13. (★★)如图,在方格纸中,图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由图形①得到图形②的变化过程: .

解：将图形①绕点D顺时针旋转90°，再向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度，即可得到图形②。
（答案不唯一，合理即可）

【分析】
要解决该问题，首先观察图形①和图形②的差异：二者朝向不同，因此先需要通过旋转调整朝向，再通过平移调整位置。可选择图形①的顶点D作为旋转中心，先确定旋转方向和角度让两个图形朝向一致，再对比旋转后图形与图形②的位置，计算水平、竖直方向的平移距离，就能得到完整的变换过程。
【解析】
变换过程可按以下步骤进行：
1. 旋转操作：将图形①绕点D顺时针旋转90°，此时图形的朝向与图形②完全一致；
2. 平移操作：将旋转后的图形向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，就能与图形②完全重合。
本问题变换方案不唯一，先平移后旋转等合理方案均成立。
【答案】
将图形①绕点D顺时针旋转90°，再向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度，即可得到图形②（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
旋转的性质；平移的性质；图形变换的应用
【点评】
本题是开放性题目，主要考查对平移、旋转等基础图形变换的理解与应用，结合网格特征确定变换的各项参数即可，可从多角度设计变换方案，能有效锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7

14. (★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC = α(α ≤ 60°)$, $D$ 是 $BC$ 边上的一点, 将 $AD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α$ 得到 $ED$, 连接 $AE$, $CE$.
(1) 在图中作出旋转后的图形(要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹);
(2) 若 $α = 60°$, 求 $∠ DCE$ 的度数.

解：
(1) 尺规作图结果：以点D为圆心，AD长为半径作弧，在AD顺时针方向作∠ADE=60°，角的另一边与弧交于点E，连接DE、AE、CE，保留所有作图痕迹，即为旋转后的图形。
(2) 当$α=60°$时：
$\because AB=AC$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ B=∠ ACB=60°$。
由旋转的性质得：$AD=ED$，$∠ ADE=60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE = 60°$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ B = 60°$。
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 60° + 60° = 120°$。
答：$∠ DCE$的度数为$120°$。

【分析】
(1) 作图可根据旋转的性质思考：旋转后对应边长度不变，即AD=ED，且旋转角∠ADE=α，所以先以D为圆心、AD长为半径画弧，再作∠ADE=α，角的另一边与弧的交点即为点E，最后连接对应线段即可。
(2) 求解∠DCE度数时，先结合α=60°和AB=AC，可判定△ABC是等边三角形，得到边角的等量关系；再根据旋转性质推出△ADE是等边三角形，进而推导得到∠BAD=∠CAE，通过SAS证明△BAD≌△CAE，将∠ACE转化为∠B，最后结合∠ACB的度数即可求出∠DCE的度数。
【解析】
(1) 尺规作图：以点D为圆心，AD长为半径作弧，在AD顺时针方向作∠ADE=α，角的另一边与弧交于点E，连接DE、AE、CE，保留所有作图痕迹，即为旋转后的图形。
(2) 当$α=60°$时：
$\because AB=AC$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ B=∠ ACB=60°$。
由旋转的性质得：$AD=ED$，$∠ ADE=60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE = 60°$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ B = 60°$。
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 60° + 60° = 120°$。
【答案】
(1) 作图见解析（保留对应作图痕迹即可）；
(2) $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，既考查了尺规作图的动手操作能力，也考查了等边三角形、全等三角形相关性质的应用，解题的核心是利用旋转的性质找到边角等量关系，构造全等三角形完成角度转化。
【难度系数】
0.7

15. (★★★)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的8×8正方形网格中,将△ABC绕点A旋转,得到△ADE(不含△ABC),使得△ADE也是格点三角形(同一位置的格点三角形△ADE只算一个),这样的格点三角形△ADE一共有【 】


