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1. 如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠B=75°。根据下列四个三角形中标出的相关数据,与△ABC相似的三角形是(
D
)。答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先从已知△ABC的条件入手，已知AB=AC说明它是等腰三角形，给出底角∠B=75°，第一步先利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，算出△ABC三个内角的度数，明确其角度特征。再结合相似三角形的判定定理，逐一判断四个选项中的三角形是否满足相似条件，即可选出正确答案。
【解析】
首先计算△ABC的内角度数：
∵在△ABC中，AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=75°，
根据三角形内角和为180°，可得顶角∠BAC=180°-75°-75°=30°，
即△ABC的三个内角度数为30°、75°、75°，两腰长度均为6，两腰的夹角为30°。
逐一分析选项：
A、B、C选项中的三角形均不满足相似三角形的判定条件，D选项的三角形符合相似判定要求（要么两角分别与△ABC的内角对应相等，要么两边成比例且夹角和△ABC的顶角30°相等），因此D选项的三角形与△ABC相似。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是先求出已知三角形的角度特征，再结合判定定理比对选项即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知△ABC的条件入手，已知AB=AC说明它是等腰三角形，给出底角∠B=75°，第一步先利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，算出△ABC三个内角的度数，明确其角度特征。再结合相似三角形的判定定理，逐一判断四个选项中的三角形是否满足相似条件，即可选出正确答案。
【解析】
首先计算△ABC的内角度数：
∵在△ABC中，AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=75°，
根据三角形内角和为180°，可得顶角∠BAC=180°-75°-75°=30°，
即△ABC的三个内角度数为30°、75°、75°，两腰长度均为6，两腰的夹角为30°。
逐一分析选项：
A、B、C选项中的三角形均不满足相似三角形的判定条件，D选项的三角形符合相似判定要求（要么两角分别与△ABC的内角对应相等，要么两边成比例且夹角和△ABC的顶角30°相等），因此D选项的三角形与△ABC相似。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是先求出已知三角形的角度特征，再结合判定定理比对选项即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形。若$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，则下列结论一定正确的是(
A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和③相似
B
)。A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和③相似
答案
2.B
解析
【分析】
拿到本题首先梳理已知条件：四边形对角线AC、BD交于点O，给出$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，需要判断哪两个三角形相似。首先回忆相似三角形的判定定理，其中“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是本题的核心解题依据。接下来找相等的角：对角线相交形成的∠AOB和∠COD是对顶角，天然相等；再观察这两个角的边，∠AOB的两条边是OA、OB，∠COD的两条边是OC、OD，恰好对应已知的成比例线段，因此可推出对应两个三角形相似。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O
∴ $∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，即$∠ AOB = ∠ COD$
又
∵ $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ AOB ∽ △ COD$
即编号①的三角形和编号③的三角形相似，故选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题关键是准确匹配相等的夹角与成比例的对应边，避免混淆三角形的对应关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先梳理已知条件：四边形对角线AC、BD交于点O，给出$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，需要判断哪两个三角形相似。首先回忆相似三角形的判定定理，其中“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是本题的核心解题依据。接下来找相等的角：对角线相交形成的∠AOB和∠COD是对顶角，天然相等；再观察这两个角的边，∠AOB的两条边是OA、OB，∠COD的两条边是OC、OD，恰好对应已知的成比例线段，因此可推出对应两个三角形相似。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O
∴ $∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，即$∠ AOB = ∠ COD$
又
∵ $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ AOB ∽ △ COD$
即编号①的三角形和编号③的三角形相似，故选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题关键是准确匹配相等的夹角与成比例的对应边，避免混淆三角形的对应关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 下列条件中，能判断$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的是（
A.$AB=3A'B'$，$∠ A=∠ A'$
B.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$∠ B=∠ B'$
C.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$∠ B=∠ B'$
D.$A'B'=4AB$，$AC=4A'C'$，$∠ A=∠ A'$
C
）。A.$AB=3A'B'$，$∠ A=∠ A'$
B.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$∠ B=∠ B'$
C.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$∠ B=∠ B'$
D.$A'B'=4AB$，$AC=4A'C'$，$∠ A=∠ A'$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查利用“两边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似的知识。解题思路很明确：首先牢记该判定定理的两个必要条件：①两组对应边的比值相等；②相等的角必须是这两组对应边的夹角。我们只需要逐一验证四个选项是否同时满足这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合判定定理逐个分析选项：
选项A：仅给出一组边的倍数关系，缺少另一组对应边成比例的条件，不满足两边成比例的要求，无法判定相似，排除；
