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8. 甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道跑步，甲的速度是乙的1.5倍。它们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙，则甲的速度是（
A.50米/分钟
B.75米/分钟
C.100米/分钟
D.150米/分钟
D
）A.50米/分钟
B.75米/分钟
C.100米/分钟
D.150米/分钟
答案
8. D
解析
【分析】这是环形跑道同向追及问题，同向、同地、同时出发的前提下，快的一方第一次追上慢的一方时，快的比慢的多跑1圈也就是400米。我们可以根据甲、乙的速度倍数关系设未知数，再利用“路程差=速度差×追及时间”这个核心等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】设乙的速度为$x$米/分钟，则甲的速度为$1.5x$米/分钟。
由题意得，8分钟甲比乙多跑400米，可列方程：
$8×(1.5x - x) = 400$
化简得：$8×0.5x = 400$
即：$4x = 400$
解得：$x = 100$
所以甲的速度为$1.5x = 1.5×100 = 150$（米/分钟）
故选D。
【答案】D
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 环形追及问题
【点评】本题的解题核心是抓住环形同向追及的路程差规律，明确第一次追上时两人的路程差为1圈跑道长度，结合速度关系设未知数列方程即可快速求解，是行程类应用题的典型基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】设乙的速度为$x$米/分钟，则甲的速度为$1.5x$米/分钟。
由题意得，8分钟甲比乙多跑400米，可列方程：
$8×(1.5x - x) = 400$
化简得：$8×0.5x = 400$
即：$4x = 400$
解得：$x = 100$
所以甲的速度为$1.5x = 1.5×100 = 150$（米/分钟）
故选D。
【答案】D
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 环形追及问题
【点评】本题的解题核心是抓住环形同向追及的路程差规律，明确第一次追上时两人的路程差为1圈跑道长度，结合速度关系设未知数列方程即可快速求解，是行程类应用题的典型基础题型。
【难度系数】0.7
9.我市自来水“一户一表”收费实行阶梯水价，收费标准(含污水处理费)如下表所示，若郑老师5月缴水费93.8元，则月用水量为
25
吨。答案
9. 25
解析
【分析】
本题是阶梯水价的分段计费问题，解题时首先要计算不同阶梯的最高收费，判断所缴水费对应的用水量属于哪个收费区间，再根据对应区间的收费标准列方程求解。第一步先计算用水量为17吨时的总水费，和93.8元比较，判断是否超过17吨；第二步计算用水量为30吨时的总水费，和93.8元比较，判断是否超过30吨；确定区间后设未知数，根据“第一档水费+第二档水费=总缴费”列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
首先计算第一档（不超过17吨）最高水费：
$17 × 3.4 = 57.8$（元）
因为$57.8 ＜ 93.8$，所以用水量超过17吨。
再计算第二档（不超过30吨）最高水费：
$57.8 + (30 - 17) × 4.5 = 57.8 + 58.5 = 116.3$（元）
因为$93.8 ＜ 116.3$，所以用水量在17吨到30吨之间，超过17吨的部分按4.5元/吨收费。
设郑老师家5月用水量为$x$吨，根据题意列方程：
$17 × 3.4 + 4.5(x - 17) = 93.8$
化简计算：
$57.8 + 4.5x - 76.5 = 93.8$
$4.5x = 93.8 + 76.5 - 57.8$
$4.5x = 112.5$
解得：$x = 25$
【答案】
25
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于生活中常见的阶梯收费类问题，解题核心是先根据缴费金额判断对应的收费区间，再结合收费规则建立等量关系求解，这类题目贴近生活，考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7