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
解题思路：首先明确旋转的核心性质：旋转中心为点A，故旋转后点A位置不变，对应边长度相等（AD=AB，AE=AC），对应边的夹角与原三角形的∠BAC相等，且旋转后△ADE的顶点D、E都需为格点，同时要排除与△ABC重合的情况。
第一步：结合正方形网格的特征，先确定△ABC各边的长度；
第二步：逐一尝试可能的旋转角度（保证旋转后端点落在格点上），统计符合要求的△ADE的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 根据旋转的性质：旋转后点A位置不变，AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，只需找到D、E均为格点的情况，且排除与原△ABC重合的情况。
2. 结合格点特征，旋转后对应点仍为格点的可能角度为90°、180°、270°（即顺时针旋转90°）：
①将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画图验证可得D、E均为格点，得到符合要求的△ADE；
②将△ABC绕点A旋转180°，画图验证可得D、E均为格点，得到符合要求的△ADE；
③将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画图验证可得D、E均为格点，得到符合要求的△ADE；
3. 上述3种情况得到的三角形均不与原△ABC重合，因此符合要求的格点三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；格点图形判定；勾股定理
【点评】
本题考查旋转性质在格点图形中的应用，需要结合网格特征判断旋转后顶点是否为格点，解题时要注意考虑所有可能的旋转角度，避免漏解。
【难度系数】
0.6

16. (★★★)如图,在$△ ABC$中,以$AC$为斜边向外作等腰直角$△ ACD$,连接$BD$,将$△ DAB$绕点$D$顺时针旋转$90°$,点$B$的对应点为$E$.
(1)利用圆规和无刻度直尺作出旋转后的三角形；
(2)在(1)的情况下,请连接$BE$,若$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,求$BE$的长.

(1) 作图步骤：
1. 以点$D$为圆心，$DB$长为半径画弧；
2. 以点$C$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交于点$E$；
3. 连接$DE$、$CE$，则$△ DCE$即为所求的旋转后的三角形。
---
(2) 解：
由旋转的性质可得：
$DE=DB$，$∠ BDE=90°$，$CE=AB=3$，$∠ DCE=∠ DAB$。
$\because △ ACD$是斜边为$AC$的等腰直角三角形，
$\therefore DA=DC$，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC=∠ DCA=45°$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 45° + 90° = 135°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ DAB = 135°$，
$\therefore ∠ DCE + ∠ DCA = 135° + 45° = 180°$，
即点$E$、$C$、$A$三点共线。
$\therefore AE = AC + CE = 4 + 3 = 7$。
又$\because ∠ BAC=90°$，即$AB⊥ AE$，
在$\mathrm{Rt}△ BAE$中，由勾股定理：
$BE=\sqrt{AB^2 + AE^2}=\sqrt{3^2 + 7^2}=\sqrt{58}$
答：$BE$的长为$\sqrt{58}$。

【分析】
(1) 作图思路：旋转的核心性质是旋转前后对应边相等、旋转角相等，本题旋转中心为D，顺时针旋转90°后点A对应点C，因此点B的对应点E需满足DE=DB、CE=AB，通过画两条弧的交点即可确定E点，再连接对应边得到旋转后的三角形。
(2) 计算思路：首先根据旋转性质得到对应边、对应角的等量关系，结合等腰直角△ACD的角度特征，计算∠DCE与∠DCA的和，证明E、C、A三点共线，求出AE的长度，最后在Rt△BAE中利用勾股定理计算BE的长度。
【解析】
(1) 作图步骤：
1. 以点$D$为圆心，$DB$长为半径画弧；
2. 以点$C$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交于点$E$；
3. 连接$DE$、$CE$，则$△ DCE$即为所求的旋转后的三角形。
(2) 解：
由旋转的性质可得：
$DE=DB$，$∠ BDE=90°$，$CE=AB=3$，$∠ DCE=∠ DAB$。
$\because △ ACD$是斜边为$AC$的等腰直角三角形，
$\therefore DA=DC$，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC=∠ DCA=45°$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 45° + 90° = 135°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ DAB = 135°$，
$\therefore ∠ DCE + ∠ DCA = 135° + 45° = 180°$，
即点$E$、$C$、$A$三点共线。
$\therefore AE = AC + CE = 4 + 3 = 7$。
又$\because ∠ BAC=90°$，即$AB⊥ AE$，
在$\mathrm{Rt}△ BAE$中，由勾股定理：
$BE=\sqrt{AB^2 + AE^2}=\sqrt{3^2 + 7^2}=\sqrt{58}$
【答案】
(1) 按上述步骤作出$△ DCE$；
(2) $\sqrt{58}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了旋转作图和几何计算，既需要掌握旋转作图的方法，也需要熟练运用旋转、等腰直角三角形的性质进行逻辑推理，其中证明E、C、A三点共线是解题的关键步骤，能有效锻炼学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6