2a-3=-5,$解得 $a=1.$ 将 $a=1,b=-4$代入原方程组,得 $\begin{cases} x+3y=-5,\\ 2x+4y=14,\end{cases}$解得 $\begin{cases} x=31,\\ y=-12.\end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心逻辑是：看错某一个方程中的参数时，得到的方程组的解不满足这个看错的方程，但一定满足另一个没有看错的方程。因此我们可以先把小方的解代入未看错的方程②求出正确的$b$，再把小龙的解代入未看错的方程①求出正确的$a$，最后将正确的$a,b$代入原方程组，解二元一次方程组即可得到答案。
【解析】
1. 求参数$b$：
小方看错了方程①中的$a$，因此他的解$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$满足方程②，将解代入②得：
$2×3 - b×2 = 14$
化简得$6-2b=14$，解得$b=-4$。
2. 求参数$a$：
小龙看错了方程②中的$b$，因此他的解$\begin{cases}x=-2 \\ y=-1\end{cases}$满足方程①，将解代入①得：
$a×(-2) + 3×(-1) = -5$
化简得$-2a-3=-5$，解得$a=1$。
3. 解正确的方程组：
将$a=1,b=-4$代入原方程组，得：
$\begin{cases}x + 3y = -5 \quad③ \\2x + 4y = 14 \quad④\end{cases}$
用加减消元法求解：③$×2$得$2x+6y=-10$ ⑤，
⑤$-$④得$2y=-24$，解得$y=-12$，
将$y=-12$代入③得$x + 3×(-12) = -5$，解得$x=31$。
【答案】
$\begin{cases}x=31 \\ y=-12\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义；代入法求参数；解二元一次方程组
【点评】
本题是含参数二元一次方程组的典型题型，解题关键是灵活运用方程组解的含义，不需要纠结看错的参数对应的方程，仅利用未看错的方程求参数即可，重点考察对概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心逻辑是：看错某一个方程中的参数时，得到的方程组的解不满足这个看错的方程，但一定满足另一个没有看错的方程。因此我们可以先把小方的解代入未看错的方程②求出正确的$b$，再把小龙的解代入未看错的方程①求出正确的$a$，最后将正确的$a,b$代入原方程组，解二元一次方程组即可得到答案。
【解析】
1. 求参数$b$：
小方看错了方程①中的$a$，因此他的解$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$满足方程②，将解代入②得：
$2×3 - b×2 = 14$
化简得$6-2b=14$，解得$b=-4$。
2. 求参数$a$：
小龙看错了方程②中的$b$，因此他的解$\begin{cases}x=-2 \\ y=-1\end{cases}$满足方程①，将解代入①得：
$a×(-2) + 3×(-1) = -5$
化简得$-2a-3=-5$，解得$a=1$。
3. 解正确的方程组：
将$a=1,b=-4$代入原方程组，得：
$\begin{cases}x + 3y = -5 \quad③ \\2x + 4y = 14 \quad④\end{cases}$
用加减消元法求解：③$×2$得$2x+6y=-10$ ⑤，
⑤$-$④得$2y=-24$，解得$y=-12$，
将$y=-12$代入③得$x + 3×(-12) = -5$，解得$x=31$。
【答案】
$\begin{cases}x=31 \\ y=-12\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义；代入法求参数；解二元一次方程组
【点评】
本题是含参数二元一次方程组的典型题型，解题关键是灵活运用方程组解的含义，不需要纠结看错的参数对应的方程，仅利用未看错的方程求参数即可，重点考察对概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
