14. (★★★)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,$\odot D$的一条圆弧经过格点$A,B,C$,现在以格点$O$为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系.
(1)圆心$D$的坐标为;
(2)求$\odot D$的半径长;
(3)若点$E$的坐标是$(-1,3)$,试判断点$E$与$\odot D$的位置关系,并说明理由.

解：
(1) 圆心$D$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$；
(2) 由图可得点$A$的坐标为$(0,3)$，
根据勾股定理，$\odot D$的半径长$r = DA = \sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$；
(3) 点$E$在$\odot D$外，理由如下：
∵ 点$E$的坐标是$(-1,3)$，点$D$的坐标是$(2,0)$，
∴ $DE = \sqrt{[2 - (-1)]^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$，
∵ $\sqrt{18} ＞ \sqrt{13}$，即$DE ＞ r$，
∴ 点$E$在$\odot D$的外部。

【分析】
(1) 圆心到圆上所有点的距离相等，因此圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点。我们先确定格点A、B的坐标，作出弦AB的垂直平分线，再结合另一条弦BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心D，读取其坐标即可；
(2) 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，我们选择点A，利用勾股定理（即平面直角坐标系两点间距离公式）计算D和A的距离，就得到半径长；
(3) 判断点与圆的位置关系，只需计算该点到圆心的距离，再与半径比较：距离大于半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内。
【解析】
(1) 由网格可得A(0,3)、B(4,3)，AB为水平线段，中点为(2,3)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$；结合BC的垂直平分线与$x=2$的交点，可得圆心D的坐标为$(2,0)$。
(2) 已知A(0,3)，D(2,0)，根据勾股定理：
$r=DA=\sqrt{(2-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
即$\odot D$的半径长为$\sqrt{13}$。
(3) 点E在$\odot D$外，理由如下：
已知E(-1,3)，D(2,0)，则
$DE=\sqrt{[2-(-1)]^2+(0-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$
∵ $\sqrt{18}＞\sqrt{13}$，即$DE＞r$
∴ 点E在$\odot D$的外部。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{13}}$；(3) 点$E$在$\odot D$外
【知识点】
垂径定理；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是利用圆心的性质准确定位圆心坐标，再通过勾股定理计算线段长度完成比较，侧重考察基础性质的应用和基础计算能力。
【难度系数】
0.7