本题是阶梯水价的分段计费问题，解题时首先要计算不同阶梯的最高收费，判断所缴水费对应的用水量属于哪个收费区间，再根据对应区间的收费标准列方程求解。第一步先计算用水量为17吨时的总水费，和93.8元比较，判断是否超过17吨；第二步计算用水量为30吨时的总水费，和93.8元比较，判断是否超过30吨；确定区间后设未知数，根据“第一档水费+第二档水费=总缴费”列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
首先计算第一档（不超过17吨）最高水费：
$17 × 3.4 = 57.8$（元）
因为$57.8 ＜ 93.8$，所以用水量超过17吨。
再计算第二档（不超过30吨）最高水费：
$57.8 + (30 - 17) × 4.5 = 57.8 + 58.5 = 116.3$（元）
因为$93.8 ＜ 116.3$，所以用水量在17吨到30吨之间，超过17吨的部分按4.5元/吨收费。
设郑老师家5月用水量为$x$吨，根据题意列方程：
$17 × 3.4 + 4.5(x - 17) = 93.8$
化简计算：
$57.8 + 4.5x - 76.5 = 93.8$
$4.5x = 93.8 + 76.5 - 57.8$
$4.5x = 112.5$
解得：$x = 25$
【答案】
25
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于生活中常见的阶梯收费类问题，解题核心是先根据缴费金额判断对应的收费区间，再结合收费规则建立等量关系求解，这类题目贴近生活，考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7
10.某家用电器公司计划生产一种新型榨汁机，每台榨汁机需安装2个A型零件和1个B型零件，由甲车间负责生产这两种零件，该车间每天能生产A型零件800个或B型零件600个，现要使在15天中所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产A型零件？甲车间负责生产的零件可以安装多少台榨汁机？
答案
10. 9天，3600台
解析
【分析】
这是典型的配套类应用题，解题核心是找到两种零件的数量配套关系：每台榨汁机需要2个A型零件和1个B型零件，因此生产的A型零件总数量是B型零件总数量的2倍。我们可以设安排x天生产A型零件，则生产B型零件的天数为(15-x)天，分别表示出A、B两种零件的总数量，再根据配套的等量关系列一元一次方程求解，最后根据零件数量计算可安装的榨汁机总数即可。
【解析】
解：设应该安排$x$天生产A型零件，则安排$(15-x)$天生产B型零件。
根据配套要求，A型零件总数量 = 2×B型零件总数量，列方程得：
$800x = 2×600×(15 - x)$
展开得：$800x = 18000 - 1200x$
移项、合并同类项得：$2000x = 18000$
解得：$x = 9$
可安装榨汁机的数量为：$800×9÷2 = 3600$（台）
【答案】
应该安排9天生产A型零件，甲车间负责生产的零件可以安装3600台榨汁机。
【知识点】
一元一次方程的应用，配套问题
【点评】
本题属于配套类的方程应用题，解题的关键是准确梳理两种零件的配套比例关系，避免将倍数关系写反，只要正确找到等量关系列方程，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的配套类应用题，解题核心是找到两种零件的数量配套关系：每台榨汁机需要2个A型零件和1个B型零件，因此生产的A型零件总数量是B型零件总数量的2倍。我们可以设安排x天生产A型零件，则生产B型零件的天数为(15-x)天，分别表示出A、B两种零件的总数量，再根据配套的等量关系列一元一次方程求解，最后根据零件数量计算可安装的榨汁机总数即可。
【解析】
解：设应该安排$x$天生产A型零件，则安排$(15-x)$天生产B型零件。
根据配套要求，A型零件总数量 = 2×B型零件总数量，列方程得：
$800x = 2×600×(15 - x)$
展开得：$800x = 18000 - 1200x$
移项、合并同类项得：$2000x = 18000$
解得：$x = 9$
可安装榨汁机的数量为：$800×9÷2 = 3600$（台）
【答案】
应该安排9天生产A型零件，甲车间负责生产的零件可以安装3600台榨汁机。
【知识点】
一元一次方程的应用，配套问题
【点评】