选项B：虽然有$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，但相等的∠B、∠B'并不是两组成比例边的夹角（∠B是AB与BC的夹角，∠B'是A'B'与B'C'的夹角），不满足“夹角相等”的要求，无法判定相似，排除；
选项C：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，且相等的∠B、∠B'恰好是两组成比例边的夹角，完全符合“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，可以判定△ABC∽△A'B'C'，符合要求；
选项D：由$A'B'=4AB$得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{4}$，由$AC=4A'C'$得$\frac{AC}{A'C'}=4$，两组边的比值不相等，不满足两边对应成比例的要求，无法判定相似，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形相似的判定、两边夹一角判定相似
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，核心易错点是混淆“夹角”和“边的对角”，只要准确把握判定定理的细节要求，就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
本题考查利用“两边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似的知识。解题思路很明确：首先牢记该判定定理的两个必要条件：①两组对应边的比值相等；②相等的角必须是这两组对应边的夹角。我们只需要逐一验证四个选项是否同时满足这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合判定定理逐个分析选项：
选项A：仅给出一组边的倍数关系，缺少另一组对应边成比例的条件，不满足两边成比例的要求，无法判定相似，排除；
选项B：虽然有$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，但相等的∠B、∠B'并不是两组成比例边的夹角（∠B是AB与BC的夹角，∠B'是A'B'与B'C'的夹角），不满足“夹角相等”的要求，无法判定相似，排除；
选项C：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，且相等的∠B、∠B'恰好是两组成比例边的夹角，完全符合“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，可以判定△ABC∽△A'B'C'，符合要求；
选项D：由$A'B'=4AB$得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{4}$，由$AC=4A'C'$得$\frac{AC}{A'C'}=4$，两组边的比值不相等，不满足两边对应成比例的要求，无法判定相似，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形相似的判定、两边夹一角判定相似
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，核心易错点是混淆“夹角”和“边的对角”，只要准确把握判定定理的细节要求，就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在四边形ABCD中$,∠A=∠BDC=90°,AB=8,AD=4,DC=2\sqrt{5}$。
求证:△ABD∽△DBC。
求证:△ABD∽△DBC。
答案
4. 证明:$\because ∠A=90^{\circ },AB=8,AD=4,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=2。$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,得
$DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}。$
$\because DC=2\sqrt{5},$
$\therefore \frac{DB}{DC}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{DB}{DC}=2,$
$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}。$
$\because ∠A=∠BDC=90^{\circ },$
$\therefore △ ABD∽ △ DBC。$
$\therefore \frac{AB}{AD}=2。$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,得
$DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}。$
$\because DC=2\sqrt{5},$
$\therefore \frac{DB}{DC}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{DB}{DC}=2,$
$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}。$
$\because ∠A=∠BDC=90^{\circ },$
$\therefore △ ABD∽ △ DBC。$
解析
【分析】
要证明△ABD∽△DBC，首先观察已知条件，两个三角形都有直角，即∠A=∠BDC=90°，根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此只需验证夹这组等角的两组边对应成比例即可。首先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出斜边BD的长度，再计算两组对应边的比值，若比值相等即可结合等角完成相似证明。
【解析】
证明：$\because ∠A=90^{\circ },AB=8,AD=4,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，得
$DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
$\because DC=2\sqrt{5},$
$\therefore \frac{DB}{DC}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{DB}{DC}=2,$
整理得$\frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}$。
又$\because ∠A=∠BDC=90^{\circ },$
$\therefore △ ABD∽ △ DBC$。
【答案】
△ABD∽△DBC，得证。
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先借助勾股定理求出未知边BD的长度，再验证对应边成比例，结合已知的直角即可完成证明，解题时需注意对应边的比例关系不要写反。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD∽△DBC，首先观察已知条件，两个三角形都有直角，即∠A=∠BDC=90°，根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此只需验证夹这组等角的两组边对应成比例即可。首先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出斜边BD的长度，再计算两组对应边的比值，若比值相等即可结合等角完成相似证明。
【解析】
证明：$\because ∠A=90^{\circ },AB=8,AD=4,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，得
$DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
$\because DC=2\sqrt{5},$
$\therefore \frac{DB}{DC}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{DB}{DC}=2,$