本题属于配套类的方程应用题，解题的关键是准确梳理两种零件的配套比例关系，避免将倍数关系写反，只要正确找到等量关系列方程，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.有两种消费券:A券,满60元减20元,B券,满90元减30元,即一次购物大于等于60元、90元,付款时分别减20元、30元。小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是
100或85
元。答案
11. 100或85
解析
【分析】
首先设所购商品的标价为x元，由于消费券的使用有明确的金额门槛，因此需要根据x的取值范围分类讨论：首先排除x＜60的情况（两人都无法用券，总付款2x=150解得x=75，与x＜60矛盾），再分别讨论60≤x＜90（仅小敏能使用A券）、x≥90（两人都可使用对应消费券）两种情况，根据两人共付款150元的等量关系列一元一次方程求解，最后验证解是否符合对应取值范围即可。
【解析】
设所购商品的标价为$ x $元，分情况讨论：
① 若$ x ＜ 60 $：两人均未达到消费券使用门槛，无减免，总付款为$ 2x = 150 $，解得$ x=75 $，与$ x ＜ 60 $矛盾，该情况不成立。
② 若$ 60 ≤ x ＜ 90 $：小敏达到A券使用门槛，可减20元；小聪未达到B券使用门槛，无减免。根据总付款150元列方程：
$ (x - 20) + x = 150 $
解得$ x = 85 $，符合$ 60 ≤ x ＜ 90 $的要求，该情况成立。
③ 若$ x ≥ 90 $：两人均达到各自消费券使用门槛，小敏减20元，小聪减30元，列方程：
$ (x - 20) + (x - 30) = 150 $
解得$ x = 100 $，符合$ x ≥ 90 $的要求，该情况成立。
综上，所购商品的标价为85元或100元。
【答案】
100或85
【知识点】
一元一次方程的应用、分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是根据消费券的使用门槛合理划分标价的取值范围，针对不同场景列方程求解，求出解后要注意验证是否符合对应区间的要求，避免出现增解或者漏解的问题。
【难度系数】
0.65
首先设所购商品的标价为x元，由于消费券的使用有明确的金额门槛，因此需要根据x的取值范围分类讨论：首先排除x＜60的情况（两人都无法用券，总付款2x=150解得x=75，与x＜60矛盾），再分别讨论60≤x＜90（仅小敏能使用A券）、x≥90（两人都可使用对应消费券）两种情况，根据两人共付款150元的等量关系列一元一次方程求解，最后验证解是否符合对应取值范围即可。
【解析】
设所购商品的标价为$ x $元，分情况讨论：
① 若$ x ＜ 60 $：两人均未达到消费券使用门槛，无减免，总付款为$ 2x = 150 $，解得$ x=75 $，与$ x ＜ 60 $矛盾，该情况不成立。
② 若$ 60 ≤ x ＜ 90 $：小敏达到A券使用门槛，可减20元；小聪未达到B券使用门槛，无减免。根据总付款150元列方程：
$ (x - 20) + x = 150 $
解得$ x = 85 $，符合$ 60 ≤ x ＜ 90 $的要求，该情况成立。
③ 若$ x ≥ 90 $：两人均达到各自消费券使用门槛，小敏减20元，小聪减30元，列方程：
$ (x - 20) + (x - 30) = 150 $
解得$ x = 100 $，符合$ x ≥ 90 $的要求，该情况成立。
综上，所购商品的标价为85元或100元。
【答案】
100或85
【知识点】
一元一次方程的应用、分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是根据消费券的使用门槛合理划分标价的取值范围，针对不同场景列方程求解，求出解后要注意验证是否符合对应区间的要求，避免出现增解或者漏解的问题。
【难度系数】
0.65
12. 工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成。仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面(如图①)，乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面(如图②)，裁剪后边角料(图中阴影部分)不再利用。已知裁剪出的侧面和底面恰好全部用完。
(1)求两种规格的纸板各有多少张？
(2)一共能生产多少个巧克力包装盒？
(1)求两种规格的纸板各有多少张？
(2)一共能生产多少个巧克力包装盒？
答案
12. (1)设仓库有甲种规格的纸板x张，则有4x+2(2600−x)=3(2600−x)×1.5，解得x=1000，甲种规格的纸板1000张，乙种规格的纸板1600张 (2)一共能生产2400个巧克力包装盒
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题思路如下：1. 设未知数：设甲种规格纸板有x张，根据总纸板数可得乙种纸板为(2600-x)张；2. 表示总量：分别用含x的式子表示出裁剪得到的侧面总数量、底面总数量；3. 找等量关系：每个包装盒需要3个侧面、2个底面，且裁剪的侧面和底面恰好用完，说明侧面总数÷3 = 底面总数÷2（即生产的包装盒数量相等），以此列方程求解。第二问利用求出的侧面总数或底面总数，除以对应每个盒子的用量，即可得到包装盒总数。
【解析】
(1) 设仓库有甲种规格的纸板x张，则乙种规格的纸板有(2600-x)张。
由题意得，裁剪得到的侧面总数为：$4x + 2(2600-x)$
裁剪得到的底面总数为：$3(2600-x)$
因为侧面和底面恰好全部用完，生产的包装盒数量相等，因此：
$\frac{4x + 2(2600-x)}{3} = \frac{3(2600-x)}{2}$
两边同乘6去分母得：$2[4x + 2(2600-x)] = 9(2600-x)$
展开计算：$8x + 10400 - 4x = 23400 - 9x$
移项合并同类项：$13x = 13000$
解得：$x = 1000$
则乙种规格纸板数量为：$2600 - 1000 = 1600$（张）
(2) 用侧面总数计算包装盒数量：
总侧面数为：$4×1000 + 2×1600 = 7200$（个）
可生产包装盒数量：$7200÷3 = 2400$（个）
（也可通过底面总数计算：总底面数$3×1600=4800$个，$4800÷2=2400$个，结果一致）
【答案】
(1) 甲种规格的纸板1000张，乙种规格的纸板1600张；(2) 一共能生产2400个巧克力包装盒
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题，代数式表示数量
【点评】
本题是常见的实际应用类题型，解题核心是准确抓住侧面和底面的配套比例，建立正确的等量关系列方程求解，能够有效考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题思路如下：1. 设未知数：设甲种规格纸板有x张，根据总纸板数可得乙种纸板为(2600-x)张；2. 表示总量：分别用含x的式子表示出裁剪得到的侧面总数量、底面总数量；3. 找等量关系：每个包装盒需要3个侧面、2个底面，且裁剪的侧面和底面恰好用完，说明侧面总数÷3 = 底面总数÷2（即生产的包装盒数量相等），以此列方程求解。第二问利用求出的侧面总数或底面总数，除以对应每个盒子的用量，即可得到包装盒总数。
【解析】
(1) 设仓库有甲种规格的纸板x张，则乙种规格的纸板有(2600-x)张。
由题意得，裁剪得到的侧面总数为：$4x + 2(2600-x)$
裁剪得到的底面总数为：$3(2600-x)$
因为侧面和底面恰好全部用完，生产的包装盒数量相等，因此：
$\frac{4x + 2(2600-x)}{3} = \frac{3(2600-x)}{2}$
两边同乘6去分母得：$2[4x + 2(2600-x)] = 9(2600-x)$
展开计算：$8x + 10400 - 4x = 23400 - 9x$
移项合并同类项：$13x = 13000$
解得：$x = 1000$
则乙种规格纸板数量为：$2600 - 1000 = 1600$（张）
(2) 用侧面总数计算包装盒数量：
总侧面数为：$4×1000 + 2×1600 = 7200$（个）
可生产包装盒数量：$7200÷3 = 2400$（个）
（也可通过底面总数计算：总底面数$3×1600=4800$个，$4800÷2=2400$个，结果一致）
【答案】
(1) 甲种规格的纸板1000张，乙种规格的纸板1600张；(2) 一共能生产2400个巧克力包装盒
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题，代数式表示数量
【点评】
本题是常见的实际应用类题型，解题核心是准确抓住侧面和底面的配套比例，建立正确的等量关系列方程求解，能够有效考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7