整理得$\frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}$。
又$\because ∠A=∠BDC=90^{\circ },$
$\therefore △ ABD∽ △ DBC$。
【答案】
△ABD∽△DBC，得证。
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先借助勾股定理求出未知边BD的长度，再验证对应边成比例，结合已知的直角即可完成证明，解题时需注意对应边的比例关系不要写反。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$△ ABC$和$△ ACD$有公共边$AC$，$∠ ADC=∠ BAC$，添加一个条件可判定$△ ABC$和$△ ACD$相似，则这个条件可以是（
A.$\frac{DA}{AB}=\frac{AC}{BC}$
B.$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{BC}$
C.$AC^2=BC· DC$
D.$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}$
（第1题）（第2题）
D
）。A.$\frac{DA}{AB}=\frac{AC}{BC}$
B.$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{BC}$
C.$AC^2=BC· DC$
D.$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}$
（第1题）（第2题）
答案
1.D
解析
【分析】
首先已知△ABC和△ACD有一组相等的角∠ADC=∠BAC，根据相似三角形的判定定理，有一组角相等的两个三角形，若再满足另一组角相等，或该组相等角的夹边对应成比例，即可判定相似。本题可先确定相等角的两组夹边：在△ABC中，∠BAC的夹边为AB、AC；在△ACD中，∠ADC的夹边为DA、DC，因此我们只需找到符合“等角夹边对应成比例”的选项即可。
【解析】
已知在△ABC和△ACD中，∠ADC=∠BAC，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足相等角的夹边对应成比例：
∠BAC的夹边为AB、AC，∠ADC的夹边为DA、DC，因此比例关系为$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}$。
逐一验证选项：
A选项：$\frac{DA}{AB}=\frac{AC}{BC}$中BC不是∠ADC的夹边，不符合要求，错误；
B选项：$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{BC}$中BC不是对应边，不符合要求，错误；
C选项：将$AC^2=BC·DC$变形为$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，对应边不匹配，不符合要求，错误；
D选项：$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}$符合等角夹边对应成比例的要求，可判定两三角形相似，正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定条件，解题的核心是准确识别相等角对应的夹边，避免因对应边混淆出现错误。
【难度系数】
0.7
首先已知△ABC和△ACD有一组相等的角∠ADC=∠BAC，根据相似三角形的判定定理，有一组角相等的两个三角形，若再满足另一组角相等，或该组相等角的夹边对应成比例，即可判定相似。本题可先确定相等角的两组夹边：在△ABC中，∠BAC的夹边为AB、AC；在△ACD中，∠ADC的夹边为DA、DC，因此我们只需找到符合“等角夹边对应成比例”的选项即可。
【解析】
已知在△ABC和△ACD中，∠ADC=∠BAC，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足相等角的夹边对应成比例：
∠BAC的夹边为AB、AC，∠ADC的夹边为DA、DC，因此比例关系为$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}$。
逐一验证选项：
A选项：$\frac{DA}{AB}=\frac{AC}{BC}$中BC不是∠ADC的夹边，不符合要求，错误；
B选项：$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{BC}$中BC不是对应边，不符合要求，错误；
C选项：将$AC^2=BC·DC$变形为$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，对应边不匹配，不符合要求，错误；
D选项：$\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}$符合等角夹边对应成比例的要求，可判定两三角形相似，正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定条件，解题的核心是准确识别相等角对应的夹边，避免因对应边混淆出现错误。
【难度系数】
0.7
2.【数学应用】如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，其中$AD=BC$，BC与AD在点O处固定，且$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，测得$CD=4\ \mathrm{cm}$，则AB的长为（
A.6 cm
B.8 cm
C.12 cm
D.16 cm
C
）。A.6 cm
B.8 cm
C.12 cm
D.16 cm
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察图形可知△COD和△BOA有公共对顶角∠COD与∠BOA，结合题目给出的边的比例关系$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知CD的长度即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵∠COD与∠BOA是对顶角，
∴∠COD=∠BOA，
又
∵$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，
∴△COD∽△BOA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
将$CD=4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{4}{AB}=\frac{1}{3}$，
解得$AB=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是准确识别相似三角形，结合相似的判定定理和性质求解未知边长，贴近生活实际，能很好地考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△COD和△BOA有公共对顶角∠COD与∠BOA，结合题目给出的边的比例关系$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知CD的长度即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵∠COD与∠BOA是对顶角，
∴∠COD=∠BOA，
又
∵$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，
∴△COD∽△BOA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
将$CD=4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{4}{AB}=\frac{1}{3}$，
解得$AB=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是准确识别相似三角形，结合相似的判定定理和性质求解未知边长，贴近生活实际，能很好地考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
